Pozo Montero, Francesc

Ripoll Missé, Jordi

Catalan

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC

Elements bàsicsde l'àlgebra linealProblemes per a la ciència de dadesPID_00262428Francesc Pozo MonteroJordi Ripoll Missé© FUOC • PID_00262428 Elements bàsics de l'àlgebra linealFrancesc Pozo Montero Jordi Ripoll MisséLlicenciat en Matemàtiques per laUniversitat de Barcelona (2000) idoctor en Matemàtica Aplicada perla Universitat Politècnica de Catalu-nya (2005). Ha estat professor as-sociat a la Universitat Autònomade Barcelona i professor associat,col·laborador i actualment professoragregat a la Universitat Politècnicade Catalunya. A més, és cofundadordel Grup d’Innovació MatemàticaE-learning (GIMEL), responsable dediversos projectes d’innovació do-cent i autor de diverses publicaci-ons. Com a membre del grup de re-cerca consolidat CoDAlab, centra larecerca en la teoria de control i lesaplicacions en enginyeria mecànicai civil, com també en l’ús de la cièn-cia de dades per al monitoratge dela integritat estructural i per al mo-nitoratge de la condició, sobretot enturbines eòliques.Llicenciat en Matemàtiques i doc-tor en Ciències Matemàtiques perla Universitat de Barcelona (2005).Professor col·laborador de la Univer-sitat Oberta de Catalunya des del2011 i professor del Departamentd’Informàtica, Matemàtica Aplicadai Estadística de la Universitat de Gi-rona (UdG) des del 1996, on actu-alment és professor agregat i desen-volupa tasques de recerca en l’àmbitde la biologia matemàtica (modelsamb equacions en derivades parcialsi dinàmica evolutiva). També ha es-tat professor i tutor de la UNED endues etapes, primer al centre asso-ciat de Terrassa i actualment al deGirona. Ha participat en nombrososprojectes d’innovació docent, espe-cialment pel que fa a l’aprenentatgede les matemàtiques en línia.L'encàrrec i la creació d'aquest recurs d'aprenentatge UOC han estat coordinatsper la professora: Cristina Cano Bastidas (2019)Primera edició: febrer 2019© Francesc Pozo Montero, Jordi Ripoll MisséTots els drets reservats© d'aquesta edició, FUOC, 2019Av. Tibidabo, 39-43, 08035 BarcelonaDisseny: Manel AndreuRealització editorial: Oberta UOC Publishing, SLCap part d'aquesta publicació, incloent-hi el disseny general i la coberta, no pot ser copiada,reproduïda, emmagatzemada o transmesa de cap manera ni per cap mitjà, tant si és elèctric comquímic, mecànic, òptic, de gravació, de fotocòpia o per altres mètodes, sense l'autoritzacióprèvia per escrit dels titulars del copyright.© FUOC • PID_00262428 Elements bàsics de l’àlgebra linealÍndex1. Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Solucions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8© FUOC • PID_00262428 5 Elements bàsics de l’àlgebra lineal1. Problemes.Elements bàsics de l’àlgebra linealTemes: espais vectorials en dimensió finita (vectors i operacions amb vectors), subes-pais generats. Matrius (diagonals, triangulars, quadrades, rectangulars, simètriques),operacions amb matrius. Determinants: càlcul i interpretació geomètrica al pla i al’espai. Matriu inversa. Rang d’una matriu. Aplicacions lineals (entre espais vectori-als). Producte escalar de dos vectors (angle entre els vectors).Nota de l’exercici 1Aquest exercici és unasimplificació dràstica d’unasituació real d’una botiga quepot tenir una gran varietatd’animals i oferir garantiesdiverses en funció del tipusd’animal i del tipus de client.Imagineu el gran volum dedades que podríem codificaramb aquest tipus de matrius!1. La teoria de matrius pot ser una eina molt útil per descriure problemes dela vida quotidiana. Vegem-ne un exemple:Una botiga d’animals que ven peixos d’aquari inclou una garantia: cadapeix que mori durant els tres primers mesos serà reemplaçat de forma gra-tuïta. Un cop el peix ha estat