Višerazinsko modeliranje heterogenih materijala primjenom homogenizacije drugog reda

Abstract

Primjena novih materijala i tehnologija proizvodnje uz stroge zahtjeve na pouzdanost i sigurnost nameće razvoj naprednih metoda analize konstrukcija i opisivanja ponašanja materijala. Pritom, kao i kod većine drugih problema, numeričke simulacije sve više nadopunjuju mnogo skuplji eksperiment. Osim toga, eksperimentalna analiza u konstrukciji za vrijeme njene eksploatacije u većini slučajeva nije moguća ili je vrlo teško izvediva, uz visoki rizik i cijenu. Stoga je numeričko modeliranje mehaničkog ponašanja heterogenih materijala posljednjih godina sve više predmet znanstvenih istraživanja, budući da su gotovo svi materijali zbog svoje prirodne građe na mikrorazini heterogeni. Za numeričko modeliranje ponašanja materijala do sada se uglavnom koristila fenomenološka mehanika kontinuuma u kombinaciji s metodom konačnih elemenata. No, klasična mehanika kontinuuma ne razmatra strukturne pojave u materijalu na mikrorazini te se javlja ovisnost rezultata o usmjerenosti i gustoći mreže konačnih elemenata. Problem nije isključivo numerički, već leži i u matematičkom modelu. Ubrzanim rastom računalnih resursa, a time i primjene metode konačnih elemenata, u posljednjih nekoliko desetljeća došlo je do razvoja metoda modeliranja na više razina (multiscale metode), koje omogućuju procjenu ponašanja materijala na makrorazini iz poznatih svojstava konstituenata i geometrije mikrostrukture. Prenošenje rješenja s jedne razine na drugu jedan je od ključnih koraka višerazinske analize. Nakon rješavanja problema rubnih vrijednosti na nekoj od razina koja predstavlja strukturu materijala, dobiveni rezultati se homogeniziraju (uprosječuju po volumenu). Homogenizirani rezultati se prenose na neku od viših razina gdje se koriste kao ulazni podaci u daljnjoj analizi. Očigledno, za provedbu analize potrebna su minimalno dva modela. Jedan model predstavlja makrorazinu, dok drugi, model reprezentativnog volumenskog elementa (RVE-a), predstavlja mikrorazinu, odnosno mikrostrukturu materijala. Drugim riječima, RVE predstavlja najmanji dio mikrostrukture materijala koji sadrži sve osnovne informacije potrebne za opisivanje ponašanja materijala. Na taj način, RVE mora biti statistički reprezentativan uzorak mikrostrukture. Za provedbu analize na mikrorazini na rubove RVE-a dodjeljuje se tenzor deformacije s makrorazine, koji se transformira u pomake primjenom odgovarajućih rubnih uvjeta. Konstitutivna relacija na makrorazini je a priori nepoznata te se dobiva iz analize RVE-a. Pritom se tenzor naprezanja i konstitutivna matrica dobivaju postupkom homogenizacije, odnosno uprosječavanjem po volumenu RVE-a. Za rješavanje problema rubnih vrijednosti na mikrorazini najčešće se primjenjuje metoda konačnih elemenata, no moguća je i primjena ostalih metoda kao što su npr. bezmrežne metode, metoda rubnih elemenata, Fourierova transformacija i sl. Pošto računalna homogenizacija ne zahtijeva a priori pretpostavke o konstitutivnoj relaciji na makrorazini, ona omogućuje modeliranje kompleksnih geometrija i detalja mikrostrukture, kao i različitih nelinearnih materijalnih modela te velikih deformacija. Osim računalne homogenizacije postoje i druge metode, razvijene uglavnom prije računalne homogenizacije, no one su većinom ograničene na jednostavnije geometrijske modele mikrostrukture, linearne i jednostavnije nelinearne materijalne modele te male deformacije. Rezultati dobiveni homogenizacijom (tenzor naprezanja i konstitutivna matrica) uvelike ovise o rubnim uvjetima primijenjenima na RVE-u. U