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Module supersingulier et points rationnels des courbes modulaires

By Marusia Rebolledo

Abstract

Jury : S. Edixhoven (rapporteur), M. Harris, L. Merel (directeur), J.-F. Mestre (président), J. Nekovar, J. Tilouine (rapporteur).We study here the free group generated by isomorphism classes of supersingular elliptic curves in positive characteristic $p$, called the supersingular module. We compare it with others Hecke modules: the homology of modular curve $X_0(p)$ and the set of modular forms of weight $2$ and level $p$. We give several interpretations and applications of Gross and Gross-Kudla's formulas about $L$-functions of modular forms. Using the links between supersingular module and geometry of X_0(p)$ we apply these results in order to study the rational points on certain modular curves. Following the method of Momose and Parent, we determinate an infinite set of primes $p$ for which the quotient of $X_0(p^r)$ ($r\geq 2$) by Atkin-Lehner operator has no rational points other than cusps and CM points.Nous étudions ici le groupe libre engendré par les classes d'isomorphisme de courbes elliptiques supersingulières en caractéristique $p$ appelé module supersingulier. Nous le comparons à d'autres modules de Hecke : l'homologie de la courbe modulaire $X_0(p)$ et l'ensemble des formes modulaires de poids $2$ et de niveau $p$. Nous donnons des interprétations et des applications des formules de Gross et Gross-Kudla concernant les fonctions L de formes modulaires. Les liens entre le module supersingulier et la géométrie de $X_0(p)$ nous permettent d'appliquer ces résultats à l'étude des points rationnels de certaines courbes modulaires. Reprenant une méthode de Momose et Parent, nous déterminons notamment un ensemble infini de nombres premiers $p$ pour lesquels le quotient de $X_0(p^r)$ ($r\geq 2$) par l'opérateur d'Atkin-Lehner n'a pour points rationnels que les pointes et les points CM

Topics: supersingular module, homology of modular curves, elliptic curves, modular curves, L functions, modular forms, modular symbols, module supersingulier, homologie des courbes modulaires, courbes elliptiques, courbes modulaires, fonctions L, formes modulaires, symboles modulaires, [MATH] Mathematics [math]
Publisher: HAL CCSD
Year: 2004
OAI identifier: oai:HAL:tel-00008022v1
Provided by: Hal-Diderot
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