reemplaçat una vegada, ja no queda cobertper la garantia. D’altra banda, s’han recopilat les següents dades: el 3% delspeixos moren durant el primer mes, el 5% dels peixos que superen el pri-mer mes moren durant el segon mes i, finalment, el 7% dels peixos quehan complert dos mesos moren durant el tercer mes.a) Si per simplificar suposem que els peixos sense garantia no es moren, di-buixeu el diagrama d’estats (nodes) i les probabilitats de transició entreestats (arestes). Fixeu-vos que aquest problema té cinc estats possibles:peix en el mes 1, 2 o 3 (E1,E2,E3, respectivament), peix sense garan-tia perquè ja s’ha reposat (E4) i peix sense garantia perquè té més detres mesos (E5). Per fer aquest diagrama, dibuixeu cinc rodones amb lesetiquetes dels estats i, a continuació, traceu fletxes entre les rodonesindicant les possibles transicions entre els estats i especificant la proba-bilitat corresponent.b) Escriviu la matriu P = (Pij) de les probabilitats de transició, és a dir, Pijés la probabilitat de canviar de l’estat j a l’estat i per cada un dels cincpossibles estats del sistema. Fixeu-vos que cada columna de la matriucorrespon a les probabilitats de les fletxes que surten de cada estat i lasuma total ha de ser igual a 1.c) P és una matriu diagonal? P és una matriu triangular? Calculeu el seudeterminant. Existeix la matriu P–1?d) Calculeu P2, P3 i P4, és a dir, el quadrat, el cub i la potència quarta dela matriu P. Què observeu? Aquestes noves matrius tenen la mateixaestructura triangular que la matriu original?© FUOC • PID_00262428 6 Elements bàsics de l’àlgebra lineal2. Si disposem de dades de n observacions d’individus amb m característiques(típicament, n≫ m, és a dir, moltes més observacions que característiques),podem organitzar aquesta informació en forma d’una matriu A de n files im columnes, que en general serà rectangular.Un dels temes importants que tractaremmés endavant és la descomposicióen valors singulars (SVD), una aplicació interessant i útil en la ciència dedades que es basa en l’anàlisi de la matriu AT · A o la matriu A · AT , duesnoves matrius resultants de multiplicar, per la dreta o per l’esquerra, lamatriu transposada (que s’obté de canviar files per columnes) per la matriuoriginal. Vegem-ne un parell d’exemples:a) Considereu les matrius rectangulars següents:A =1 23 14 0–1 3, A =3 2 9 30 –7 1 44 1 –1 2i calculeu-ne el rang (el nombre màxim de files o de columnes lineal-ment independents).b) Per a cada una de les matrius A de l’apartat anterior, calculeu les duesmatrius B1 = AT ·A i B2 = A·AT . Aquestes noves matrius són simètriques?Tenen la mateixa traça (suma dels elements de la diagonal principal)?Tenen el mateix determinant? Calculeu-ne els rangs. Es compleix quecoincideixen, és a dir, rang(A) = rang(B1) = rang(B2)?3. Una de les aplicacions més directes dels determinants, íntimament relaci-onada amb la definició de determinant d’una matriu, és el càlcul d’àreesdefinides per dos vectors al pla i el càlcul de volums definits per tres vec-tors a l’espai. En efecte, tres vectors a l’espai tridimensional (R3) generen unprisma de sis cares (paral·lelepípede en què les cares són paral·lelograms pa-ral·lels dos a dos). Per calcular el volum d’aquesta peça n’hi ha prou de cal-cular el determinant en valor absolut de la matriu A, formada pels tres vec-tors (en files o en columnes). En símbols, si tenim els vectors u⃗ = (u1,u2,u3),v⃗ = (v1,v2,v3) i w⃗ = (w1,w2,w3), llavors el volum generat és:V = |det(u⃗,⃗v,w⃗)| =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣u1 v2 w1u2 v2 w2u3 v3 w3∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣≥ 0El determinant s’ha de calcular en valor absolut, ja que, independentmentde l’ordre en què agafem els vectors i el volum d’una figura, sempre seràun valor positiu. A