Article thumbnail

Зв'язок алгебраїчних рівнянь з $(n,m)$-формами, їх степенями і рекурентними дробами

By I. I. Lishchynsky


Algebraic and recursion equations are widely used in different areas of mathematics, so various objects and methods of research that are associated with them are very important. In this article we investigate the relationship between $(n, m)$-forms with generalized Diophantine Pell's equation, algebraic equations of $n$ degree and recurrent fractions. The properties of the $(n, m^n+1)$-forms and their characteristic equation are considered. The author applied parafunctions of triangular matrices to the study of algebraic equations and corresponding recurrence equations. The form of adjacent roots of the annihilating polynomial of arbitrary $(n, m)$-forms over the field of rational numbers are explored.The following question is very important for some applied problems: Is a given form the largest by module among its adjacent roots? If it is so, then there is a periodic recurrence fraction of $n$-order that is equal to this $(n, m)$-form, and its $m$th rational shortening will be its rational approximation.The author has identified the class $(n m)$-forms with the largest module among their adjacent roots and showed how to find periodic recurrence fractions of $n$-order and rational approximations for them.Алгебраїчні та рекурентні рівняння мають широке застосування не тільки в алгебрі, але й в інших розділах математики, чим викликають неабияке зацікавлення до різного роду об'єктів та методів дослідження пов'язаних із ними. В цій статті досліджено зв'язок $(n, m)$-форм з узагальненими рівняннями Пеля, алгебраїчними рівняннями $n$-ого степеня і рекурентними дробами. Розглянуто властивості $(n,m^n+1)$-форми і її характеристичного рівняння. Застосовано парафункції трикутних матриць до алгебраїчних рівняньn-ого степеня та відповідних їм рекурентних рівнянь. Досліджено вигляд суміжних коренів анулюючого полінома довільної $(n, m)$-форминад полем раціональних чисел.Для деяких прикладних задач велике значення має відповідь на питання: чи є дана $(n, m)$-форма найбільша за модулем серед своїх суміжних коренів? Тоді в цьому випадку існуватиме одноперіодичний рекурентний дріб $n$-ого порядку, який дорівнюватиме даній $(n, m)$-формі, а його $m$-те раціональне вкорочення буде її раціональним наближенням. Автор виділив клас $(n, m)$-форм, які є найбільшими за модулем серед своїх суміжних коренів, та показав як для них знайти одноперіодичні рекурентні дроби $n$-ого порядку й раціональні наближення

Topics: $(n,m)$-form, parapermanent, unit of field, Diophantine equation, recurrence fraction, rational approximation, $(n,m)$-форма, параперманент, узагальнене рівняння Пеля, рекурентний дріб, раціональне наближення
Publisher: Precarpathian National University
Year: 2019
DOI identifier: 10.15330/cmp.11.1.96-106
OAI identifier:
Download PDF:
Sorry, we are unable to provide the full text but you may find it at the following location(s):
  • (external link)
  • Suggested articles

    To submit an update or takedown request for this paper, please submit an Update/Correction/Removal Request.