Nous cherchons ici à déterminer par des calculs en champs complets les propriétés effectives de matériaux hétérogènes constitués de phases présentant un comportement élastique linéaire. Soit pour des raisons physiques (interfaces mal définies, propriétés locales inconnues, …) ou pour des raisons liées à des aspects numériques, le comportement élastique en certains points d’un élément de volume représentatif de cette microstructure peut être indéterminé. Dans ces situations spécifiques, nous proposons d’affecter des propriétés élastiques homogènes à ces zones mal définies tout en contrôlant l’erreur à l’aide d’une polarisation. Il est ainsi possible de borner le comportement effectif cherché, le resserrement de ces bornes dépendant du champ de polarisation retenu : uniformément nul (Hill 1963), constant (Toulemonde et al. 2008) ou, comme nous le proposons dans ce travail, variable dans les zones mal définies. Cette méthode est appliquée à des calculs en champs complets par transformée de Fourier Rapide (Moulinec et Suquet, 1998). Même si la microstructure est parfaitement définie, la discrétisation en éléments de volume réguliers (voxel) habituellement associée à cette méthode conduit à des voxels dont les propriétés mécaniques sont mal définies car incluant des phases de nature différente. Pour des réalisations données de microstructure, nous étudions la sensibilité des différentes bornes obtenues au champ de polarisation ainsi construit. Hill, R. (1963) 'Elastic properties of reinforced solids : some theoritical principles' J. Mech. Phys. Solids 11, 357-372. Toulemonde C., Masson R., El-Gharib J. 'Modeling the effective elastic behavior of composites: a mixed Finite Element and homogenisation approach', Comptes Rendus Mécanique, 336/3 pp 275-282, 2008. Moulinec H., Suquet P. 'A numerical method for computing the overall response of nonlinear composites with complex microstructure' Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 157, 69-9

CASTELIER, Etienne

MASSON, Renaud

I-Revues

21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
Encadrements d’estimations de proprie´te´s effectives de
mate´riaux he´te´roge`nes obtenues par calculs FFT
R. Massona, E. Casteliera
a. CEA, DEN, DEC/SESC, Centre de Cadarache, 13 108 St Paul lez Durance, France
Re´sume´ :
Nous cherchons ici a` de´terminer par des calculs en champs complets les proprie´te´s effectives de
mate´riaux he´te´roge`nes (e´lasticite´ line´aire). Soit pour des raisons physiques (interfaces mal de´finies,
proprie´te´s locales inconnues, . . . ) ou pour des raisons lie´es a` des aspects nume´riques (discre´tisation),
le comportement e´lastique en certains points d’un e´le´ment de volume repre´sentatif de cette micro-
structure peut eˆtre inde´termine´. Dans ces situations spe´cifiques, nous cherchons a` encadrer au mieux
les proprie´te´s effectives en utilisant les informations disponibles. Pour cela, nous ge´ne´ralisons les bornes
e´tablies dans [5] en conside´rant un champ de polarisation plus ge´ne´rale, i.e. non uniforme dans ces
zones mal de´finies. Cette formulation ge´ne´rale est ensuite applique´e a` un mate´riau he´te´roge`ne isotrope
(comportement local et macroscopique), situation pour laquelle des expressions simplifie´es sont e´tablies.
Enfin, cette me´thode est applique´e a` des calculs en champs complets par transforme´e de Fourier Rapide
([4]) afin de calculer des premiers encadrements pour une re´alisation donne´e de micro-structure.
Abstract :
This work is devoted to full field calculations of the effective properties of heterogeneous materials
(linear elasticity). Either for physical reasons (ill-defined interfaces, unknown local properties, . . . )
or for reasons related to numerical aspects (discretization), the elastic behavior at certain points of
a representative volume element of the microstructure can be ill-defined. In these specific situations,
we aim at bounding the effective properties using the available informations. To achieve this goal, we
generalize the bounds established in [5] considering a more general polarisation field, i.e. non-uniform in
these ill-defined areas. This general formulation is then applied to an isotropic heterogeneous material
(local and macroscopic behavior), a situation for which simplified expressions are established. Finally,
this bounding method is applied to full-field calculations by the Fast Fourier Transform method ([4])
to yield first results for a given realization of microstructure.
Mots clefs : Homoge´ne´isation ; Transforme´e de Fourier Rapide ; Bornes
1 Introduction
Nous conside´rons dans ce travail un mate´riau he´te´roge`ne quelconque (composite, polycristal, ...) mais
constitue´ de phases pre´sentant un comportement line´aire e´lastique. Nous cherchons a` estimer par des
calculs en champs complets (voir par exemple [4]) le comportement me´canique effectif de ce mate´riau
he´te´roge`ne. Par la suite, nous conside´rons un volume e´le´mentaire repre´sentatif (VER) V de ce mate´riau
pre´sentant np constituants. Une de´formation macroscopique ε est applique´e de fac¸on homoge`ne sur la
surface exte´rieure ∂V de cet e´le´ment de volume. