Kernels on the Riemannian manifold of symmetric positive definite matrices

Abstract

This thesis presents a formalization of kernel methods for Riemannian manifolds, with a focus on the manifold of symmetric positive definite (SPD) matrices. The work introduces the concept of Riemannian linear features, a novel approach to linearizing the manifold that incorporates the linear structure of the tangent space given by the Riemannian metric. Two general classes of kernels are described and compared for commonly used Riemannian metrics on SPD matrices: canonical kernels and metric space kernels. The thesis provides a comprehensive theoretical framework, including a detailed exploration of differential and Riemannian geometry, metric spaces, and distance geometry. It then applies this framework to develop new formalizations of the Riemannian manifold of positive definite matrices, describing standard metrics and showing how the new concepts are incorporated into each metric. The performance of the proposed kernel methods is evaluated through two comparisons: classification and dimensionality reduction. These are validated using a two-class motor imagery task with electroencephalography (EEG) recordings, employing a cross-session within-subject leave-one-session-out paradigm. This work contributes to the field by offering a unified formalization of kernel methods for Riemannian manifolds and SPD matrices in particular. It provides insights into the construction and application of kernels in this framework, opening up new avenues for research in areas such as Brain-Computer Interfaces and other domains where SPD matrices can be extracted as features for machine learning methods.Diese Dissertation präsentiert eine Formalisierung von Kernel-Methoden für Riemannsche Mannigfaltigkeiten, mit besonderem Fokus auf die Mannigfaltigkeit symmetrisch positiv definiter (SPD) Matrizen. Die Arbeit führt das Konzept der Riemannschen linearen Features ein, einen neuartigen Ansatz zur Linearisierung der Mannigfaltigkeit, der die lineare Struktur des Tangentialraums, gegeben durch die Riemannsche Metrik, einbezieht. Zwei allgemeine Klassen von Kernels werden für häufig verwendete Riemannsche Metriken auf SPD-Matrizen beschrieben und verglichen: kanonische Kernels und Kernels in metrischen Räumen. Die Dissertation bietet einen umfassenden theoretischen Rahmen, einschließlich einer detaillierten Untersuchung der Riemannschen Geometrie, metrischer Räume und Distanzgeometrie. Anschließend werden diese theoretischen Konzepte angewendet, um neue Formalisierungen der Riemannschen Mannigfaltigkeit positiv definiter Matrizen zu entwickeln. Es werden die Standardmetriken auf SPD Matrizen beschrieben und gezeigt, wie die neuen Formalisierungen in jede Metrik integriert werden. Die Leistung der vorgeschlagenen Kernel-Methoden wird durch zwei Vergleiche evaluiert: Klassifikation und Dimensionsreduktion. Diese werden anhand einer zwei-Klassen Motor-Imagery-Aufgabe mit Elektroenzephalographie (EEG)-Aufzeichnungen validiert. Diese Arbeit trägt zum Forschungsfeld bei, indem sie eine einheitliche Formalisierung von Kernel-Methoden für Riemannsche Mannigfaltigkeiten und insbesondere SPD-Matrizen bietet. Sie liefert Einblicke in die Konstruktion und Anwendung von Kernels in diesem Rahmen und eröffnet neue Forschungsmöglichkeiten für Brain-Computer-Interfaces und andere Bereiche, in denen SPD-Matrizen als Features für maschinelle Lernmethoden genutzt werden können.DFG, 384950143G, RK 2433: Differentialgleichungs- und Daten-basierte Modelle in den Lebenswissenschaften und der Fluiddynamik (DAEDALUS