34 research outputs found

    Solving Combinatorial Optimization Problems using a Quantum Annealer

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    In this talk we will start with a brief introduction of the rough concept of quantum annealing and how it can be used for combinatorial optimization. In the following we mainly focus on the steps that are necessary to transform an arbitrary discrete optimization problem to the specific class of problems D-Wave's quantum annealer is able to process, which are, in general, quadratic unconstrained binary optimization problems (QUBO) respectively so-called Ising models. We will summarize some established transformation steps, such as encoding and reduction. However, due to several physical limitations the class of problems that can be solved on the machine is further restricted. E.g. by graph minor embedding we need to overcome the non-complete hardware connectivity. Afterwards the weight of an original node needs to be distributed over several hardware nodes in a certain way to enforce the equivalence of the solutions. We will show the accompanying difficulties and some first approaches to tackle them

    Embedding and Weight Distribution for Quantum Annealing

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    Before being able to calculate on the D-Wave machine, its very restricted structure requires the embedding of the original problem graph onto the Chimera hardware graph. A precalculated embedding of a complete graph enables to map all problems with the same number of nodes or less straightforwardly. The problem of finding the largest complete graph minor and its embedding scheme in a Chimera graph with broken qubits can be formulated as an optimization problem, more precisely as a matching problem with additional linear constraints. Although being NP-hard in general it is fixed parameter tractable in the number of broken qubits. By dropping specific matches the problem can be simplified. Some preliminary results comparing this heuristic approach to exact optimization are shown. After the structural embedding the actual embedded Ising model needs to be constructed from the original problem coefficient values, such that the minima of both are equivalent. That means in the solution of the embedded Ising model the values for each single qubit embedding should be synchronized. The resulting constraints can be derived to a graph property related to expansion, which is efficient to solve in the embedding framework. First results show an improvement over standard methods with respect to coefficient ratio

    Combinatorial Problems in Programming Quantum Annealers -- Verteidigung der Doktorarbeit

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    Verteidigung der Doktorarbeit -- https://elib.dlr.de/189438

    Quantum Annealing

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    Quantum Annealer sind spezielle Quantenarchitekturen, die auf Basis des adiabatischen Theorems ein Quantensystem in ein anderes durch adiabatische Evolution ĂŒberfĂŒhren und dabei den Grundzustand, den Zustand der niedrigsten Energie, erhalten. Durch Kodieren einer Funktion im Zielquantensystem kann damit deren Minimum bestimmt werden. Da die theoretischen Voraussetzungen des adiabatischen Theorems jedoch in der RealitĂ€t nie vollstĂ€ndig erfĂŒllt werden können, stellt der Quantum Annealer einen heuristischen Optimierer fĂŒr diese Zielfunktionen dar, der durch wiederholtes AusfĂŒhren die Optimallösung nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit findet. Die Firma D-Wave Systems Inc. ist die erste, die einen Quantum Annealer kommerziell verfĂŒgbar machte. Die Realisierung der Qubits ĂŒber ĂŒberlappende supraleitende Schleifen erlaubt hierbei die Optimierung quadratischer Zielfunktionen ĂŒber binĂ€re Variablen. Diese sogenannten Ising-Probleme sind klassisch schwer zu lösende Probleme. Dazu gehört beispielsweise das Flugzeug-Gate-Zuordnungsproblem, bei dem die Zeit, die Transitpassagiere von einem Gate zum anderen benötigen, optimiert wird. Die eingeschrĂ€nkte Hardwarestruktur erfordert jedoch verschiedene Transformationsschritte. So mĂŒssen beispielsweise alle Variablen binĂ€r kodiert und Nebenbedingungen durch Strafterme in die Zielfunktion integriert werden. Zudem realisieren die Qubit-Kopplungen nur einen ganz bestimmten Hardwaregraphen, in den eine sogenannte Einbettung gefunden werden muss, bevor auf der Maschine Berechnungen durchgefĂŒhrt werden können. Auf Basis dieser Einbettung muss anschließend das eingebettete Ising-Problem formuliert werden, das das eigentlich zu lösende Problem auf der Maschine reprĂ€sentiert. Hierbei muss die eingeschrĂ€nkte MaschinenprĂ€zision beachtet werden. All diese Schritte haben einen starken Einfluss auf die Erfolgswahrscheinlichkeit und mĂŒssen daher mit großer Sorgfalt durchfĂŒhrt werden, um sinnvolle Experimente auf dem Quantum Annealer zu ermöglichen

