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Bijections for lattice paths between two boundaries

By Sergi Elizalde and Martin Rubey

Abstract

Abstract. We prove that on the set of lattice paths with steps N = (0, 1) and E = (1, 0) that lie between two boundaries B and T, the two statistics ‘number of E steps shared with B ’ and ‘number of E steps shared with T ’ have a symmetric joint distribution. We give an involution that switches these statistics, preserves additional parameters, and generalizes to paths that contain steps S = (0, −1) at prescribed x-coordinates. We also show that a similar equidistribution result for other path statistics follows from the fact that the Tutte polynomial of a matroid is independent of the order of its ground set. Finally, we extend the two theorems to k-tuples of paths between two boundaries, and we give some applications to Dyck paths, generalizing a result of Deutsch, and to pattern-avoiding permutations. Résumé. On montre que, sur l’ensemble des chemins avec des pas N = (0, 1) et E = (1, 0) qui se trouvent entre deux chemins donnés B et T, les deux statistiques “nombre des pas E en commun avec B ” et “nombre des pas E en commun avec T ” ont une distribution conjointe symétrique. On donne une involution qui échange ces deux statistiques, préserve quelques autres paramètres additionelles, et admet une généralisation à des chemins avec des pas S = (0, −1) dans des positions données. On montre aussi un autre résultat d’équidistribution similaire, lié au polynôme de Tutte d’un matroïde. Finalement, on étend les deux théorèmes à k-tuples de chemins entre deux frontières, et on donne quelques applications aux chemins de Dyck, en généralisant un résultat de Deutsch, et aux permutations avec des motifs exclus

Topics: lattice path, combinatorial statistic, involution, Tutte polynomial, matroid
Year: 2013
OAI identifier: oai:CiteSeerX.psu:10.1.1.309.526
Provided by: CiteSeerX
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