literaturi se najčešće koriste rubni uvjeti pomaka, rubni uvjeti periodičnosti i rubni uvjeti površinskog opterećenja. Istraživanja su pokazala da rezultati homogenizacije dobiveni korištenjem rubnih uvjeta pomaka pokazuju prekruto ponašanje RVE-a, dok rezultati dobiveni primjenom rubnih uvjeta površinskog opterećenja daju prepodatljivo ponašanje RVE-a. Primjena rubnih uvjeta periodičnosti daje najbolje rezultate i najbržu konvergenciju homogeniziranih vrijednosti pri povećanju dimenzije RVE-a. Na temelju ovisnosti varijabli na makrorazini o varijablama na mikrorazini razlikuju se višerazinske metode s primjenom računalne homogenizacije prvog i drugog reda. Računalna homogenizacija prvog reda omogućava eksplicitno modeliranje mikrostrukture, ali zadržava pretpostavke mehanike kontinuuma i stoga daje zadovoljavajuće rezultate samo za jednostavnije slučajeve opterećenja (vlak, tlak, smik) te ne može dobro opisati probleme u kojima se javljaju veliki gradijenti deformiranja i lokalizacija naprezanja. Zbog navedenih nedostataka homogenizacija prvog reda je u literaturi proširena na homogenizaciju drugog reda. Ova formulacija homogenizacije može opisati i kompleksnije načine deformiranja, npr. savijanje, ali zahtijeva kompleksniju formulaciju konačnog elementa na makrorazini, što uključuje zadovoljavanje C1 kontinuiteta, odnosno uz zahtjev za kontinuitetom pomaka javlja i zahtjev za kontinuitetom deformacija. Na mikrorazini je u tom slučaju i dalje zadržan C0 kontinuitet zbog jednostavnije formulacije problema rubnih vrijednosti. Za postizanje C1 kontinuiteta na makrorazini također se javlja potreba za primjenom konačnih elemenata višeg reda. Takvi konačni elementi temelje se na formulaciji kontinuuma višeg reda te stoga podržavaju dodatne stupnjeve slobode. Ovdje se uz pomake kao stupnjevi slobode javljaju prve i druge derivacije pomaka. Iako višerazinska analiza uz homogenizaciju drugog reda ima brojne prednosti, primjena različitih pristupa mehanike kontinuuma na makro- i mikrorazini uzrokuje brojne poteškoće u matematičkom modelu višerazinskog opisivanja ponašanja materijala. Pošto je RVE opisan klasičnim kontinuumom, varijable višeg reda koje se prenose s makrorazine i na makrorazinu ne mogu biti adekvatno definirane. Problem se rješava različitim pristupima, a svi se svode na dodavanje integralnih relacija koje omogućuju primjenu homogenizacije drugog reda. Osim toga, u aktualnim istraživanjima za diskretizaciju makrorazine primjenjuju se konačni elementi s mješovitom formulacijom, čija je svrha ostvariti zadovoljavanje C1 kontinuiteta uz čim manju numeričku kompleksnost. Nažalost, unatoč ”pojednostavljenom” pristupu takvi konačni elementi pokazali su se poprilično kompleksnima po formulaciji i zahtjevnima glede numeričkih karakteristika. Cilj ovog istraživanja je rješavanje otvorenih pitanja višerazinskog modeliranja heterogenih materijala primjenom računalne homogenizacije drugog reda. Unutar istraživanja cilj je izvesti novi višerazinski algoritam u kojem je i mikrorazina opisana kontinuumom višeg reda. Pretpostavka je da će na taj način, kao prvo, matematički model samog algoritma biti konzistentniji. Naravno, konzistentniji algoritam će pritom doprinijeti i fizikalno realnijem opisivanju ponašanja RVE-a, odnosno mikrostrukture. Pri tome se misli na proširenu definiciju gradijentnih rubnih uvjeta, koji će uz pomake definirati i gradijente pomaka po rubovima RVE-a. Uvođenjem kontinuuma višeg reda na mikrorazini trebao bi se riješiti problem prijenosa varijabli između dviju razina, jer u ovom slučaju sve varijable makrorazine postoje i na RVE-u. Drugim