Efficient DG-based simulations of coupled surface-subsurface water flow

Abstract

Die Bedeutung der Modellierung von ober- und unterirdischen hydrologischen Prozessen für die Hochwasservorhersage, landwirtschaftliche Praktiken und Klimaforschung kann kaum überschätzt werden. Die Lösung dieser Probleme für großflächige Regionen erfordert jedoch rechnerische Herausforderungen, die effiziente numerische Methoden und parallele Berechnungen auf verteilten Rechensystemen (Supercomputern) notwendig machen. Ein ebenso wichtiger Schritt ist die Auswahl und Vereinfachung eines genauen Modells, das die Prozesse dennoch angemessen beschreibt. Diese Studie stellt einen Ansatz vor, der auf der diffusen Wellenapproximation der Flachwassergleichungen f¨ur Oberflächenströmungen und der Richards-Gleichung für Untergrundströmungen basiert. Die Herausforderung besteht darin, dass beide Gleichungen nichtlineare Diffusionsgleichungen mit lokal verschwindendem Diffusionskoeffizienten sind. Für die Diskretisierung der partiellen Differentialgleichungen wurde eine modifizierte Methode der diskontinuierlichen Galerkin-Finite-Elemente ausgewählt. Insbesondere wurde die symmetrisch gewichtete Innenstrafung mit Aufwinddiffusion verwendet, adaptiert aus Techniken der Finite-Volumen-Methode. Es wird eine neue Formulierung der Methode vorgeschlagen, die bisher in der Literatur nicht zu finden ist und die für die weitere Finite-Elemente-Analyse vorteilhaft sein könnte. Diese Wahl bietet mehrere Vorteile wie hohe Genauigkeit und Anpassungsfähigkeit, Flexibilität im Umgang mit Diskontinuitäten, Robustheit und Erhaltung physikalischer Eigenschaften, Parallelisierbarkeit und Effizienz. Sie wird erfolgreich auf unstrukturierte Gitter angewendet, was besonders vorteilhaft für Regionen mit komplexer Geometrie ist. Die Methode ermöglicht Berechnungen lokal auf jedem Gitterelement, wodurch das Datenvolumen, das zwischen CPUs ausgetauscht wird, reduziert und die Recheneffizienz erhöht wird. Bei jedem Zeitschritt des gekoppelten Problems werden zunächst Oberflächen- und Untergrundströmungen unabhängig voneinander simuliert, optional mit unterschiedlichen Zeitschritten. Ein diagonal implizites Runge-Kutta-Schema wird für die Untergrundströmung verwendet, während ein semi-implizites Schema für die Oberflächenströmung eingesetzt wird. Anschließend wird die Kopplung der erhaltenen Lösungen auf der Grundlage der Signorini-Randbedingung angewendet. Die Kopplungsmethode wird lokal an jedem Quadraturpunkt auf der Kopplungsgrenze angewendet, wodurch die Notwendigkeit des Nass-Trocken-Trackings vermieden wird. Während der Untersuchung dieses Modells wurde die ursprüngliche Hypothese durch die Anwendung eines Limiters für die Oberflächenströmung ergänzt, was die Verwendung eines größeren Zeitschritts ermöglichte. Darüber hinaus wurden effizienzsteigernde Techniken wie Code-Generierung und kubische Splines für die ressourcenintensiven Berechnungen nichtlinearer Bodenparameter eingesetzt. Auf der Basis des Softwarecodes vorheriger Forscher im Rahmen des DUNEPDELab wurde ein System implementiert, das dem vorgeschlagenen Modell und der Diskretisierung entspricht. Die Ergebnisse, die mit dem parallelen numerischen Löser im Rahmen des EXA-DUNE-Projekts erzielt wurden, werden in der Dissertation präsentiert. Das vollständig gekoppelte Modell wurde in parallelen Simulationen auf strukturierten und unstrukturierten Gittern getestet. Die Validierung erfolgte anhand von Analogien und Benchmarks aus der Literatur. Es wurde gezeigt, dass der vorgeschlagene Limiter notwendig ist, um einen stabilen und zuverlässigen Löser für hochgradige DG-Schemata zu konstruieren. Tests zur schwachen und starken Skalierbarkeit wurden in parallelen Berechnungen durchgeführt. Berechnungen wurden bei 1.18 · 108 Freiheitsgraden auf einem unstrukturierten Gitter durchgeführt, das eine reale Topographie approximiert.It is difficult to overestimate the significance of modelling surface and subsurface hydrological processes for flood prediction, agricultural practices, and climate research. However, solving these problems for large-scale regions involves computational challenges that require efficient numerical methods and parallel calculations on distributed computing systems (supercomputers). An equally important step is the selection and simplification of an accurate model that still adequately describes the processes. This thesis presents an approach based on the diffusive wave approximation of the shallow water equations for surface and Richards’ equation for subsurface flow. The challenge is that both equations are nonlinear diffusion equations with a locally vanishing diffusion coefficient. For the discretisation of the partial differential equations, a modified discontinuous Galerkin finite element method was selected. Specifically, the symmetric weighted interior penalty with upwinding diffusion, adapted from techniques used in the finite volume method. A new formulation of the method, not previously found in the literature, is proposed, which may be beneficial for further finite element analysis. This choice has several advantages, such as high order of accuracy and adaptability, flexibility in handling discontinuities, robustness and preservation of physical properties, parallelisation, and efficiency, is successfully applied to unstructured grids, which is particularly beneficial for regions with complex geometry. The method allows computations to be performed locally on each grid element, which reduces the data volume exchange between CPUs and consequently increases computational efficiency. At each time step of the coupled problem, surface and subsurface flows are first simulated independently, optionally with different time steps. A diagonally implicit Runge-Kutta scheme is used for the subsurface flow, while a semi-implicit scheme is used for the surface flow. Then, the coupling of the obtained solutions is applied based on the Signorini-type boundary condition. The coupling method is applied locally at each quadrature point on the coupling boundary, thereby avoiding the requirement for wet-dry tracking. During the investigation of this model, the initial hypothesis was supplemented with the application of a limiter for the surface flow, enabling the use of a larger time step. Additionally, efficiency-enhancing techniques, such as, code generation, and cubic splines for the resource-intensive computations of nonlinear soil parameters, were employed. Based on the software code of previous researchers within the DUNE-PDELab framework, a system corresponding to the proposed model and discretisation was implemented. Results obtained with the parallel numerical solver within the scope of the EXA-DUNE project are presented in the dissertation. The fully coupled model was tested in parallel simulations on structured and unstructured grids. A validation was conducted based on analogues and benchmarks presented in the literature. It was shown that the proposed limiter is necessary to construct a stable and reliable solver for high-order DG schemes. Tests on weak and strong scalability were performed in parallel computations. Calculations were conducted on 1.18 · 108 degrees of freedom on an unstructured grid approximating real topography