REPRESENTAÇÕES DE GRUPOS TRIANGULARES EM GEOMETRIA HIPERBÓLICA COMPLEXA

Abstract

O principal objetivo deste trabalho é o estudo de representações que preservam tipo rho:Gamma - PU(2,1) de grupos triangulares Gamma no grupo de isometrias holomorfas do espaço hiperbólico complexo de dimensão dois H^2_C. O grupo triangular Gamma(p,q,r) é o grupo gerado por reflexões nos lados de um triângulo geodésico, com ângulos pi/p, pi/q e pi/r, no plano hiperbólico. Neste trabalho, nossas atenções são voltadas para os grupos Gamma (4,4,infinito) e Gamma(4,infinito,infinito). Demonstramos, entre outros resultados: Para cada caso, existe um caminho contínuo de representações rho_t que contém todas as representações que preservam tipo de Gamma em PU(2,1). Portanto, isto nos dá, em cada caso, uma descrição completa do espaço de representações de Gamma em PU(2,1). Para cada caso, existe um intervalo fechado J tal que rho_t é uma representação discreta e fiel se, e somente se, t pertence a J. Em cada caso, existe, na fronteira do espaço de deformações, uma representação com elementos parabólicos acidentais. Para demonstrar estes resultados, construímos parametrizações especiais de triângulos em H^2_C. Construímos poliedros fundamentais para os grupos e utilizamos uma variante do Teorema do Poliedro de Poincaré.The main aim of this work is to study type-preserving representations p: gamma PU(2, 1) of triangle groups _ in the group of holomorphic isometries of the twodimensional complex hyperbolic space H2C. The triangle group gamma(p, q, r) is the group generated by reflections in the sides of a geodesic triangle having angles pi/p, pi/q and pi/r. We focus our attention on the groups gamma(4,4, infinit) and gamma (4,infinit, infinit). Among other results, we prove that for each case: 1. There is a continuous path of representations pt which contains all type-preserving representations of gamma in PU (2,1) up to conjugation by isometries. This gives us a complete description of the representation space of gamma in PU(2,1). 2. There is a closed interval J such that pt is a discrete and faithful representation if and only if t belongs J. 3. On the boundary of the representation space there is a representation with accidental parabolic elements. To prove these results we give special parametrizations of triangles in H2C. We also build fundamental polyhedra for the groups and use a kind of Poincares Polyhedron Theorem