riječima, svaka varijabla makrorazine može se prikazati kao volumenski prosjek konjugirane varijable na mikrorazini, što je jedan od osnovnih preduvjeta primjene računalne homogenizacije. Za diskretizaciju obje razine cilj je primijeniti C1 konačni element s potpunim C1 kontinuitetom, pošto se u aktualnim istraživanjima pokazalo da mješovita formulacija unatoč težnji za pojednostavljenim pristupom u ostvarivanju C1 kontinuiteta zadržava kompleksnost u samoj formulaciji te pati od numeričkih nestabilnosti. Uz to, u postojećim algoritmima nelokalni mehanizmi na makrorazini opisuju se promjenom veličine RVE-a. Budući da je kontinuum višeg reda sam po sebi nelokalnog karaktera, opisivanje mehanizama nelokalnosti trebalo bi biti naprednije u odnosu na postojeće algoritme. Odnosno, u novoizvedenom algoritmu postojat će dva parametra nelokalnosti: veličina RVE-a i nelokalni parametar određen teorijom kontinuuma višeg reda. Razvoj i primjena višerazinskih metoda doživjeli su nagli procvat u zadnjih nekoliko desetaka godina s povećanjem računalnih resursa, čime je otvoren novi spektar primjene metode konačnih elemenata i ostalih numeričkih metoda analize deformabilnih tijela. Međutim, sama ideja analize utjecaja mikrostrukture na mehaničko ponašanje heterogenog materijala potječe još iz 19. stoljeća. Tu važan utjecaj ima princip miješanja (rule of mixtures), zatim Voigtov i Taylorov pristup, prema kojem svi mikrokonstituenti poprimaju konstantnu deformaciju, identičnu makroskopskoj. Nasuprot tome, Sachs i Reuss su predložili pristup u kojem se pretpostavlja da svi mikrokonstituenti poprimaju jednaka naprezanja, identična makroskopskim. Iako zastarjeli, ova dva pristupa i danas imaju značajnu ulogu za „grubu“ procjenu mehaničkih svojstava heterogenih materijala. Naime, Voigtova i Taylorova pretpostavka daje prekruto ponašanje, dok Sachsova i Reussova pretpostavka pokazuje prepodatljivo ponašanje materijala. U ranim fazama razvoja, metode homogenizacije su se temeljile na traženju rješenja u zatvorenoj formi za ponašanje heterogenih materijala. Zbog egzaktnosti rješenja, takve metode su opisivale samo linearno elastično ponašanje materijala, jednostavne geometrijske modele mikrostrukture te su većinom bile ograničene na male deformacije. Neke od metoda temeljenih na tome principu su Voigt-Reuss-Hillova ograničenja, Hashin-Strikmanov varijacijski princip, samokonzistentna metoda, i sl. Važnu ulogu u razvoju homogenizacije imale su i metode matematičke i asimptotske homogenizacije. Za postizanje boljih rješenja razvijene su metode homogenizacije temeljene na kontinuumu višeg reda, kao što je Coserrat-ov kontinuum. Primjena kompozitnih materijala, a time i kompleksnijih mikrostruktura sa sobom su donijeli razvoj metode jediničnih ćelija (unit cell), čiji su rani začeci ostvareni u 60-im godinama dvadesetog stoljeća. Dodatni zamah u razvoju i primjeni metode jediničnih ćelija omogućio je i sve brži rast računalnih resursa i upotrebe numeričkih metoda analize, što je omogućilo široki spektar primjene ove metode. Prednost jediničnih ćelija u odnosu na analitičke metode je u tome što uz efektivna svojstva materijala pružaju uvid u raspodjelu naprezanja i deformacija, odnosno pomaka na mikrostrukturi. Nažalost, većina metoda se temelji na a priori pretpostavkama o konstitutivnoj relaciji, što opet ovu metodu čini neprikladnom za opisivanje nelinearnih konstitutivnih relacija, odnosno, velikih deformacija. Osim toga, metoda jediničnih ćelija je pogodna za materijale s pravilnom mikrostrukturom kod kojih se može pretpostaviti pravilan raspored heterogenosti. Međutim, prostorna