An inexact matching approach for the comparison of plane curves with general elastic metrics

This paper introduces a new mathematical formulation and numerical approach for the computation of distances and geodesics between immersed planar curves. Our approach combines the general simplifying transform for first-order elastic metrics that was recently introduced by Kurtek and Needham, together with a relaxation of the matching constraint using parametrization-invariant fidelity metrics. The main advantages of this formulation are that it leads to a simple optimization problem for discretized curves, and that it provides a flexible approach to deal with noisy, inconsistent or corrupted data. These benefits are illustrated via a few preliminary numerical results.Comment: 5 pages, 5 figure

Определение расстояний между изображениями методом потоков де Рама

The goal of the paper is to develop an algorithm for matching the shapes of images of objects based on the geometric method of de Rham currents and preliminary affine transformation of the source image shape. In the formation of the matching algorithm, the problems of ensuring invariance to geometric image transformations and ensuring the absence of a bijective correspondence requirement between images segments were solved. The algorithm of shapes matching based on the current method is resistant to changes of the topology of object shapes and reparametrization. When analyzing the data structures of an object, not only the geometric form is important, but also the signals associated with this form by functional dependence. To take these signals into account, it is proposed to expand de Rham currents with an additional component corresponding to the signal structure. To improve the accuracy of shapes matching of the source and terminal images we determine the functional on the basis of the formation of a squared distance between the shapes of the source and terminal images modeled by de Rham currents. The original image is subjected to preliminary affine transformation to minimize the squared distance between the deformed and terminal images.Целью работы является разработка алгоритма сравнения форм изображений объектов, основанного на геометрическом методе потоков де Рама и предварительном аффинном преобразовании исходной формы изображения. При формировании алгоритма сравнения решены задачи обеспечения инвариантности к геометрическим преобразованиям изображений и обеспечения отсутствия требования биективного соответствия между сегментами исходного и терминального изображений. Алгоритм сравнения форм, основанный на методе потоков, устойчив к изменению топологии форм объектов и репараметризации. При анализе структур данных объекта имеет значение не только геометрическая форма, но и сигналы, ассоциированные с этой формой функциональной зависимостью. Для учета этих сигналов предлагается расширить потоки де Рама дополнительным компонентом, соответствующим структуре сигнала. Для повышения точности сравнения форм исходного и терминального изображений определяется функционал на основе формирования квадрата расстояния между формами исходного и терминального изображений, моделируемыми потоками де Рама. Исходное изображение подвергается предварительному аффинному преобразованию для минимизации квадрата расстояния между деформированным и терминальным изображениями

Interpolating between Optimal Transport and MMD using Sinkhorn Divergences

Comparing probability distributions is a fundamental problem in data sciences. Simple norms and divergences such as the total variation and the relative entropy only compare densities in a point-wise manner and fail to capture the geometric nature of the problem. In sharp contrast, Maximum Mean Discrepancies (MMD) and Optimal Transport distances (OT) are two classes of distances between measures that take into account the geometry of the underlying space and metrize the convergence in law. This paper studies the Sinkhorn divergences, a family of geometric divergences that interpolates between MMD and OT. Relying on a new notion of geometric entropy, we provide theoretical guarantees for these divergences: positivity, convexity and metrization of the convergence in law. On the practical side, we detail a numerical scheme that enables the large scale application of these divergences for machine learning: on the GPU, gradients of the Sinkhorn loss can be computed for batches of a million samples