Семейство негрубых циклов в системе двух связанных генераторов с запаздыванием

In this paper, we consider the nonlocal dynamics of the model of two coupled oscillators with delayed feedback. This model has the form of a system of two differential equations with delay. The feedback function is non-linear, finite and smooth. The main assumption in the problem is that the coupling between the generators is sufficiently small. With the help of asymptotic methods we investigate the existence of relaxation periodic solutions of a given system. For this purpose, a special set is constructed in the phase space of the original system. Then we build an asymptotics of the solutions of the given system with initial conditions from this set. Using this asymptotics, a special mapping is constructed. Dynamics of this map describes the dynamics of the original problem in general. It is proved that all solutions of this mapping are non-rough cycles of period two. As a result, we formulate conditions for the coupling parameter such that the initial system has a two-parameter family of nonrough inhomogeneous relaxation periodic asymptotic (with respect to the residual) solutions. В данной работе рассматривается нелокальная динамика модели двух связанных генераторов с запаздывающей обратной связью. Эта модель имеет вид системы двух дифференциальных уравнений с запаздыванием. Функция обратной связи является нелинейной, финитной и гладкой. Главным предположением в задаче является то, что связь между генераторами достаточно малая. Асимптотическими методами исследуется существование релаксационных периодических решений данной системы. Для этого в фазовом пространстве исходной системы выделяется специальное множество. Затем находится асимптотика решений данной системы с начальными условиями из этого множества. С помощью этой асимптотики строится специальное отображение, описывающее в главном динамику исходной задачи. Доказывается, что все решения данного отображения являются негрубыми циклами периода два. В результате удается сформулировать условия на параметр связи, при выполнении которых исходная система имеет двупараметрическое семейство негрубых неоднородных релаксационных периодических асимптотических по невязке решений.

A Family of Non-rough Cycles in a System of Two Coupled Delayed Generators

In this paper, we consider the nonlocal dynamics of the model of two coupled oscillators with delayed feedback. This model has the form of a system of two differential equations with delay. The feedback function is non-linear, finite and smooth. The main assumption in the problem is that the coupling between the generators is sufficiently small. With the help of asymptotic methods we investigate the existence of relaxation periodic solutions of a given system. For this purpose, a special set is constructed in the phase space of the original system. Then we build an asymptotics of the solutions of the given system with initial conditions from this set. Using this asymptotics, a special mapping is constructed. Dynamics of this map describes the dynamics of the original problem in general. It is proved that all solutions of this mapping are non-rough cycles of period two. As a result, we formulate conditions for the coupling parameter such that the initial system has a two-parameter family of nonrough inhomogeneous relaxation periodic asymptotic (with respect to the residual) solutions