més, podríem posar els vectors per files a la matriu,© FUOC • PID_00262428 7 Elements bàsics de l’àlgebra linealen comptes de fer-ho per columnes, ja que el determinant de la matriutransposada coincideix amb el determinant de la matriu: det(AT) = det(A).a) Donats els punts a l’espai P = (–2,6,7), Q = (5, – 6,8), R = (8,4, – 9) iS = (9,5,1), construïu tres vectors a partir d’un dels vèrtexs (per exemple,––→PQ,–→PR i–→PS) i calculeu el volum del prisma generat.b) Considereu ara el tetraedre (piràmide de base triangular, és a dir, unpoliedre de quatre cares triangulars) format pels quatre punts P,Q,R i Sde l’exercici anterior. Tenint en compte que el volum d’un tetraedre ésuna sisena part del volum del prisma que el conté, calculeu el volumdel tetraedre PQRS.c) Considereu dos tetraedres a l’espai tridimensional. Els vèrtexs del primertetraedre són P = (0,3,8), Q = (2,17,8), R = (–1,6,9) i S = (–2,6,7), i elsvèrtexs del segon, P, Q′ = (2, – 19,8), R i S. Comproveu que tenen elmateix volum. Per què? Quin és aquest volum? Expliqueu els resultatsobtinguts.© FUOC • PID_00262428 8 Elements bàsics de l’àlgebra lineal2. Solucions.1. Problema amb cinc estats possibles.a) Diagrama d’estats i les probabilitats de transició entre els cinc estatspossibles: peix en el mes 1, 2 o 3 (E1,E2,E3, respectivament), peix sensegarantia perquè ja s’ha reposat (E4) i peix sense garantia perquè té mésde tres mesos (E5):Diagrama d'estats i probabilitats de transició0.970.030.950.050.070.931 1E_1 E_2 E_3E_4 E_5b) La matriu P de les probabilitats de transició és:E1 E2 E3 E4 E5E1 0.00 0.00 0.00 0 0E2 0.97 0.00 0.00 0 0E3 0.00 0.95 0.00 0 0E4 0.03 0.05 0.07 1 0E5 0.00 0.00 0.93 0 1Fixeu-vos que cada columna de P són les possibilitats que pot tenir cadaun dels estats. Per exemple, el primer estat, E1, té dues transicions cap aE2 i E4 amb les probabilitats 97% i 3%, respectivament, etc.© FUOC • PID_00262428 9 Elements bàsics de l’àlgebra linealc) Lamatriu P no és diagonal, però és unamatriu triangular. El seu determi-nant val 0, ja que en aquest cas és el producte de la diagonal principal.En conseqüència, no existeix la matriu inversa.d) Les potències de la matriu P són, també, matrius triangulars. A continu-ació teniu el codi R per calcular-les:> Etiquetes <- c("E_1", "E_2", "E_3", "E_4", "E_5")> MatriuP <- matrix(c(0,0.97,0,0.03,0,0,0,0.95,0.05,0,0,0,0,0.07,0.93,+ 0,0,0,1,0,0,0,0,0,1), 5,5, dimnames = list(Etiquetes, Etiquetes))> det(MatriuP) # determinant de la matriu P[1] 0> library(expm)> # Potències de la matriu de transició> MatriuPE_1 E_2 E_3 E_4 E_5E_1 0.00 0.00 0.00 0 0E_2 0.97 0.00 0.00 0 0E_3 0.00 0.95 0.00 0 0E_4 0.03 0.05 0.07 1 0E_5 0.00 0.00 0.93 0 1> MatriuP %^% 2 # quadratE_1 E_2 E_3 E_4 E_5E_1 0.0000 0.0000 0.00 0 0E_2 0.0000 0.0000 0.00 0 0E_3 0.9215 0.0000 0.00 0 0E_4 0.0785 0.1165 0.07 1 0E_5 0.0000 0.8835 0.93 0 1> MatriuP %^% 3 # cubE_1 E_2 E_3 E_4 E_5E_1 0.000000 0.0000 0.00 0 0E_2 0.000000 0.0000 0.00 0 0E_3 0.000000 0.0000 0.00 0 0E_4 0.143005 0.1165 0.07 1 0E_5 0.856995 0.8835 0.93 0 1> MatriuP %^% 4 # potència quarta© FUOC • PID_00262428 10 Elements bàsics de l’àlgebra linealE_1 E_2 E_3 E_4 E_5E_1 0.000000 0.0000 0.00 0 0E_2 0.000000 0.0000 0.00 0 0E_3 0.000000 0.0000 0.00 0 0E_4 0.143005 0.1165 0.07 1 0E_5 0.856995 0.8835 0.93 0 1La matriu d’aquest problema correspon a una cadena de Markov (modelmatricial lineal), un tema que tractarem més endavant. De tota manera,podeu veure a continuació les instruccions bàsiques amb R per definir-la ivisualitzar-la:> # install.packages("markovchain")> library(markovchain)> # Creem un nou objecte que és una cadena de Markov (per columnes)> CM_botiga <- new("markovchain", states = Etiquetes, byrow = F,+ transitionMatrix = MatriuP, name = "Botiga d'animals")> # install.packages("diagram")> library(diagram)> # Dibuix