PDEs for neural networks with internal states

Abstract

In the context of mathematical neuroscience, the Integrate and Fire model undoubtedly enjoys great fame and a vast literature. Yet, its peculiar mathematical structure makes the study of this equation challenging and always open-ended. The classical model consists of an equation that describes the dynamics of a network of neurons based on the membrane potential of the cells. A network can be interconnected with excitatory or inhibitory linkages or disconnected, in which case the equation will be linear. We are interested in the asymptotic behaviour of such networks in the linear case, where mathematical tools such as the relative entropy, the integral method and Harris theory have been useful in proving the convergence towards the steady state. In the first extension of the classical Integrate and Fire model we propose, we replace the punctual boundary condition with a non-local term, introducing a randomness parameter. For this new system, we prove long-time convergence via Harris theory and relative entropy with Poincaré inequality independent of the random parameter. Furthermore, we study the asymptotic convergence of the solutions of this model to those of the classical one. In the second extension, we deal with the incorporation of a variable for the adaptation current. First, we study the dynamics of this last variable alone, analysing the regularity of the stationary solution in dependence on the parameters and the asymptotic behaviour by means of the different methods of relative entropy with compactness argument and integral method. We then investigate the dynamics of the two-dimensional model through numerical simulations and we make comparison with a similar Fokker-Planck equation with partial diffusion and non-linearity. A number of numerical simulations accompany the study of each analysed model, allowing its theoretical results to be supported or anticipated.Dans le contexte des neurosciences mathématiques, le modèle Intègre et Tire jouit sans aucun doute d'une grande renommée et d'une vaste littérature. Cependant, sa structure mathématique particulière rend l'étude de cette équation difficile et toujours ouvert. Le modèle classique consiste en une équation qui décrit la dynamique d'un réseau neuronal en fonction du potentiel de membrane des cellules. Un réseau peut être interconnecté par des liens excitateurs ou inhibiteurs, ou déconnecté, auquel cas l'équation sera linéaire. Nous nous intéressons au comportement asymptotique de ces réseaux dans le cas linéaire, où des outils mathématiques tels que l'entropie relative, la méthode integrale et la théorie de Harris ont été utiles pour démontrer la convergence vers l'état stationnaire. Dans la première extension du modèle classique d'Intègre et Tire que nous proposons, nous remplaçons la condition au bord ponctuelle par un terme non local, en introduisant un paramètre aléatoire. Pour ce nouveau système, nous prouvons la convergence en temps long au moyen de la théorie de Harris et de l'entropie relative avec une inégalité de Poincaré indépendante du paramètre aléatoire. De plus, nous étudions la convergence asymptotique des solutions de ce modèle vers celles du modèle classique. Dans la deuxième extension, nous traitons de l'ajout d'une variable pour le courant d'adaptation. Nous étudions d'abord la dynamique de cette variable seule, en analysant la régularité de la solution stationnaire en fonction des paramètres et le comportement asymptotique à l'aide des différentes méthodes de l'entropie relative avec argument de compacité et de la méthode intégrale. Nous étudions ensuite la dynamique du modèle bidimensionnel au moyen de simulations numériques et nous proposons des comparaisons avec une équation de Fokker-Planck similaire avec diffusion partielle et non-linéarité. Un certain nombre de simulations numériques accompagnent l'étude de chaque modèle analysé, ce qui permet d'étayer ou d'anticiper les résultats théoriques.Nel contesto delle neuroscienze matematiche, il modello di Integrate and Fire gode indubbiamente di grande fama e di una vasta letteratura. Eppure, la sua peculiare struttura matematica rende lo studio di questa equazione stimolante e sempre aperto. Il modello classico consiste in un'equazione che descrive la dinamica di una rete di neuroni in funzione del potenziale di membrana delle cellule. Una rete può essere interconnessa con legami eccitatori o inibitori o disconnessa, nel qual caso l'equazione sarà lineare. Noi siamo interessati al comportamento asintotico di tali reti nel caso lineare, dove strumenti matematici come l'entropia relativa, il metodo integrale e la teoria di Harris si sono rivelati utili per dimostrare la convergenza verso lo stato stazionario. Nella prima estensione del modello classico di Integrate and Fire che proponiamo, sostituiamo la condizione al bordo puntuale con un termine non locale, inserendo un parametro di casualità. Per questo nuovo sistema, dimostriamo la convergenza allo stato stazionario tramite la teoria di Harris e dell'entropia relativa con disuguaglianza di Poincaré indipendente dal parametro casuale. Inoltre, studiamo la convergenza asintotica delle soluzioni di questo modello a quelle del classico. Nella seconda estensione ci occupiamo di incorporare una variabile per la corrente di adattazione. In primo luogo, studiamo la dinamica di quest'ultima variabile sola, analizzando la regolarità della soluzione stazionaria in dipendenza dai parametri e studiando il comportamento asintotico tramite i differenti metodi dell'entropia relativa con argomento di compattezza e metodo integrale. Indaghiamo poi la dinamica del modello bidimensionale tramite delle simulazioni numeriche e lo confrontiamo con un'equazione di Fokker-Planck similare con diffusione parziale e nonlinearità. Alcune simulazioni numeriche accompagnano lo studio di ogni modello analizzato, permettendo così di supportarne o anticiparne i risultati teorici