A divisibility property of binomial coefficients viewed as an elementary sieve

The triangular array of binomial coefficients 012301111212131331… is said to have undergone a j-shift if the r-th row of the triangle is shifted rj units to the right (r=0,1,2,…). Mann and Shanks have proved that in a 2-shifted array a column number c>1 is prime if and only if every entry in the c-th column is divisible by its row number. Extensions of this result to j-shifted arrays where j>2 are considered in this paper. Moreover, an analog of the criterion of Mann and Shanks [2] is given which is valid for arbitrary arithmetic progressions

Гипотеза Римана как чётность биномиальных коэффициентов

Гипотеза Римана имеет много эквивалентныхпереформулировок. Часть из них является арифметическими,то есть утверждениями о свойствах целых или натуральных чисел.Простейшую логическую структуру имеют переформулировки изкласса $\Pi_1^0$ арифметической иерархии, имеющие вид ``для любых$x_1,\dots,x_m$ имеет место $A(x_1,\dots,x_m)$'',где $A$ -- алгоритмически проверяемое отношение.Примером может служить переформулировка гипотезы Римана ввиде утверждения о том,что некоторое диофантово уравнение не имеет решений(такое конкретное уравнение может быть явно указано).Хотя логическая структура такой переформулировки очень проста,известные способы построения такого диофантова уравненияприводят к уравнениям, требующим для своей записи нескольких страниц.С другой стороны, известны весьма краткие по записипереформулировки, также принадлежащие классу $\Pi_1^0$.Примерами могут служить три критерия справедливости гипотезыРимана, которые предложили Ж.-Л.\,Николас,Г.\,Робин, и Дж.\,Лагариас. Недостатком этихпереформулировок (по сравнениюс диофантовым уравнением) является использование более ``сложных''констант и функций, чем натуральные числа и сложение и умножение,достаточные для построения диофантова уравнения.В работе приводится система из 9 условий, налагаемых на 9переменных. Для формулировки этих условий используются толькосложение, умножение, возведение в степень (унарное,с фиксированным основанием~2), функция ``остаток от деления'',неравенства, сравнения по модулю и биномиальный коэффициент.Вся система может быть явно выписана на одной странице.Доказано, что построеная система условий несовместна в том и только том случае,когда гипотеза Римана верна