nejednolikost mikrostrukture ima značajan utjecaj na svojstva materijala, osobito za vrijeme plastičnog deformiranja, kao i u procesu akumuliranja oštećenja. Daljnjim razvojem višerazinskih metoda prvotni nedostaci i ograničenja metoda jediničnih ćelija su većinom otklonjeni, tako da je jedinična ćelija kao reprezentativni model mikrostrukture i u aktualnim istraživanjima još uvijek atraktivna. U zadnjih 30-ak godina pojavili su se prvi radovi temeljeni na računalnoj homogenizaciji prvog reda, što je u kasnijim godinama potaknulo primjenu i razvitak ove metode u brojnim istraživanjima. Homogenizacija prvog reda nadilazi ograničenja prethodno spomenutih metoda homogenizacije. Kao što je već prije spomenuto, pristup računalne homogenizacije ne zahtijeva nikakvu pretpostavku o konstitutivnoj relaciji na makrorazini te stoga nije ograničena na određene materijalne modele, niti na male deformacije, a omogućuje i opisivanje prostorne nejednolikosti mikrostrukture. Matematički model računalne homogenizacije temelji se na osrednjavanju tenzora deformacije na makrorazini ili gradijenta deformiranja (teorija velikih deformacija) na makrorazini i virtualnog rada (Hill-Mandelov uvjet) po volumenu RVE-a. Polje pomaka na mikrorazini sastoji se od dva dijela: jedan dio ovisi o deformaciji definiranoj na makrorazini, dok je drugi neovisan o makrorazini i predstavlja mikrofluktuacije, odnosno doprinos mikrorazine (mikrostrukture) polju pomaka. Da bi se zadovoljila jednakost volumenskog prosjeka mikrodeformacije i makrodeformacije, mikrofluktuacije u prosječnom smislu ne smiju imati utjecaj na ponašanje strukture na makrorazini. Očigledno, takav uvjet u matematičkom smislu se osigurava integralnom relacijom na polje mikrofluktuacija. Jednakost volumenskog prosjeka mikrodeformacija i makrodeformacija je osnova za definiranje rubnih uvjeta koji se koriste na RVE-u, uz dodatno zadovoljavanje integralnog uvjeta mikrofluktuacija. Kao što je već prije spomenuto, rubni uvjeti periodičnosti daju najbolje rezultate homogenizacije. S druge strane, Hill-Mandelov uvjet omogućava prijenos tenzora naprezanja i konstitutivne matrice s mikro- na makrorazinu na temelju uprosječavanja rada, odnosno energije deformiranja. Dobiveni rezultati pri tome također ovise o primijenjenim rubnim uvjetima. Za adekvatnu primjenu računalne homogenizacije potrebno je zadovoljiti princip separacije razina prema kojem „karakteristične duljine na mikrorazini su mnogo manje od prostornih duljina varijacije opterećenja na makrorazini“. Primijeni li se dano pravilo na homogenizaciju prvog reda, zaključujemo da se s makrorazine prenosi tenzor deformacije kao konstantna veličina. Drugim riječima, homogenizacija prvog reda pretpostavlja konstantnu raspodjelu deformacije s makrorazine po čitavom rubu RVE-a. Nažalost, zadovoljavanje principa separacije razina ujedno i ograničava primjenu homogenizacije prvog reda. Kao što je već spomenuto, homogenizacijom prvog reda mogu se opisivati samo jednostavniji slučajevi opterećenja, bez značajnije pojave gradijenata. Osim toga, ova metoda u matematičkom smislu ulazi u okvire lokalne teorije standardne mehanike kontinuuma, što znači da apsolutna veličina mikrokonstituenata nema utjecaja na dobivene rezultate (size effect). Unatoč ograničenjima, računalna homogenizacija prvog reda je učestalo korišten alat u brojnim istraživanjima, poput modeliranja postupka ispitivanja mehaničkog ponašanja heterogenih materijala, mehanike oštećenja i loma, tankostijenih konstrukcija, kontaktnih i multidisciplinarnih problema. Za prevladavanje ograničenja homogenizacije prvog