Finite iterative algorithms for solving generalized coupled Sylvester systems – Part I: One-sided and generalized coupled Sylvester matrix equations over generalized reflexive solutions

AbstractThe generalized coupled Sylvester systems play a fundamental role in wide applications in several areas, such as stability theory, control theory, perturbation analysis, and some other fields of pure and applied mathematics. The iterative method is an important way to solve the generalized coupled Sylvester systems. In this two-part article, finite iterative methods are proposed for solving one-sided (or two-sided) and generalized coupled Sylvester matrix equations and the corresponding optimal approximation problem over generalized reflexive solutions (or reflexive solutions). In part I, an iterative algorithm is constructed to solve one-sided and coupled Sylvester matrix equations (AY−ZB,CY−ZD)=(E,F) over generalized reflexive matrices Y and Z. When the matrix equations are consistent, for any initial generalized reflexive matrix pair [Y1,Z1], the generalized reflexive solutions can be obtained by the iterative algorithm within finite iterative steps in the absence of round-off errors, and the least Frobenius norm generalized reflexive solution pair can be obtained by choosing a special kind of initial matrix pair. The unique optimal approximation generalized reflexive solution pair [Y^,Z^] to a given matrix pair [Y0,Z0] in Frobenius norm can be derived by finding the least-norm generalized reflexive solution pair [Y∼∗,Z∼∗] of two new corresponding generalized coupled Sylvester matrix equations (AY∼-Z∼B,CY∼-Z∼D)=(E∼,F∼), where E∼=E-AY0+Z0B,F∼=F-CY0+Z0D. Several numerical examples are given to show the effectiveness of the presented iterative algorithm

Matris denklemleri ile ilişkili bazı özel tipli matrisler için matris yakınlık problemi

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Anahtar Kelimeler: minimum kalan problemi, matris yakınlık problemi, en iyi yaklaşık çözüm, Moore-Penrose ters. İlk bölümde lineer matris denklem problemleri ile ilgili literatür bilgisine yer verilmiş ve çalışmanın içeriğini oluşturan problemler tanıtılmıştır. İkinci bölümde çalışmada kullanılan bazı tanımlar ve temel teoremlerden bahsedilmiştir. Üçüncü bölümün ilk kısmında $\left( {{A_1}X{B_1},{A_2}X{B_2}, \ldots ,{A_k}X{B_k}} \right) = \left( {{C_1},{C_2}, \ldots ,{C_k}} \right)$ matris denkleminin simetrik ve ters-simetrik matrisler için genel çözümlerinin kümesi ve en küçük kareler çözümlerinin kümesi, Moore-Penrose ters ve Kronecker çarpım kullanılarak incelenmiştir. Bu matris denkleminin en iyi yaklaşık simetrik çözümü ve en iyi yaklaşık ters-simetrik çözümü ortaya konulmuştur. İkinci kısmında AXB=C matris denkleminin (P,Q)-ortogonal simetrik ve (P,Q)-ortogonal ters-simetrik matrisler için genel çözümlerinin kümesi ve en küçük kareler çözümlerinin kümesi Moore-Penrose ters ve spektral ayrışım kullanılarak incelenmiştir. Daha sonra, en iyi yaklaşık (P,Q)-ortogonal simetrik çözümü ve (P,Q)-ortogonal ters-simetrik çözümü elde edilmiştir. Son olarak, her iki kısmın sonunda ele alınan problemlerin çözümünü elde etmek için kullanılan bir algoritma, iki örnek ve literatürden seçilmiş örnekler için karşılaştırmalı bir tablo verilmiştir. Dördüncü bölümde (AXB,CXD)=(E,F) kuaterniyon matris denkleminin merkezi-hermityen ve ters-merkezi-hermityen matrisler üzerinde minimum kalan problemi Moore-Penrose ters, Kronecker çarpım ve vec operatörü kullanılarak incelenmiştir. Daha sonra ise (AXB,CXD)=(E,F) kuaterniyon matris denkleminin en iyi yaklaşık merkezi-hermityen çözümü ve ters-merkezi-hermityen çözümü verilmiştir. Son olarak, bölüm sonunda ele alınan problemlerin çözümünü elde etmek için kullanılan bir algoritma ve iki sayısal örnek verilmiştir. Son bölüm ise sonuçların kısa bir tartışmasına ayrılmıştır.Yeni kaotik sistemin FPGA tabalı tasarım