Maximum Entropy and Inverse Problems in Image Reconstruction

In many imaging systems we have ta solve integral equations of the first kind, which, in general, are ill-posed inverse problems. In these problems one cannot obtain a satisfactory unique and robust solution without introduction of some prior information on the solution . A prior information often used in many imaging applications is the positivity of the solution . Methods based on the maximum entropy principle are classically developed to take this property into account . However the use of the maximum entropy principle is not limited to this case . In the last decade, many works have been done on the ways of using maximum entropy principle in inverse problems . The main objective of this paper is to make a classification of these methods, to give explicitly the hypothesis, the practical and the theoretical limitations, to show the existing relations between them, and finally, to give some synthetic view of different implementations of theses methods . First we distinguish three fundamentally différent approaches which we call Classical MaxEnt, MaxEnt in mean and Bayesian MaxEnt. Then, in each approach, we describe the différent methods and algorithms which are obtained when the nature and the amount of the available data change and we give explicit relations between all these methods.Dans un très grand nombre de problèmes d'imagerie on est amené à résoudre une équation intégrale de première espèce, ce qui constitue, dans la plupart des cas, un problème inverse mal posé . Dans ces problèmes, l'obtention d'une solution unique et stable vis-à-vis des erreurs sur les données passe par l'introduction d'une information a priori sur la solution . Une information a priori utilisée dans beaucoup d'applications en l'imagerie est la positivité. Les méthodes basées sur le principe du maximum d'entropie (MaxEnt) sont classiquement employées pour prendre en compte cette information a priori . Cependant, l'utilisation de ce principe ne se limite pas à ce seul cas . Depuis ces dix dernières années, beaucoup de travaux sur l'utilisation de l'entropie dans ces problèmes ont été menés . L'objectif principal de cet article est d'essayer de classer ces méthodes, de montrer leurs limites théoriques et pratiques, de montrer les liens qui peuvent exister entre elles, et, finalement, de fournir des fiches synthétiques pour chacune de ces méthodes . Pour ceci, nous distinguerons trois familles de méthodes que nous appellerons MaxEnt classique, MaxEnt sur la moyenne, et MaxEnt bayésienne . Nous étudierons les différentes variantes à l'intérieur de chaque famille et préciserons les liens qui existent entre ces différentes méthodes