Non-Parametric Approximations for Anisotropy Estimation in Two-dimensional Differentiable Gaussian Random Fields

Spatially referenced data often have autocovariance functions with elliptical isolevel contours, a property known as geometric anisotropy. The anisotropy parameters include the tilt of the ellipse (orientation angle) with respect to a reference axis and the aspect ratio of the principal correlation lengths. Since these parameters are unknown a priori, sample estimates are needed to define suitable spatial models for the interpolation of incomplete data. The distribution of the anisotropy statistics is determined by a non-Gaussian sampling joint probability density. By means of analytical calculations, we derive an explicit expression for the joint probability density function of the anisotropy statistics for Gaussian, stationary and differentiable random fields. Based on this expression, we obtain an approximate joint density which we use to formulate a statistical test for isotropy. The approximate joint density is independent of the autocovariance function and provides conservative probability and confidence regions for the anisotropy parameters. We validate the theoretical analysis by means of simulations using synthetic data, and we illustrate the detection of anisotropy changes with a case study involving background radiation exposure data. The approximate joint density provides (i) a stand-alone approximate estimate of the anisotropy statistics distribution (ii) informed initial values for maximum likelihood estimation, and (iii) a useful prior for Bayesian anisotropy inference.Comment: 39 pages; 8 figure

Anwendung der Linienintegralfaltung zur Visualisierung von diffusionsgewichteten MRT Daten des menschlichen Gehirns

Die diffusionsgewichtete Magnetresonanztomographie (MRT) ist ein bildgebendes Verfahren zur Darstellung von Nervenfasern des menschlichen Gehirns. In der klinischen Praxis werden für die Visualisierung die fraktionale Anisotropie (FA) und Streamline Tracking genutzt. In der Arbeit wurde untersucht, ob die Linienintegralfaltung (LIC), ein Verfahren zur Darstellung von Vektorfeldern, angepasst und erweitert werden kann, so dass es es sich für die Visualisierung von diffusionsgewichteten MRT Datensätzen eignet. Das Ziel dieser Arbeit war die Erstellung kontrastreicher LIC Karten, welche lokale Anisotropieinformationen sowie erkennbare Faserverla ̈ufe darstellen. Dabei wurde ein Hauptaugenmerk auf die Darstellung von Faserkreuzun- gen gelegt. Das Verfahren sollte anhand von simulierten und in-vivo Datensätzen evaluiert werden, indem es Methoden der klinischen Praxis gegenübergestellt wird. Zunächst wurde eine Eingangsstruktur entwickelt, welche in einem hoch aufgelöstem Raster zylindrische Glyphen auf sehr kurzen Strömungslinien platziert. Dieses Muster wird als Eingangsrauschen für ein Mehrkern LIC Verfahren verwendet, so dass auch Kreuzungsregionen korrekt visualisiert werden können. Durch Farbkodierung des LIC Ergebnisses kann zusätzlich die Richtung der anisotropen Diffusion visualisiert werden. Eine Fusion des farbkodierten LIC Ergebnisses mit T1 Bildern wurde ebenfalls realisiert. Die softwaretechnische Umsetzung geschah in der Programmiersprache Java. Das entwickelte LIC Verfahren wurde an Hand von synthetischen und in-vivo Datensätzen evaluiert und mit deterministischen Streamline Tracking, farbkodierten FA Karten und Track Density Imaging (TDI) verglichen. Bei den synthetischen Datensätzen konnte gezeigt werden, dass mit dem LIC Verfahren Kreuzungsregionen korrekt visualisiert werden können. Das LIC Verfahren wurde auf in-vivo Datensätze von gesunden Probanden und Patienten mit verschiedenen Pathologien angewendet. Im Vergleich zu farbkodierten FA Karten geben farbkodierte LIC Ergebnisbilder die Struktur der zugrunde liegenden Faserarchitektur besser wieder. Da beim LIC keine Startregionen manuell platziert werden müssen, ist das Verfahren ohne Nutzerinteraktion durchführbar. Dadurch besitzt das Verfahren eine gro ̈ßere Objektivität im Vergleich zum Streamline Tracking. Das in dieser Arbeit entwickelt LIC Verfahren eignet sich sehr gut für die Visualisierung von diffusionsgewichteten MRT Daten, bedarf jedoch noch weiterer klinischer Studien an Patientendatensätzen mit unterschiedlichen Pathologien

Analysis and Visualization of Higher-Order Tensors: Using the Multipole Representation

