Pointwise best approximation results for Galerkin finite element solutions of parabolic problems

In this paper we establish a best approximation property of fully discrete Galerkin finite element solutions of second order parabolic problems on convex polygonal and polyhedral domains in the $L^\infty$ norm. The discretization method uses of continuous Lagrange finite elements in space and discontinuous Galerkin methods in time of an arbitrary order. The method of proof differs from the established fully discrete error estimate techniques and for the first time allows to obtain such results in three space dimensions. It uses elliptic results, discrete resolvent estimates in weighted norms, and the discrete maximal parabolic regularity for discontinuous Galerkin methods established by the authors in [16]. In addition, the proof does not require any relationship between spatial mesh sizes and time steps. We also establish a local best approximation property that shows a more local behavior of the error at a given point

Numerical Analysis of Sparse Initial Data Identification for Parabolic Problems

In this paper we consider a problem of initial data identification from the final time observation for homogeneous parabolic problems. It is well-known that such problems are exponentially ill-posed due to the strong smoothing property of parabolic equations. We are interested in a situation when the initial data we intend to recover is known to be sparse, i.e. its support has Lebesgue measure zero. We formulate the problem as an optimal control problem and incorporate the information on the sparsity of the unknown initial data into the structure of the objective functional. In particular, we are looking for the control variable in the space of regular Borel measures and use the corresponding norm as a regularization term in the objective functional. This leads to a convex but non-smooth optimization problem. For the discretization we use continuous piecewise linear finite elements in space and discontinuous Galerkin finite elements of arbitrary degree in time. For the general case we establish error estimates for the state variable. Under a certain structural assumption, we show that the control variable consists of a finite linear combination of Dirac measures. For this case we obtain error estimates for the locations of Dirac measures as well as for the corresponding coefficients. The key to the numerical analysis are the sharp smoothing type pointwise finite element error estimates for homogeneous parabolic problems, which are of independent interest. Moreover, we discuss an efficient algorithmic approach to the problem and show several numerical experiments illustrating our theoretical results.Comment: 43 pages, 10 figure

Zeitabhängige optimale Steuerung der Wärmeleitungsgleichung mit Zustandsbeschränkungen : mit Anwendung im Laserstrahlschmelzen

In dieser Arbeit werden zustandsbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme der Wärmeleitungsgleichung betrachtet. Die untersuchten Probleme weisen dabei eine spezielle Struktur auf: Die Steuerung in der rechten Seite der Wärmeleitungsgleichung und die Zustandsbeschränkung sind rein zeitabhängig. Diese besondere Struktur kann vielfach genutzt werden. Im Theorieteil dieser Arbeit werden Regularitätsaussagen für die Lösungen der Optimalsteuerungsprobleme hergeleitet. Unter Verwendung der Technik des alternativen Optimalitätssystems kann die Stetigkeit der optimalen Steuerung für Probleme, in denen die zeitabhängige Zustandsbeschränkung aus einem ortsintegralen Term besteht, bewiesen werden, wenn die im Modell vorgegebenen Daten hinreichend regulär gewählt sind. Mit weiteren Annahmen an die Daten erhält man die absolute Stetigkeit der optimalen Steuerung auf Teilintervallen und eine höhere Regularität des Lagrange-Multiplikators zur Zustandsbeschränkung. In weiteren Untersuchungen wird die Technik des alternativen Optimalitätssystems angepasst und weiterentwickelt. So kann die Stetigkeit der optimalen Steuerung auch für Probleme nachgewiesen werden, bei denen die Daten in der Zustandsbeschränkung im Ort irregulär gewählt sind. Es können sogar allgemeinere Probleme mit rein zeitabhängigen Zustandsbeschränkungen in Operatorform betrachtet werden. Als Beispiel kann die Stetigkeit der optimalen Steuerung bei Problemen mit punktweiser Beschränkung des Zustands an einem fest vorgegebenen Ortspunkt gezeigt werden. Dies erlaubt es, eine interessante Schlussfolgerung für Optimalsteuerungsprobleme mit rein zeitabhängiger Steuerung und punktweiser Zustandsbeschränkung in Ort und Zeit zu ziehen. Im Algorithmen- und Numerikteil dieser Arbeit wird ein neuer Optimierungsalgorithmus für die betrachteten Optimalsteuerungsprobleme entwickelt. Dieser Algorithmus stellt eine Erweiterung der primal-dualen aktive-Mengen-Strategie für diskretisierte zustandsbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme nach Bergounioux und Kunisch dar. Zusätzlich fließen Ideen von Mehrfachschießverfahren, die bei der optimalen Steuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen genutzt werden, ein. Die Leistungsfähigkeit des Algorithmus wird anhand mehrerer Modellprobleme getestet. Für reguläre Probleme zeigt sich eine Gitterunabhängigkeit des Verfahrens. Bei anspruchsvolleren Problemen mit noch stetiger optimaler Steuerung erhält man bei feinerer Diskretisierung eine moderate Erhöhung der Anzahl an Iterationen des Verfahrens. Insgesamt schlägt sich der Algorithmus typischerweise besser als die primal-duale aktive-Mengen-Strategie oder die aktive-Mengen-Strategie in Matlab. Allerdings sollte an dieser Stelle beachtet werden, dass das im Rahmen der Arbeit neu entwickelte Verfahren und die primal-duale aktive- Mengen-Strategie bei Modellproblemen mit Zustandsbeschränkungen der Ordnung größer eins Konvergenzprobleme haben. Hinsichtlich der Resultate aus dem Theoriekapitel dieser Arbeit kann mithilfe der numerischen Ergebnisse gezeigt werden, dass die dort getroffenen Aussagen scharf zu sein scheinen, wenn das Gesamtintervall betrachtet wird. Andererseits sollten aber bei Problemen mit regulären Daten bessere Regularitätsaussagen auf Teilintervallen möglich sein. Der letzte Teil der Arbeit widmet sich der optimalen Steuerung der Leistung des Lasers beim Laserstrahlschmelzen. Ein neu entwickeltes Modell beschreibt die Temperaturverteilung im Werkstück in Situationen, in denen der Laser einen Mäander am Rand eines Islands abfährt. Basierend auf diesem Modell können linear-quadratische Optimierungsprobleme zur Berechnung optimaler Steuerungsstrategien formuliert werden. Wegen zusätzlicher Beschränkungen kann der in dieser Arbeit neu entwickelte Algorithmus nicht zum Lösen der Probleme eingesetzt werden. Er wird deshalb ersetzt durch die quadprog Routine in Matlab. Die berechneten Strategien zur Anpassung der Leistung des Lasers werden auf den Maschinen zum 3D-Druck metallischer Bauteile getestet. Es stellt sich heraus, dass die Strategie, die die Leistung des Lasers nicht nur bei der Querfahrt im Mäander am Rande eines Islands, sondern auch auf einer kurzen Strecke zurück ins Innere des Bauteils absenkt, eine signifikante Verbesserung des Schmelzbildes mit sich bringt. Folglich kann auch eine bessere Oberflächenstruktur des Werkstücks erreicht werden