    Ein Quantensprung? - Neuste Entwicklungen im Quantencomputing

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    Bei der Berechnung großer Probleminstanzen stoßen klassische Rechner bereits heute an ihre Grenzen. Die wachsende KomplexitĂ€t der Aufgabenstellungen erfordert daher die Erforschung neuer Rechnerarchitekturen. Es zeigen sich deutliche Hinweise, dass die Ausnutzung quantenmechanischer Prinzipien einen entscheidenden Vorteil gegenĂŒber klassischen Systemen liefert: Quantenbits können sich zugleich im Zustand „0“ und „1“ befinden und somit beide Werte simultan manipuliert werden. Durch diese QuantenparallelitĂ€t weisen Quantenalgorithmen eine geringere Laufzeit als ihre klassischen GegenstĂŒcke auf. Von einer praktischen Nutzbarkeit sind aktuelle Realisierungen des universellen Quantencomputers jedoch weit entfernt. Von der Firma D-Wave Systems Inc. ist hingegen ein sogenannter adiabatischer Quanten-Annealer kommerziell verfĂŒgbar. Durch die Transformation von Quantensystemen können damit spezielle Optimierungsprobleme gelöst werden. Deren eingeschrĂ€nkte Struktur erschwert jedoch die Übertragung von Anwendungsproblemen. Betrachtet wurden dazu zum einen ein vereinfachtes Modell einer Satellitenmissionsplanung und zum anderen ein Luftverkehrsmanagementproblem aus einem Kooperationsprojekt mit der NASA. Zu letzterem wurden bereits erfolgreich Berechnungen auf der Maschine durchgefĂŒhrt. Obwohl die Überlegenheit des adiabatischen Quanten-Annealing noch nicht zweifelsfrei nachgewiesen werden konnte, zeigt dies die Lösbarkeit von Problemen der Luft- und Raumfahrt

    Combinatorial Problems in Programming Quantum Annealers

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    Bevor auf einer Quanten-Annealing-Maschine, wie der der Firma D-Wave Systems Inc., Berechnungen durchgefĂŒhrt werden können, sind zwei grundlegende Schritte notwendig, um das Originalproblem in ein Format zu ĂŒbertragen, das von solchen Maschinen gelöst werden kann: Als Erstes muss ein mit dem Problem assoziierter Graph in den speziellen Hardwaregraphen eingebettet werden und als Zweites mĂŒssen die Parameter des eingebetteten Problems entsprechend weiterer Hardwarerestriktionen gewĂ€hlt werden, sodass die Lösungen des eingebetteten Problems beweisbar Ă€quivalent zu den ursprĂŒnglichen Lösungen sind. Diese Doktorarbeit adressiert graphentheoretische Fragestellungen und kombinatorische Optimierungsprobleme, die bei der genaueren Betrachtung beider Schritte auftreten. Im ersten Teil dieser Arbeit analysieren wir die KomplexitĂ€t des Einbettungsproblems im Quanten- Annealing-Kontext, das heißt fĂŒr Chimera- und Pegasus-Hardwaregraphen mit zum Teil nicht nutzbaren, "defekten" Qubits. Wir beweisen die Schwere des Hamiltonkreisproblems, einem Spezialfall des Einbettungsproblems, in solchen Graphen durch die Konstruktion defekter Chimera-Graphen aus speziellen Graphen, fĂŒr welche die Schwere des Problems bereits bekannt ist. Da der Chimera- ein Subgraph des Pegasus-Graphen ist, können wir das Resultat auf letzteren ĂŒbertragen. Ein weiterer Spezialfall ist die Einbettung eines vollstĂ€ndigen Graphen, welcher ein universelles Template fĂŒr die Einbettung von beliebigen Graphen mit einer kleineren oder gleich großen Zahl an Knoten darstellt. Durch die Formulierung als Matchingproblem mit zusĂ€tzlichen linearen Nebenbedingungen können wir zeigen, dass das Problem eingeschrĂ€nkt auf die sich natĂŒrlich ergebende Einbettungsstruktur "fixed-parameter tractable" ist, wenn wir die Zahl der defekten Qubits im Chimera-Graphen als Parameter betrachten. Wir vergleichen unser Verfahren mit vorherigen, heuristischen AnsĂ€tzen auf verschiedenen, zufĂ€llig generierten defekten Hardwaregraphen. Dabei können wir einen Vorteil unserer Methode gegenĂŒber den anderen hinsichtlich der gefundenen GraphengrĂ¶ĂŸen in der Praxis zeigen. ZusĂ€tzlich geben wir ein heuristisches Modell mit weniger Nebenbedingungen an, welches noch bessere Resultate liefert. Der zweite Teil beschĂ€ftigt sich mit derWahl der geeigneten Parameter, fĂŒr welche wir hinreichende Bedingungen formulieren können. Durch die Betrachtung eines einzelnen Originalknotens und verschiedener, von der Hardware abgeleiteter Zielsetzungen können wir spezielle lineare Optimierungsprobleme extrahieren. Die Analyse eines entsprechenden Polyeders der zulĂ€ssigen Lösungen zeigt, dass optimale Lösungen zu diesen Problemen in vielen FĂ€llen in Linearzeit gefunden werden können. FĂŒr die verbleibenden FĂ€lle konstruieren wir einen Algorithmus, der die Parameter in höchstens kubischer Laufzeit angibt. Aufgrund der Problemstruktur gelten diese Resultate sogar, wenn wir uns auf Ganzzahligkeit einschrĂ€nken. --- Before being able to perform calculations on a quantum annealing device such as D-Wave's, two essential steps are required to transfer the original problem into a format which can be solved by these machines: First, a graph associated with the problem needs to be embedded into the specific hardware graph and, secondly, the parameters of the embedded problem need to be chosen, in accordance with further hardware restrictions, such that the solutions to the resulting problem are provably equivalent to those of the original problem. This thesis addresses graph theoretical questions and combinatorial optimization problems appearing in the closer examination of both steps. In the first part of this work, we analyze the complexity of the embedding problem in the quantum annealing context, this means when restricting to Chimera or Pegasus hardware graphs containing unavailable, "broken" qubits. We prove the hardness of the Hamiltonian cycle problem, a special case of the embedding problem, in such graphs by constructing broken Chimera graphs from certain graphs for which it is known that finding a Hamiltonian cycle is hard. As the Chimera graph is a subgraph of the Pegasus graph, we can easily extend the result to the latter. A further special case is the embedding of a complete graph, forming a universal template for the embedding of all arbitrary graphs with a smaller or equal number of vertices. By formulating this problem as a matching problem with additional linear constraints, we can prove that the problem restricted to the naturally arising embedding structure is fixed-parameter tractable in the number of broken vertices in the Chimera graph. By testing our model against previous, heuristic approaches on various random broken hardware graphs, we can further show that our method performs superior in practice. Additionally, we provide a heuristic model with less constraints, showing an even better performance. The second part is concerned with the problem of setting feasible parameters for the machine, for which we can formulate sufficient requirements. Considering a single original vertex and different objectives derived from the hardware restrictions, we extract certain linear optimization problems. By analyzing a corresponding polyhedron of feasible solutions, we can show that optimal solutions to these problems can be found in linear time for a lot of cases. For the remaining cases, we construct an algorithm providing the parameters in at most cubic time. Due to the problem structure, these results even hold if we restrict ourselves to integer problems

