786 research outputs found
Phase Transitions and Backbones of the Asymmetric Traveling Salesman Problem
In recent years, there has been much interest in phase transitions of
combinatorial problems. Phase transitions have been successfully used to
analyze combinatorial optimization problems, characterize their typical-case
features and locate the hardest problem instances. In this paper, we study
phase transitions of the asymmetric Traveling Salesman Problem (ATSP), an
NP-hard combinatorial optimization problem that has many real-world
applications. Using random instances of up to 1,500 cities in which intercity
distances are uniformly distributed, we empirically show that many properties
of the problem, including the optimal tour cost and backbone size, experience
sharp transitions as the precision of intercity distances increases across a
critical value. Our experimental results on the costs of the ATSP tours and
assignment problem agree with the theoretical result that the asymptotic cost
of assignment problem is pi ^2 /6 the number of cities goes to infinity. In
addition, we show that the average computational cost of the well-known
branch-and-bound subtour elimination algorithm for the problem also exhibits a
thrashing behavior, transitioning from easy to difficult as the distance
precision increases. These results answer positively an open question regarding
the existence of phase transitions in the ATSP, and provide guidance on how
difficult ATSP problem instances should be generated
On vertex adjacencies in the polytope of pyramidal tours with step-backs
We consider the traveling salesperson problem in a directed graph. The
pyramidal tours with step-backs are a special class of Hamiltonian cycles for
which the traveling salesperson problem is solved by dynamic programming in
polynomial time. The polytope of pyramidal tours with step-backs is
defined as the convex hull of the characteristic vectors of all possible
pyramidal tours with step-backs in a complete directed graph. The skeleton of
is the graph whose vertex set is the vertex set of and the
edge set is the set of geometric edges or one-dimensional faces of .
The main result of the paper is a necessary and sufficient condition for vertex
adjacencies in the skeleton of the polytope that can be verified in
polynomial time.Comment: in Englis
Advanced analysis of branch and bound algorithms
Als de code van een cijferslot zoek is, kan het alleen geopend worden door alle cijfercomĀbinaties langs te gaan. In het slechtste geval is de laatste combinatie de juiste. Echter, als de code uit tien cijfers bestaat, moeten tien miljard mogelijkheden bekeken worden. De zogenaamde 'NP-lastige' problemen in het proefschrift van Marcel Turkensteen zijn vergelijkbaar met het 'cijferslotprobleem'. Ook bij deze problemen is het aantal mogelijkheden buitensporig groot. De kunst is derhalve om de zoekruimte op een slimme manier af te tasten. Bij de Branch and Bound (BnB) methode wordt dit gedaan door de zoekruimte op te splitsen in kleinere deelgebieden. Turkensteen past de BnB methode onder andere toe bij het handelsreizigersprobleem, waarbij een kortste route door een verzameling plaatsen bepaald moet worden. Dit probleem is in algemene vorm nog steeds niet opgelost. De economische gevolgen kunnen groot zijn: zo staat nog steeds niet vast of bijvoorbeeld een routeplanner vrachtwagens optimaal laat rondrijden. De huidige BnB-methoden worden in dit proefschrift met name verbeterd door niet naar de kosten van een verbinding te kijken, maar naar de kostentoename als een verbinding niet gebruikt wordt: de boventolerantie.
- ā¦