reda u zadnjih nekoliko godina razvijena je računalna homogenizacija drugog reda. S matematičkog aspekta, homogenizacija drugog reda se temelji na istim principima osrednjavanja kao i homogenizacija prvog reda, uz dodatno proširenje formulacije. Odnosno, s makrorazine se uz tenzor deformacije sada prenosi i gradijent deformacije, dok se prilikom homogenizacije računaju Cauchyev tenzor naprezanja, ali i sekundarna naprezanja (double stresses). Računalna homogenizacija drugog reda pretpostavlja linearnu raspodjelu deformacije prenesene s makrorazine po rubu RVE-a, stoga ona omogućuje opisivanje složenijih modova deformiranja, kao i probleme lokalizacije u kojima se ne pojavljuju veliki gradijenti naprezanja i deformacija, u okvirima zadovoljavanja principa separacije razina. Za primjenu računalne homogenizacije drugog reda, na makrorazini se javlja potreba za primjenom nelokalne teorije (zadovoljen C1 kontinuitet). Primjenom nelokalne teorije veličina RVE-a postaje utjecajni faktor na rezultate homogenizacije, što ujedno i postavlja ograničenja na odabir i veličinu RVE-a. Što se tiče rubnih uvjeta, i u računalnoj homogenizaciji drugog reda rubni uvjeti periodičnosti daju najbolje rezultate, uz proširenu formulaciju varijablama kontinuuma višeg reda. Za slučaj kada su varijable višeg reda (druge derivacije pomaka) jednake nuli, rubni uvjeti periodičnosti za homogenizaciju drugog reda daju periodične deformirane oblike RVE-a, analogno homogenizaciji prvog reda. No, u općem slučaju gradijent tenzora deformacije je različit od nule, što znači da će se za kompleksnije oblike deformiranja javljati deformirani oblici RVE-a koji nisu geometrijski periodični. Upravo je iz tog razloga kod homogenizacije drugog reda ispravnije govoriti o poopćenim rubnim uvjetima periodičnosti. U dosadašnjim istraživanjima, na mikrorazini je i dalje zadržan C0 kontinuitet, što omogućuje primjenu klasičnih konačnih elemenata i materijalnih modela. No matematički model računalne homogenizacije drugog reda još uvijek predstavlja temu brojnih aktualnih istraživanja. Prilikom prijenosa varijabli s makro- na mikrorazinu, zbog prijelaza s C1 na C0 kontinuitet, javljaju se dodatna kinematička ograničenja polja mikrofluktuacije. Konkretno, zbog zadržavanja klasičnog kontinuuma na RVE-u, varijable višeg reda koje su potrebne na makrorazini ne mogu se adekvatno prenositi. Pošto na mikrorazini ne postoje gradijenti višeg reda, primjenom poopćenih uvjeta periodičnosti nije moguće prenijeti puni tenzor sekundarnih gradijenata s makrorazine. Da bi primjena rubnih uvjeta periodičnosti u homogenizaciji drugog reda bila moguća, gradijenti višeg reda definiraju se pomoću alternativne integralne relacije, što na kraju rezultira dodatnim integralnim uvjetom polja mikrofluktuacija. Također, prijenos sekundarnih naprezanja na makrorazinu je moguć samo korištenjem posebne integralne formulacije u kojoj su sekundarna naprezanja na mikrorazini u prosječnom smislu definirana kao moment primarnih naprezanja. Nadalje, kako bi se opisala heterogenost materijala na makrorazini, konstitutivna relacija makromodela poprima poopćeni oblik. Odnosno, u homogenizaciji drugog reda to znači da svako naprezanje ovisi o primarnoj, ali i o sekundarnoj deformaciji, što dovodi do ukupno četiri konstitutivne matrice potrebne za integraciju matrice krutosti elementa. Konstitutivne materijalne matrice se dobivaju homogenizacijom iz postupka statičke kondenzacije. U postupku statičke kondenzacije globalna krutost RVE-a određuje se samo pomoću vanjskih čvorova. U danom istraživanju također je razrađen algoritam višerazinskog