Materialien wie Kristalle, biologisches Gewebe oder elektroaktive Polymere kommen häufig in verschiedenen Anwendung, wie dem Prothesenbau oder der Simulation von künstlicher Muskulatur vor. Diese und viele weitere Materialien haben gemeinsam, dass sie unter gewissen Umständen ihre Form und andere Materialeigenschaften ändern. Um diese Veränderung beschreiben zu können, werden, abhängig von der Anwendung, verschiedene Tensoren unterschiedlicher Ordnung benutzt. Durch die Komplexität und die starke Abhängigkeit der Tensorbedeutung von der Anwendung, gibt es bisher kein Verfahren Tensoren höherer Ordnung darzustellen, welches standardmäßig benutzt wird. Auch bezogen auf einzelne Anwendungen gibt es nur sehr wenig Arbeiten, die sich mit der visuellen Darstellung dieser Tensoren auseinandersetzt. Diese Arbeit beschäftigt sich mit diesem Problem. Es werden drei verschiedene Methoden präsentiert, Tensoren höherer Ordnung zu analysieren und zu visualisieren. Alle drei Methoden basieren auf der sogenannte deviatorischen Zerlegung und der Multipoldarstellung. Mit Hilfe der Multipole können die Symmetrien des Tensors und damit des beschriebenen Materials bestimmt werden. Diese Eigenschaft wird in für die Visualisierung des Steifigkeitstensors benutzt. Die zweite Methode basiert direkt auf den Multipolen und kann damit beliebige Tensoren in drei Dimensionen darstellen. Dieses Verfahren wird anhand des Kopplungs Tensors, ein Tensor dritter Ordnung, vorgestellt. Die ersten zwei Verfahren sind lokale Glyph-basierte Verfahren. Das dritte Verfahren ist ein erstes globales Tensorvisualisierungsverfahren, welches Tensoren beliebiger Ordnung und Symmetry in drei Dimensionen mit Hilfe eines linienbasierten Verfahrens darstellt.Materials like crystals, biological tissue or electroactive polymers are frequently used in applications like prosthesis construction or the simulation of artificial musculature. These and many other materials have in common that they change their shape and other material properties under certain circumstances. To describe these changes, different tensors of different order, dependent of the application, are used. Due to the complexity and the strong dependency of the tensor meaning of the application, there is, by now, no visualization method that is used by default. Also for specific applications there are only a few methods that address the visual analysis of higher-order tensors. This work adresses this problem. Three different methods to analyse and visualize tensors of higher order will be provided. All three methods are based on the so called deviatoric decomposition and the multipole representation. Using the multipoles the symmetries of a tensor and, therefore, of the described material, can be calculated. This property is used to visualize the stiffness tensor. The second method uses the multipoles directly and can be used for each tensor of any order in three dimensions. This method is presented by analysing the third-order coupling tensor. These two techniques are glyph-based visualization methods. The third one, a line-based method, is, according to our knowledge, a first global visualization method that can be used for an arbitrary tensor in three dimensions

Elaboração de um guia para o uso do tensor de difusão em ressonância magnética para os profissionais da área

Diffusion tensor imaging (DTI) by magnetic resonance (MR) is a recent method of acquisition whose utilization has been fairly reduced in services that use equipment with DTI software. From this situation, one observed the need to develop a guide for professionals involved in MR, which would serve as a reference source to assist in the acquisition of DTI. In order to make this guide, a reference was necessary to be given a steer and it was obtained through a questionnaire administered to professionals who work with MRI in a clinic in Curitiba. Through the questionnaire, it was possible to raise the concepts and parameters the guide could explain, especially emphasizing technique basic parameters, forms of data reconstruction and visualization forms. The guide was made explaining the acquisition of DTI, the main parameters involved and the common terms for these kinds of tests. In addition, 15 commonly asked questions about the DTI were prepared with quick reference tables. The final result is an easy-to-understand guide which aims to help the area professionals to search, apprehend and use the diffusion tensor imaging technique. Although it is ready, there is the need to introduce the guide and collect suggestions, and still, improve the professionals’ early questions to enhance the guide.O imageamento por tensor de difusão (DTI) por ressonância magnética (RM) é um método de aquisição recente e de utilização bastante reduzida nos serviços que possuem equipamentos os softwares paro DTI. A partir desta situação notou-se a necessidade de um guia para os profissionais envolvidos RM; que servisse como fonte de consulta para auxiliar na aquisição do DTI. Para criação deste guia um referencial fez necessário e foi obtido apenas como norteador por meio de um questionário aplicado a profissionais que trabalham com RM, de uma clínica de Curitiba. Através do questionário foi possível levantar que conceitos e parâmetros o guia poderia explanar, notoriamente precisando dar ênfase aos parâmetros básicos da técnica, as formas de reconstrução dos dados e as formas de visualização. O guia foi montado explicando o processo de aquisição do DTI, os principais parâmetros envolvidos e os termos comuns aos exames desta natureza. Também foram elaboradas 15 perguntas frequentes sobre o DTI, com tabelas de consulta rápida. O resultado final é um guia de fácil manuseio e entendimento que visa auxiliar os profissionais da área a pesquisarem, apreenderem e utilizarem a técnica de imageamento por tensor de difusão. Apesar de pronto, existe ainda a necessidade de introduzir o guia e coletar sugestões e ainda aprimorar os questionamentos iniciais aos profissionais da área de modo a enriquecer o guia

TVCG 1 Anisotropic Noise Samples

Abstract — We present a practical approach to generate stochastic anisotropic samples with Poisson-disk characteristic over a two-dimensional domain. In contrast to isotropic samples, we understand anisotropic samples as non-overlapping ellipses whose size and density match a given anisotropic metric. Anisotropic noise samples are useful for many visualization and graphics applications. The spot samples can be used as input for texture generation, e.g., line integral convolution (LIC), but can also be used directly for visualization. The definition of the spot samples using a metric tensor makes them especially suitable for the visualization of tensor fields that can be translated into a metric. Our work combines ideas from sampling theory and mesh generation to approximate generalized blue noise properties. To generate these samples with the desired properties we first construct a set of non-overlapping ellipses whose distribution closely matches the underlying metric. This set of samples is used as input for a generalized anisotropic Lloyd relaxation to distribute noise samples more evenly. Instead of computing the Voronoi tessellation explicitly, we introduce a discrete approach which combines the Voronoi cell and centroid computation in one step. Our method supports automatic packing of the elliptical samples, resulting in textures similar to those generated by anisotropic reaction-diffusion methods. We use Fourier analysis tools for quality measurement of uniformly distributed samples. The resulting samples have nice sampling properties, e.g., they satisfy a blue noise property where low frequencies in the power spectrum are reduced to a minimum. Index Terms — tensor field visualization, glyph packing, anisotropic Voronoi diagram, blue noise I