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Analyse fonctionnelle/Functional Analysis Probabilités/Probability Theory Random Euclidean embeddings in spaces of bounded volume ratio

By Alexander Litvak, Alain Pajor, Mark Rudelson, Nicole Tomczak-jaegermann and Roman Vershynin

Abstract

Abstract. Let (R N, � · �) be the space R N equipped with a norm � · � whose unit ball has a bounded volume ratio with respect to the Euclidean unit ball. Let Γ be any random N ×n matrix with N> n, whose entries are independent random variables satisfying some moment assumptions. We show that with high probability Γ is a good isomorphism from the n-dimensional Euclidean space (R n, | · |) onto its image in (R N, � · �): there exist α, β> 0 such that for all x ∈ R n, α √ N|x | ≤ �Γx � ≤ β √ N |x|. This solves a conjecture of Schechtman on random embeddings of ℓ n 2 into ℓ N 1. Plongements aléatoires de l’espace euclidien dans un espace à volume ratio borné Résumé. Soit (R N, �·�) l’espace R N muni d’une norme �· � dont la boule unité est à volume ratio borné par rapport à la boule unité euclidienne. On montre qu’une matrice aléatoire Γ, de taille N × n (N> n), dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes, vérifiant certaines hypothèses de moments, réalise avec une grande probabilité, un bon isomorphisme de l’espace euclidien de dimension n, de norme |. |, sur son image dans (R N, � · �): il existe α, β> 0 tels que pour tout x ∈ R n, α √ N|x | ≤ �Γx � ≤ β √ N |x|; ce qui démontre une conjecture de Schechtman sur les plongements aléatoires de ℓ n 2 dans ℓ N 1

Year: 2009
OAI identifier: oai:CiteSeerX.psu:10.1.1.135.1656
Provided by: CiteSeerX
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