Renormalization of an arbitrary renormalizable model in a gauge symmetry violating regularization

Abstract

Streszczenie Praca dotyczy badania niestandardowej regularyzacji, polegającej na zastąpieniu każdej pochodnej w działaniu wg przepisu $\partial_\mu\mapsto\exp\left\{{\partial^2/(2\Lambda^2)}\right\}\partial_\mu$. W rozdziale 1 wyjaśniamy, co było motywacją dla podjętych badań. W rozdziale 2 podajemy praktyczne metody przeprowadzania rachunków w przyjętej regularyzacji oraz wprowadzamy oparty na niej schemat minimalnego odjęcia ($\Lambda$-\anti{MS}) dla ogólnego modelu renormalizowalnego. Ze względu na naruszenia symetrii cechowania, definicja schematu wymaga sprecyzowania, które wierzchołki są ``minimalnie renormalizowane" -- przyjmujemy, że są to wszystkie wierzchołki bez pól wektorowych. Jest to naturalnym uogólnieniem ``ścisłego" minimalnego odjęcia w modelach bez symetrii lokalnych. Zgodnie z analizą przedstawioną w podrozdziale 2.4, taki wybór jednoznacznie określa działanie 1PI, jeśli narzucimy dodatkowo warunek minimalnej renormalizacji ``wierzchołka" $A_\mu\partial^2\!A^\mu$ oraz wszystkich wierzchołków z polami o niezerowej liczbie duchowej. W praktyce, obliczenie zrenormalizowanych funkcji 1PI w rzędzie $\hbar$ przebiega w czterech etapach: (1) wyznaczenie naruszenia tożsamości Slavnova-Taylora przez zregularyzowane diagramy jednopętlowe, (2) minimalna renormalizacja \emph{wszystkich} wierzchołków, (3) wyznaczenie naruszenie tożsamości ST przez funkcje minimalnie zrenormalizowane, (4) wyznaczenie dodatkowych przeciwczłonów dla wierzchołków z polami wektorowymi z warunków przywrócenia tożsamości ST. Procedura ta przeprowadzona jest w rozdziale 3, gdzie podajemy pełen zestaw dodatkowych przeciwczłonów w przybliżeniu jednopętlowym. W rozdziale 4 wykazujemy, że $\Lambda$-\anti{MS} jest równoważny ze schematem \anti{MS} regularyzacji wymiarowej z ``naiwną" $\gamma^5$ (DimReg-\anti{MS}). W tym celu sprawdzamy, że w jednej pętli funkcje jednocząstkowo-nieprzywiedlne w obu schematach powiązane są przez ``skończoną renormalizację" pól i sprzężeń. Uzyskane związki między zrenormalizowanymi parametrami posłużą nam do wyznaczenia (w rozdziale 5) dwupętlowych funkcji $\beta$ w $\Lambda$-\anti{MS} przy użyciu dostępnych w literaturze wzorów na ich odpowiedniki w DimReg-\anti{MS}. W ramach dodatkowego testu spójności schematu $\Lambda$-\anti{MS}, wyznaczamy w rozdziale 6 rozbieżne części dwupętlowych diagramów próżniowych, pokazując, że $\Lambda$-\anti{MS} poprawnie usuwa przekrywające się rozbieżności. Pozwala to na \emph{bezpośrednie} obliczenie funkcji $\beta^{(2)}$ dla skalarnych stałych sprzężenia w schemacie $\Lambda$-\anti{MS}, w pełnej zgodności z wynikami rozdziału 5 opartymi na związku z regularyzacją wymiarową. Zastosowania tych wyników w kontekście problemu hierarchii omawiamy w rozdziale 7. Dodatki A, I, H oraz C.2 zawierają rachunki stanowiące integralną część pracy. Pozostałe dodatki mają charakter uzupełniający.Summary The thesis concerns loop calculations in a nonstandard regularization defined by the replacement $$\partial_\mu\mapsto\exp\left\{{\partial^2/(2\Lambda^2)}\right\}\partial_\mu$$ for all derivatives in the Lagrangian. In Chapter 1 we explain our main motivations. In Chapter 1 we develop practical methods for calculations in this regularization. We also introduce an appropriate minimal subtraction scheme ($\Lambda$-\anti{MS}) for an arbitrary renormalizable model. Because of violations of the gauge symmetry induced by regularization, we have to decide which vertices are minimally renormalized -- by our choice these are all vertices without vector fields. In Section 2.4 we show that this choice determines 1PI effective action unambiguously provided that the ``vertex" $A_\mu\partial^2\!A^\mu$ as well as all vertices containing fields carrying nonzero ghost number are also minimally renormalized. There are four stages of calculation of 1PI Green functions at the $\hbar$ order: (1) determination of violation of a Slavnov-Taylor identity for regularized one-loop diagrams, (2) minimal renormalization of \emph{all} vertices, (3) determination of violation of the ST identity for minimally renormalized 1PI functions, (4) determination of additional counterterms for vertices with vector fields from the condition of restoration of the ST identity. This procedure is performed in Chapter 3, and the complete set of additional counterterms is determined at one-loop. In Chapter 4 we show that $\Lambda$-\anti{MS} is equivalent with \anti{MS} scheme of dimensional regularization with ``naive" $\gamma^5$ (DimReg-\anti{MS}). To this end we check that the one-loop 1PI functions in both schemes are related through ``finite renormalization" of fields and couplings. So obtained relations between renormalized parameters allow for the conversion of well-known two-loop $\beta$ functions in DimReg-\anti{MS} into their counterparts in $\Lambda$-\anti{MS} -- this is done in Chapter 5. As an additional consistency check we calculate -- in Chapter 6 -- divergent parts of two-loop vacuum diagrams in $\Lambda$-\anti{MS}. We show that overlapping divergences are removed correctly in $\Lambda$-\anti{MS}. Moreover, this calculation allows for a \emph{direct} calculation of two-loop $\beta$ functions in $\Lambda$-\anti{MS} -- the result is consistent with the one obtained in Chapter 5. In chapter 7 we discuss possible applications of our results in the context of the hierarchy problem. Appendices A, I, H and C.2 contain calculations that are integral parts of the thesis. Remaining appendices contain a supplementary material