A priori bounds for the dynamic fractional Φ⁴ model in the full subcritical regime

Abstract

In dieser Dissertation erhalten wir a-priori-Schranken für das dynamische fraktionale phi4-Modell auf dem dreidimensionalen Torus im vollständig subkritischen Regime unter Verwendung des Rahmens der Regularitätsstrukturen von Hairer. Unter der Annahme von Modellschranken implizieren diese Abschätzungen die globale Existenz von Lösungen sowie die Existenz eines invarianten Maßes. Wir erweitern die von Chandra, Moinat und Weber für den gewöhnlichen Wärmeleitungsoperator entwickelte Methode auf den fraktionalen Wärmeleitungsoperator und behandeln damit ein physikalisch relevanteres Modell. Ein zentrales Element dieser Arbeit ist die Entwicklung lokalisierter multilevel Schauder-Abschätzungen für den fraktionalen Wärmeleitungsoperator, die in Hairers ursprünglicher Arbeit nicht enthalten sind. Darüber hinaus werden die algebraischen Argumente von Chandra, Moinat und Weber deutlich gestrafft. Wir erhalten außerdem a-priori-Abschätzungen für das fraktionale phi4-Modell in zwei Dimensionen im Da Prato-Debussche-Regime und fügen die notwendigen stochastischen Abschätzungen für diesen Rahmen hinzu.In this thesis we obtain a priori bounds for the dynamic fractional phi4 model on the three dimensional torus in the full subcritical regime using the framework of Hairer's regularity structures. Assuming the model bounds, these estimates imply global existence of solutions and existence of an invariant measure. We extend the method developed for the usual heat operator by Chandra, Moinat and Weber to the fractional heat operator, thereby treating a more physically relevant model. A key ingredient in this work is the development of localised multilevel Schauder estimates for the fractional heat operator which is not covered in Hairer's original work. Furthermore, the algebraic arguments from Chandra, Moinat and Weber are streamlined significantly. We also obtain a priori estimates for the fractional phi4 model on two dimensions in the Da Prato-Debussche regime, and include the necessary stochastic estimates for this setting