Risultati di regolarità per equazioni di Kolmogorov basati su un argomento di blow-up

We present recent results regarding the regularity theory for degenerate second order differential operators of Kolmogorov-type. In particular, we focus on Schauder estimates for classical solutions to Kolmogorov equations in non-divergence form with Dini-continuous coefficients obtained in [30] in collaboration with S. Polidoro and B. Stroffolini. Furthermore, we discuss new pointwise regularity results and a Taylor-type expansion up to second order with estimate of the rest in Lp norm, following the recent paper [14] in collaboration with E. Ipocoana. The proofs of both results are based on a blow-up technique.Vengono presentati alcuni risultati recenti riguardanti la teoria della regolarità per operatori differenziali degeneri del secondo ordine di tipo Kolmogorov. In particolare, concentreremo la nostra attenzione su stime di tipo Schauder per soluzioni classiche di equazioni di Kolmogorov in forma di non divergenza con coefficienti Dini continui ottenute in [30] in collaborazione con S. Polidoro e B. Stroffolini. Inoltre, discuteremo nuovi risultati di regolarit\`{a} puntuale e uno sviluppo in serie di tipo Taylor con stima del resto in norma Lp , seguendo il recente articolo [14] ottenuto in collaborazione con E. Ipocoana. Le dimostrazioni di entrambi i risultati si basano su una tecnica di tipo blow-up

Sulla teoria della regolarità alla De Giorgi-Nash-Moser per equazioni cinetiche

In this note we review some recent results regarding the De Giorgi-Nash-Moser weak regularity theory for Kolmogorov operators obtained in [10] in collaboration with A. Rebucci. To simplify the treatment, we focus on the model case of the Fokker-Planck equation with rough coefficients and we highlight the main steps of the proof of a Harnack inequality for weak solutions.In questa nota si presentano alcuni recenti risultati relativi alla teoria della regolarità debole alla De Giorgi-Nash-Moser per operatori di Kolmogorov ottenuti in [10] in collaborazione con A. Rebucci. Per semplificare la trattazione, la nostra analisi si incentra sul caso modello dell'equazione di Fokker-Planck a coefficienti misurabili e si propone di presentare i passi fondamentali della dimostrazione di una disuguaglianza di Harnack per soluzioni deboli

Alcuni progressi sull'Ipoellitticità analitica

We present a brief survey on the theory of the real analytic regularity for the solutions to sums of squares of vector fields satisfying the Hörmander condition.Presentiamo una breva rassegna sulla regolarità reale analitica delle soluzioni di operatori somme di quadrati di campi vettoriali che soddisfano la condizione di Hörmander

Equazioni di p-evoluzione del secondo ordine con nonlinearità critica

In this paper, we study critical nonlinearities for global small data solutions to the plate equation and other second order p-evolution equations, possibly under the action of a noneffective dissipative term.In questo lavoro, richiamiamo alcuni recenti risultati in cui viene ottenuto l'esponente critico per la soluzione globale (in tempo) con dati sufficientemente piccoli per l'equazione della piastra e altre equazioni di p-evoluzione del secondo ordine, con nonlinearità di tipo potenza. Con l'aggiunta di un termine dissipativo noneffettivo, cioè che non cancella le oscillazioni, ma le smorza solamente, è stato recentemente mostrato come l'esponente critico rimanga lo stesso del caso non dissipativo, almeno in dimensione bassa. In questo lavoro, viene studiata una condizione integrale sul termine nonlineare che permette di distinguere precisamente la regione di esistenza globale da quella di nonesistenza globale della soluzione, raffinando i risultati sugli esponenti critici per nonlinearità di tipo potenza

Sulla regolarità dell'operatore p-Laplaciano anisotropico: alla ricerca di una teoria completa della regolarità

With this note, we aim at drawing a short, coherent, and compact guide of the state-of-the-art on the theory of basic regularity, such as local boundedness, local Hölder continuity, Harnack estimates and some of their consequences, in the context of solutions to anisotropic p-Laplacean operators, elliptic and parabolic.Con questa breve nota intendiamo proporre una panoramica, breve, coerente e compatta sullo stato dell'arte della teoria della regolarità degli operatori p-Laplaciani anisotropici sia ellittici che parabolici. Tratteremo proprietà di base quali la limitatezza locale, la continuità Hölderiana, le stime di Harnack e le loro principali conseguenze

