1 research outputs found
ΠΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΡ-Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΡ-Π°Π΄Π²Π΅ΠΊΡΠΈΡ Ρ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌ Π°Π΄Π²Π΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠΌ
We consider a solution in a moving front form of the initial-boundary value problem for a singularly perturbed reaction-diffusion equation in a band with periodic conditions in one of the variables. Interest in solutions of the front type is associated with combustion problems or nonlinear acoustic waves. In the domain of the function which describes the moving front there is a subdomain where the function has a large gradient. This subdomain is called the internal transition layer. Boundary value problems with internal transition layers have a natural small parameter that is equal to the ratio of the transition layer width to the width of the region under consideration. The presence of a small parameter at the highest spatial derivative makes the problem singularly perturbed. The numerical solution of such problems meets certain difficulties connected with the choice of grids and initial conditions. To solve these problems the use of analytical methods is especially successful. Asymptotic analysis which uses Vasilievaβs algorithm was carried out in the paper. That made it possible to obtain an asymptotic approximation of the solution, which can be used as an initial condition for a numerical algorithm. We also determined the conditions for the existence of a front type solution. In addition, the analytical methods used in the paper make it possible to obtain in an explicit form the front motion equation approximation. This information can be used to develop mathematical models or numerical algorithms for solving boundary value problems for the reaction-diffusion-advection type equations.Β Π ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΡΡΠΎΠ½ΡΠ° Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ-ΠΊΡΠ°Π΅Π²ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΠ½Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΡ-Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΡ-Π°Π΄Π²Π΅ΠΊΡΠΈΡ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΡΠ΅ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
. ΠΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π² Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π°Π΄Π²Π΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π² ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΡΠΎΠ½ΡΠ° ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π³ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ
Π°ΠΊΡΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π²ΠΎΠ»Π½. Π ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠΈΠΉΡΡ ΡΡΠΎΠ½Ρ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ. ΠΡΠ° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ ΡΠ»ΠΎΠ΅ΠΌ. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ Ρ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΡΠΌΠΈ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Ρ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°Π»ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΡ ΠΊ ΡΠΈΡΠΈΠ½Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ. ΠΠ°Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΠΈΠ½Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
Π·Π°Π΄Π°Ρ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠΎΠΊ ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ. ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ
ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΠΏΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ². ΠΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΠ°ΡΠΈΠ»ΡΠ΅Π²ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π² Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΡΠΎΠ½ΡΠ°, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ, Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ ΡΡΠΎΠ½Ρ. ΠΡΠΈ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ
Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΡ-Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΡΠ°Π΄Π²Π΅ΠΊΡΠΈΡ