    Embedding of Complete Graphs in Broken Chimera Graphs

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    In order to solve real world combinatorial optimization problems with a D-Wave quantum annealer it is necessary to embed the problem at hand into the D-Wave hardware graph, namely Chimera or Pegasus. Most hard real world problems exhibit a strong connectivity. For the worst case scenario of a complete graph, there exists an efficient solution for the embedding into the ideal Chimera graph. However, since real machines almost always have broken qubits it is necessary to find an embedding into the broken hardware graph. We present a new approach to the problem of embedding complete graphs into broken Chimera graphs. This problem can be formulated as an optimization problem, more precisely as a matching problem with additional linear constraints. Although being NP-hard in general it is fixed parameter tractable in the number of inaccessible vertices in the Chimera graph. We tested our exact approach on various instances of broken hardware graphs, both related to real hardware as well as randomly generated. For fixed runtime, we were able to embed larger complete graphs compared to previous, heuristic approaches. As an extension, we developed a fast heuristic algorithm which enables us to solve even larger instances. We compared the performance of our heuristic and exact approaches.Comment: 26 pages, 9 figures, 2 table

    Minor Embedding in Broken Chimera and Pegasus Graphs is NP-complete

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    The embedding is an essential step when calculating on the D-Wave machine. In this work we show the hardness of the embedding problem for both types of existing hardware, represented by the Chimera and the Pegasus graphs, containing unavailable qubits. We construct certain broken Chimera graphs, where it is hard to find a Hamiltonian cycle. As the Hamiltonian cycle problem is a special case of the embedding problem, this proves the general complexity result for the Chimera graphs. By exploiting the subgraph relation between the Chimera and the Pegasus graphs, the proof is then further extended to the Pegasus graphs

    Minor Embedding in Broken Chimera and Pegasus Graphs is NP-complete

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    The embedding is an essential step when calculating on the D-Wave machine. In this work we show the hardness of the embedding problem for both types of existing hardware, represented by the Chimera and the Pegasus graphs, containing unavailable qubits. We construct certain broken Chimera graphs, where it is hard to find a Hamiltonian cycle. As the Hamiltonian cycle problem is a special case of the embedding problem, this proves the general complexity result for the Chimera graphs. By exploiting the subgraph relation between the Chimera and the Pegasus graphs, the proof is then further extended to the Pegasus graphs
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