del diagrama d'estats i probabilitats de transició> plotmat(MatriuP, pos = c(3,2), lwd = 1, box.lwd = 1,cex.txt = 0.5,+ box.size = 0.1, box.type = "circle", box.prop = 0.5,+ box.col = " light yellow", arr.length=.1, arr.width=.1,+ self.cex = .4, self.shifty = -.01, self.shiftx = .13,+ main = "Diagrama d'estats i probabilitats de transició")2. A partir de la matriu rectangular de les dades A, construïm dues novesmatrius simètriques, B1 = AT ·A i B2 = A ·AT , i calculem els rangs, les tracesi els determinants.Primer exemple (n = 4×m = 2). Codi R de resolució:> Etiqueta_fila <- c(" ind 1", " ind 2", " ind 3", " ind 4")> Etiqueta_col <- c(" car 1", " car 2")> A <- matrix(c(1,3,4,-1,2,1,0,3), 4,2,+ dimnames = list(Etiqueta_fila, Etiqueta_col))> A # matriu de les dadescar 1 car 2ind 1 1 2ind 2 3 1ind 3 4 0ind 4 -1 3> rangA <- rankMatrix(A)[1]> rangA[1] 2> B1 <- t(A) %*% A; B2 <- A %*% t(A);> B1© FUOC • PID_00262428 11 Elements bàsics de l’àlgebra linealcar 1 car 2car 1 27 2car 2 2 14> B2ind 1 ind 2 ind 3 ind 4ind 1 5 5 4 5ind 2 5 10 12 0ind 3 4 12 16 -4ind 4 5 0 -4 10> # Sí, són matrius simètriques>> tr1 <- sum(diag(B1)); tr2 <- sum(diag(B2));> tr1; tr2[1] 41[1] 41> # les traces de les matrius coincideixen>> rangB1 <- rankMatrix(B1)[1]; rangB2 <- rankMatrix(B2)[1]> rangA; rangB1; rangB2[1] 2[1] 2[1] 2> # Sí, els rangs coincideixen>> (det(B1)); (det(B2))[1] 374[1] 0> # Els determinants són diferentsSegon exemple (n = 3×m = 4). Codi R de resolució:> Etiqueta_fila <- c(" ind 1", " ind 2", " ind 3")> Etiqueta_col <- c(" car 1", " car 2"," car 3", " car 4")> A <- matrix(c(3,0,4,2,-7,1,9,1,-1,3,4,2), 3,4,+ dimnames = list(Etiqueta_fila, Etiqueta_col))> A # matriu de les dadescar 1 car 2 car 3 car 4ind 1 3 2 9 3ind 2 0 -7 1 4ind 3 4 1 -1 2© FUOC • PID_00262428 12 Elements bàsics de l’àlgebra lineal> rangA <- rankMatrix(A)[1]> rangA[1] 3> B1 <- t(A) %*% A; B2 <- A %*% t(A);> B1car 1 car 2 car 3 car 4car 1 25 10 23 17car 2 10 54 10 -20car 3 23 10 83 29car 4 17 -20 29 29> B2ind 1 ind 2 ind 3ind 1 103 7 11ind 2 7 66 0ind 3 11 0 22> # Sí, són matrius simètriques>> tr1 <- sum(diag(B1)); tr2 <- sum(diag(B2));> tr1; tr2[1] 191[1] 191> # les traces de les matrius coincideixen>> rangB1 <- rankMatrix(B1)[1]; rangB2 <- rankMatrix(B2)[1]> rangA; rangB1; rangB2[1] 3[1] 3[1] 3> # Sí, els rangs coincideixen>> (det(B1)); (det(B2))[1] -1.71605e-10[1] 140492> # Els determinants són diferents3. Per calcular el volum construïm els tres vectors incidents a un mateix vèr-tex (per exemple,––→PQ,–→PR i–→PS) i generem una matriu quadrada de dimensió3. Finalment, només hem de calcular-ne el determinant o una sisena part,si es tracta d’un tetraedre. Codi R de resolució:© FUOC • PID_00262428 13 Elements bàsics de l’àlgebra lineal> P <- c(-2,6,7); Q <- c(5,-6,8); R <- c(8,4,-9); S <- c(9,5,1)> PQ <- Q-P; PR <- R-P; PS <- S-P; A <- matrix(c(PQ,PR,PS),3,3);> A;[,1] [,2] [,3][1,] 7 10 11[2,] -12 -2 -1[3,] 1 -16 -6> (V_prisma <- abs(det(A)));[1] 1376> (V_tetraedre <- abs(det(A))/6);[1] 229.3333> P <- c(0,3,8); Q <- c(2,17,8); R <- c(-1,6,9); S <- c(-2,6,7)> QQ <- c(2,-19,8);> PQ <- Q-P; PR <- R-P; PS <- S-P; A <- matrix(c(PQ,PR,PS),3,3);> A;[,1] [,2] [,3][1,] 2 -1 -2[2,] 14 3 3[3,] 0 1 -1> (V_tetraedre <- abs(det(A))/6);[1] 9> PQQ <- QQ-P; PR <- R-P; PS <- S-P; A <- matrix(c(PQQ,PR,PS),3,3);> A;[,1] [,2] [,3][1,] 2 -1 -2[2,] -22 3 3[3,] 0 1 -1> (V_tetraedre <- abs(det(A))/6); # mateix volum[1] 9A causa del valor absolut, hi ha dos tetraedres simètrics que tenen el mateixvolum.

Elements bàsics de l'àlgebra lineal. Problemes per a la ciència de dades

https://upcommons.upc.edu/bitstream/2117/182390/1/PID_00262428.pdf

Elements bàsics de l'àlgebra lineal. Problemes per a la ciència de dades

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC