Numerical Solution of Mixed Volterra – Fredholm Integral Equation Using the Collocation Method

         معادلات فولتيرا- فريدهولم التكاملية المختلط ((MVFIEs لديها اهتمام كبير من قبل الباحثين مؤخرا . الطريقة العددية الي اقترحت لحل هذا النوع من المعادلات تستعمل نقاط التجميع وتقريب الحل بواسطة الدالة  اساس الشعاعي (radial basis function)  و متعددة حدود من الدرجة الثانية واندراج النقطة من دون استخدام الشبكة, ولسهولة  الحل تم استخدام اصفار متعددة حدود ليجندر كنقاط تجمع. الغرض الرئيسي من استخدام دالة أساس الشعاعي ومتعدد الحدود هو التغلب على التفرد الذي قد يرتبط بأساليب التجميع. علاوة على ذلك، فإن وظيفة الاستيفاء التي تم الحصول عليها تمر عبر كل النقاط المنتشرة في مجال ما ، وبالتالي فإن وظائف الشكل هي من خصائص خاصية دلتا. تمت مقارنة الحل الدقيق للحلول الانتقائية بالنتائج التي تم الحصول عليها من التجارب العددية من أجل التحقق من دقة وكفاءة طريقتنا.Volterra – Fredholm integral equations (VFIEs) have a massive interest from researchers recently. The current study suggests a collocation method for the mixed Volterra - Fredholm integral equations (MVFIEs)."A point interpolation collocation method is considered by combining the radial and polynomial basis functions using collocation points". The main purpose of the radial and polynomial basis functions is to overcome the singularity that could associate with the collocation methods. The obtained interpolation function passes through all Scattered Point in a domain and therefore, the Delta function property is the shape of the functions. The exact solution of selective solutions was compared with the results obtained from the numerical experiments in order to investigate the accuracy and the efficiency of scheme

Solving Mixed Volterra - Fredholm Integral Equation (MVFIE) by Designing Neural Network

الهدف الاساسي في هذا البحث هو تقديم طريقه عدديه جديده لحل هذا النوع من المعادلات باستخدام الشبكات العصبية ANN)). حيث تم تصميم شبة عصبيه ذات تغذية اماميه(FFNN ) سريعة, هذا التصميم ذو الطبقات المتعددة والذي يحوي على طبقه واحده خفيه تحتوي على خمسة وحدات خفيه وتستخدم الدالة التحويل (log_sigmoid  ) وطبقة واحدة للإخراج, وتم تدريب الشبة باستخدام خوارزمية ليفن برك (Levenberg – Marquardt) . ولبيان دقة و كفاءة الطريقة المقدمة تم مقارنة نتائج الامثلة التوضيحية مع الحلول المضبوطة لهذه الأمثلة, و من خلال المقارنة تبين بان الطريقة ذات كفاءة و دقة عالية وذات خطاء قليل جدا.       In this paper, we focus on designing feed forward neural network (FFNN) for solving Mixed Volterra – Fredholm Integral Equations (MVFIEs) of second kind in 2–dimensions. in our method, we present a multi – layers model consisting of a hidden layer which has five hidden units (neurons) and one linear output unit. Transfer function (Log – sigmoid) and training algorithm (Levenberg – Marquardt) are used as a sigmoid activation of each unit. A comparison between the results of numerical experiment and the analytic solution of some examples has been carried out in order to justify the efficiency and the accuracy of our method.                                 &nbsp

Shifted Jacobi spectral collocation method with convergence analysis for solving integro-differential equations and system of integro-differential equations

This article addresses the solution of multi-dimensional integro-differential equations (IDEs) by means of the spectral collocation method and taking the advantage of the properties of shifted Jacobi polynomials. The applicability and accuracy of the present technique have been examined by the given numerical examples in this paper. By means of these numerical examples, we ensure that the present technique is simple and very accurate. Furthermore, an error analysis is performed to verify the correctness and feasibility of the proposed method when solving IDE

Numerical solution of the higher-order linear Fredholm integro-differential-difference equation with variable coefficients

AbstractThe main aim of this paper is to apply the Legendre polynomials for the solution of the linear Fredholm integro-differential-difference equation of high order. This equation is usually difficult to solve analytically. Our approach consists of reducing the problem to a set of linear equations by expanding the approximate solution in terms of shifted Legendre polynomials with unknown coefficients. The operational matrices of delay and derivative together with the tau method are then utilized to evaluate the unknown coefficients of shifted Legendre polynomials. Illustrative examples are included to demonstrate the validity and applicability of the presented technique and a comparison is made with existing results

Legendre-Gauss-Lobatto collocation method for solving multi-dimensional systems of mixed Volterra-Fredholm integral equations

Integral equations play a crucial role in many scientific and engineering problems, though solving them is often challenging. This paper addresses the solution of multi-dimensional systems of mixed Volterra-Fredholm integral equations (SMVF-IEs) by means of a Legendre-Gauss-Lobatto collocation method. The one-dimensional case is addressed first. Afterwards, the method is extended to two-dimensional linear and nonlinear SMVF-IEs. Several numerical examples reveal the effectiveness of the approach and show its superiority in comparison to other alternative techniques for treating SMVF-IEs

Effective Computational Methods for Solving the Jeffery-Hamel Flow Problem

في هذا البحث، تم تنفيذ الطريقة الحسابية الفعالة (ECM) المستندة إلى متعددة الحدود القياسية الأحادية لحل مشكلة تدفق جيفري-هامل غير الخطية. علاوة على ذلك، تم تطوير واقتراح الطرق الحسابية الفعالة الجديدة في هذه الدراسة من خلال وظائف أساسية مناسبة وهي متعددات الحدود تشيبشيف، بيرنشتاين، ليجندر، هيرمت. يؤدي استخدام الدوال الأساسية إلى تحويل المسألة غير الخطية إلى نظام جبري غير خطي من المعادلات، والذي يتم حله بعد ذلك باستخدام برنامج ماثماتيكا®١٢. تم تطبيق تطوير طرق حسابية فعالة (D-ECM) لحل مشكلة تدفق جيفري-هامل غير الخطية، ثم تم عرض مقارنة بين الطرق. علاوة على ذلك، تم حساب الحد الأقصى للخطأ المتبقي ( )، لإظهار موثوقية الطرق المقترحة. تثبت النتائج بشكل مقنع أن ECM و D-ECM دقيقة وفعالة وموثوقة للحصول على حلول تقريبية للمشكلة.In this paper, the effective computational method (ECM) based on the standard monomial polynomial has been implemented to solve the nonlinear Jeffery-Hamel flow problem. Moreover, novel effective computational methods have been developed and suggested in this study by suitable base functions, namely Chebyshev, Bernstein, Legendre, and Hermite polynomials. The utilization of the base functions converts the nonlinear problem to a nonlinear algebraic system of equations, which is then resolved using the Mathematica®12 program. The development of effective computational methods (D-ECM) has been applied to solve the nonlinear Jeffery-Hamel flow problem, then a comparison between the methods has been shown. Furthermore, the maximum error remainder ( ) has been calculated to exhibit the reliability of the suggested methods. The results persuasively prove that ECM and D-ECM are accurate, effective, and reliable in getting approximate solutions to the problem