The Quantum and the Twisted Quantum Fourier Transform.Applications in Quantum Computing

Abstract

78 σ.Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες”Τις τελευταίες δεκαετίες ο κλάδος της Κβαντικής Πληροφορικής αποτελεί πεδίο συστηματικής έρευνας,με στόχο το σχεδιασμό κβαντικών αλγορίθμων και υπολογιστών που θα επιλύουν με αποτελεσματικό τρόπο προβλήματα τα οποία είναι πρακτικώς άλυτα από τους κλασικούς υπολογιστές.Σκοπός της συγκεκριμένης εργασίας είναι να αναδείξει τον τρόπο με τον οποίο τα Μαθηματικά εφαρμόζονται στο σύγχρονο αυτό πεδίο,μέσω της μελέτης του κβαντικού μετασχηματισμού Fourier (και της twisted παραλλαγής του),ο οποίος αποτελεί τη βάση πολλών κβαντικών αλγορίθμων. Στο πρώτο της μέρος περιγράφουμε το μαθηματικό φορμαλισμό της Κβαντομηχανικής και εισάγουμε τον κβαντικό μετασχηματισμό Fourier,ως το κβαντικό ανάλογο του κλασικού διακριτού μετασχηματισμού Fourier.Θεωρούμε τον πίνακα της αναπαράστασής του σε κατάλληλο χώρο Hilbert και βάσει αυτού αποδεικνύουμε βασικές του ιδιότητες.Ασχολούμαστε επίσης,με το πρόβλημα της διαγωνοποίησής του και παραθέτουμε μία αναλυτική μέθοδο προσδιορισμού των ιδιοτιμών και των ιδιοανυσμάτων του,την οποία εφαρμόζουμε στην περίπτωση του μετασχηματισμού Fourier διάστασης 5.Στα δύο τελευταία κεφάλαια του πρώτου μέρους αναφερόμαστε στον Twisted κβαντικό μετασχηματισμό Fourier,αναδεικνύοντας τη σχέση του με τον προηγούμενο και αναπτύσσοντας την αντίστοιχη μαθηματική διερεύνηση σχετικά με τις ιδιότητες και τη διαγωνοποίησή του. Στο δεύτερο μέρος της εργασίας,μετά από μία γενική εισαγωγή στην Κβαντική Πληροφορική,παρουσιάζουμε τις σημαντικότερες εφαρμογές του κβαντικού αλγορίθμου που υπολογίζει τον μετασχηματισμό Fourier.Βασιζόμενοι στις μαθηματικές του ιδιότητες καταλήγουμε στην παραγοντοποιημένη μορφή του,η οποία μας επιτρέπει στη συνέχεια να σχεδιάσουμε τα κβαντικά κυκλώματα που τον υλοποιούν.Τέλος,ακολουθώντας την ίδια αποδεικτική διαδικασία,παράγουμε την αντίστοιχη παραγοντοποιημένη μορφή του Twisted κβαντικού μετασχηματισμού Fourier και σχεδιάζουμε τα κατάλληλα κβαντικά κυκλώματαDuring the last decades,Quantum Information is a field of systematic research,as it promises the development of quantum algorithms and computers which will efficiently solve problems that, practically,cannot be solved on a classical computer.The object of this assignment is to highlight the way in which Mathematics apply to this modern area of research,throughout the study of the quantum Fourier transform (and its twisted variant),which lies on the basis of many quantum algorithms. In the first part we describe the mathematical formalism of Quantum Mechanics and we introduce the quantum Fourier transform as the quantum analogue of the classical discrete Fourier transform.We consider its matrix representation in the respective Hilbert space and using this, we prove some basic properties.We also deal with the problem of its diagonalization and we present an analytical method for finding its eigenvalues and eigenvectors,which we implement in the case of the Fourier transform of dimension 5.In the last two chapters of the first part we study the twisted quantum Fourier transform,showing its relation to the previous one and developing the same mathematical investigation concerning its properties and diagonalization. In the second part of this report,after a brief introduction to Quantum Information,we feature the most important applications of the quantum algorithm which computes the quantum Fourier transform.Using its mathematical properties we end up with its factorized form that enables us to design the quantum circuits.Finally,following the same method we produce the respective factorized form of the twisted quantum Fourier transform and we design the quantum circuits that implement it.Χρυσούλα Ν.Βλάχο