Untersuchungen zur singulären Minimalflächengleichung

Abstract

Wir untersuchen Minimierer des Funktionals \begin{align*} \mathcal{F}^{\ast}(u) := \int_{\Omega} u^{\alpha} \sqrt{1 + |Du|^{2}} + \frac{1}{1 + \alpha}\int_{\partial \Omega} |u^{1+\alpha} - \phi^{1 + \alpha}| d\mathcal{H}^{n - 1}, \end{align*} für ein offenes Gebiet $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ mit Lipschitz-Rand, eine Funktion $u \in BV_{+}^{1 + \alpha} = \{ u \in L^{1}(\Omega, \mathbb{R}_{+}) : u^{1 + \alpha} \in BV(\Omega) \}$ und Randwerte $\phi \in L^{\infty}(\partial \Omega)$, welches in dieser Form auf \textsc{Bemelmanns} und \textsc{Dierkes} \cite{BD} zurückgeht und dessen Untersuchung seitdem bereits ausgiebig, hauptsächlich durch U. Dierkes sowie G. Huisken, vorangetrieben wurde. Die Hauptergebnisse dieser Arbeit sind unter anderem die Endlichkeit des Perimeters der Koinzidenzmenge $\{ u = 0 \}$ und die Nichtnegativität ihrer inneren mittleren Krümmung, die $\frac{1}{2}$-Hölderstetigkeit bereits als stetig vorausgesetzter Lösungen $u$, sowie die Regularität von Lösungen eines zugehörigen parametrischen Hindernisproblems.We are looking at minimizers of the functional \begin{align*} \mathcal{F}^{\ast}(u) := \int_{\Omega} u^{\alpha} \sqrt{1 + |Du|^{2}} + \frac{1}{1 + \alpha}\int_{\partial \Omega} |u^{1+\alpha} - \phi^{1 + \alpha}| d\mathcal{H}^{n - 1}, \end{align*} for an open region $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ with Lipschitz-boundary, a function $u \in BV_{+}^{1 + \alpha} = \{ u \in L^{1}(\Omega, \mathbb{R}_{+}) : u^{1 + \alpha} \in BV(\Omega) \}$ and boundary values $\phi \in L^{\infty}(\partial \Omega)$, which in the present formulation was originally introduced by J. Bemelmanns and U. Dierkes, and whose investigation has since been advanced extensively, mostly by Dierkes and also by G. Huisken. The main results of this work are the finiteness of perimeter of the set $\{u = 0\}$ as well as its mean convexity, the $\frac{1}{2}$-Hölder-continuity of continuous minimizers, and finally the regularity of solutions to a related parametric obstacle problem