modeliranja uz C1- C0 homogenizaciju drugog reda, za male i velike deformacije. Pri tome, makrorazina je diskretizirana trokutnim konačnim elementom s potpunim C1 kontinuitetom. Formulacija konačnog elementa prethodno je izvedena i prilagođena primjeni u višerazinskoj analizi. Iako naprednija, višerazinska analiza primjenom računalne homogenizacije drugog reda još ima brojna neriješena pitanja. Iz aktualnih istraživanja jasna je potreba za konzistentnim rješenjem problema degradacije kontinuiteta na mikrorazini. U prikazanom istraživanju izveden je novi algoritam računalne homogenizacije drugog reda. U novom algoritmu mikrorazina zadržava C1 kontinuitet, odnosno i makro- i mikrorazina su opisane istom teorijom kontinuuma. Diskretizacija obje razine provedena je istim C1 konačnim elementom spomenutim u prethodnom odjeljku. Za opisivanje materijala na mikrorazini odabrana je Aifantisova teorija gradijentne elastičnosti, koja vrijedi za male deformacije. Aifantisova teorija izvedena je kao posebni slučaj druge forme Mindlinove teorije kontinuuma, u kojoj su gradijenti višeg reda izraženi kao gradijenti tenzora deformacije. U svojoj posebnoj formulaciji Aifantis sve gradijentne koeficijente koji u konstitutivnoj relaciji povezuju varijable višeg reda zamjenjuje jednim koeficijentom, l2 . To uvelike pojednostavljuje definiranje materijalnih modela višeg kontinuuma. Konkretno, prema Aifantisovoj teoriji sekundarna naprezanja također ovise o klasičnoj materijalnoj matrici koja povezuje naprezanja i deformacije te mikrostrukturnom parametru. S obzirom da za 2D slučaj postoje gradijenti u smjerovima dviju osi, sekundarne deformacije i naprezanja definirani su pomoću dva različita tenzora. Analogno mikrorazini, makrorazina je opisana poopćenim Aifantisovim materijalnim modelom, što ukupno zahtijeva devet materijalnih matrica, odnosno devet submatrica krutosti elementa na makrorazini. Za razliku od makrorazine, element primijenjen za diskretizaciju RVE-a koristi tri materijalne matrice. Osim toga, za prijenos varijabli između razina izveden je i novi matematički model homogenizacije. Za prijenos varijabli s makrorazine izvedeni su novi gradijentni rubni uvjeti pomaka i poopćene periodičnosti. U usporedbi s rubnim uvjetima primijenjenima u klasičnoj homogenizaciji drugog reda, u ovom slučaju se osim pomaka definiraju i gradijenti pomaka po rubovima RVE-a. S obzirom na očuvanje C1 kontinuiteta na RVE-u, potpuni tenzor sekundarnih deformacija moguće je prenijeti na mikrorazinu bez dodatnih integralnih relacija nametnutih na polje mikrofluktuacija. Konzistentnost modela manifestira se i u homogenizaciji naprezanja. Zahvaljujući teoriji višeg reda, homogenizirana sekundarna naprezanja ne zahtijevaju alternativne formulacije korištenjem primarnih naprezanja. Nadalje, primjenom teorije višeg reda na mikrorazini uvodi se i nelokalnost (l2). Ako uzmemo u obzir da je sama homogenizacija drugog reda po sebi nelokalnog karaktera, gdje je veličina RVE-a, odnosno mikrostrukture parametar nelokalnosti, u slučaju C1 homogenizacije uvodimo dodatni unutarnji nelokalni parametar. Na taj način, utjecaj okoline na ponašanje točke definiran je preko veličine RVE-a, ali uz to postoji i unutarnji materijalni parametar l2 . Time je omogućena veća fleksibilnost u pogledu utjecaja gradijenata na ponašanje materijala u odnosu na klasičnu homogenizaciju drugog reda. Poznato je da klasična mehanika kontinuuma ne razmatra mikrostrukturne pojave u materijalu. U današnje vrijeme, kada utjecaj mikrostrukture na mehanička svojstva i ponašanje materijala postaje predmet sve većeg broja istraživan