Homogeneous Ricci flows and the Dynamical Alekseevskii Conjecture

Abstract

Diese Dissertation befasst sich mit der Ricci-Fluss-Gleichung in der riemannischen Geometrie. Das Hauptziel ist es, unser Verständnis des langfristigen Verhaltens von Ricci-Fluss-Lösungen mit homogenen Anfangsmetriken zu vertiefen. Konkret wird die Dynamische Alekseevskii-Vermutung behandelt, die besagt, dass der universelle Überzug einer unsterblichen homogenen Ricci-Fluss-Lösung zusammenziehbar ist. Zunächst stellen wir ein allgemeines strukturelles Ergebnis für die Isometriengruppe einer homogenen Mannigfaltigkeit auf, die eine unsterbliche Ricci-Fluss-Lösung zulässt, nämlich dass diese keine einfache normale kompakte Untergruppe enthält. Danach zeigen wir, dass die Vermutung für zwei spezielle Mengen homogener Anfangsmetriken gilt: die awesome-Metriken und die awesome-Polarmetriken. Das Testen der Vermutung in diesen Fällen ist von Interesse, weil sie Metriken mit negativer Ricci-Krümmung enthalten und daher komplexere Argumente erfordern, um die anfänglichen Krümmungsschätzungen zu verbessern, was wiederum unser Verständnis des allgemeinen Falls erweitern könnte. Im Fall der awesome-Metriken führen die gewonnenen geometrischen Schätzungen zu einer genaueren Beschreibung der asymptotischen Geometrien der Lösungen, sowohl im unsterblichen als auch im nicht unsterblichen Fall.This dissertation deals with the Ricci flow equation in Riemannian geometry. The main goal is to deepen our understanding of the long-time behavior of Ricci flow solutions with homogeneous initial metrics. Specifically, it addresses the Dynamical Alekseevskii Conjecture, which states that the universal covering of an immortal homogeneous Ricci flow solution is contractible. First, we establish a general structural result for the isometry group of a homogeneous manifold admitting an immortal Ricci flow solution, namely that it does not contain a simple normal compact subgroup. We then show that the conjecture holds for two special sets of homogeneous initial metrics: the awesome metrics and the awesome polar metrics. Testing the conjecture in these cases is of interest because they include metrics with negative Ricci curvature and therefore require more involved arguments to improve the initial curvature estimates, which in turn could expand our understanding of the general case. In the case of awesome metrics, the obtained geometric estimates lead to a more accurate description of the asymptotic geometries of the solutions, both in the immortal and non-immortal cases