Risultati di regolarità per insiemi isoperimetrici con densità

In this note, we present some recent regularity results for sets which minimize a weighted notion of perimeter under a weighted volume constraint. We focus on the case of two different densities which are merely alpha-Holder continuous, and describe what are the main issues and techniques used in order to establish the optimal regularity C1, alpha/(2-alpha) for the reduced boundary of such sets.In questa nota, presentiamo alcuni recenti risultati di regolarità per insiemi che minimizzano una nozione pesata di perimetro sotto un vincolo di volume pesato. Ci focalizziamo sul caso di due densità diverse, che siano solo Holderiane di ordine alpha e descriviamo quali sono le maggiori difficoltà e le tecniche usate per provare la regolarità ottimale C1, alpha/(2-alpha) per la frontiera ridotta di tali insiemi

Alcuni risultati sulle equazioni di Dirac-Einstein

In this note we introduce the Dirac-Einstein equations on a spin manifold and we review some recent results, in particular: the compactness of the variational solutions, the classification of the Palais-Smale sequences for the related conformal problem, and finally some existence results.In questa nota introduciamo le equazioni di Dirac-Einstein su una varietà spin ed illustriamo alcuni recenti risultati, in particolare: la compattezza delle soluzioni variazionali, la classificazione delle successioni di Palais-Smale per il relativo problema conforme, ed infine alcuni risultati di esistenza

Una breve nota su disuguaglianze integrali di Harnack per operatori parabolici non lineari singolari

In this brief note we introduce Harnack-type inequalities, which are typical in the context of singular nonlinear parabolic operators, and describe their state of art in the context of anisotropic operators.In questa nota breve presentiamo alcune disuguaglianze integrali di Harnack che sono tipiche di operatori parabolici nonlineari singolari, e descriviamo il loro stato dell'arte nel contesto di operatori singolari che presentano anisotropie

Un risultato di densità in uno spazio di tipo BV in gruppi di Carnot

In the setting of Carnot groups (connected, simply connected and stratified Lie groups), we prove a density result for a BV-type space previously introduced in [3]. In addition, we relate the dual of this BV-type space with the dual of the well known space of functions of intrinsic bounded variation. These results extend to the setting of Carnot groups some properties studied by Phuc e Torres in [22] and [23] in the Euclidean setting.Si prova un risultato di densità per uno spazio di tipo BV nell'ambito dei gruppi di Carnot (gruppi di Lie connessi, semplicemente connessi e stratificati) già introdotto in [3]. Come conseguenza di questo risultato di densità si mettono in relazione lo spazio delle funzioni a variazione (intrinseca) limitata con il duale di questo spazio. Questi risultati estendono al caso dei gruppi di Carnot alcune proprietà studiate in ambito euclideo da Phuc e Torres in [22] and [23]

Sulla media di superficie per le funzioni armoniche: una disuguaglianza di stabilità

In this article we present some of the main aspects  and the most recent results related to the following question: If the surface  mean integral of every harmonic function on the boundary of an open set D is "almost'' equal to the value of these functions at x0 in D, then  is D "almost'' a ball with center x0? This is the stability counterpart of the rigidity question (the statement above, without the two "almost'') for which several positive answers  are known in  literature.  A positive answer to the stability problem  has been given in a paper by  Preiss and Toro, by assuming a condition that turns out to be sufficient  for ∂D to be geometrically close to a sphere.  This condition, however, is not necessary, even for small Lipschitz perturbations of smooth domains, as shown in our recent paper, in which a stability inequality is  obtained by  assuming only a local regularity property of the boundary of D in at least one of its points closest to x0.In questo articolo presentiamo alcuni degli aspetti principali e i risultati più recenti relativi al seguente quesito: Se la media integrale di superficie di ogni funzione armonica sulla frontiera di un insieme aperto D "quasi'' uguale al valore di queste funzioni in x0 in D, allora D è "quasi'' una palla con centro x0? Questa è la controparte di stabilità del quesito di rigidità (la frase sopra senza i due "quasi'') per il quale diverse risposte affermative sono note in letteratura. Una risposta affermativa al problema di stabilità è stata data in un articolo di Preiss e Toro, assumendo una condizione che si rivela sufficiente per ∂D ad essere geometricamente vicino a una sfera. Questa condizione, tuttavia, non è necessaria, anche per piccole perturbazioni Lipschitziane di domini lisci, come dimostrato nel nostro recente articolo, in cui si ottiene una disuguaglianza di stabilità assumendo solo una proprietà di regolarità locale del bordo di D in almeno uno dei suoi punti più vicini a x0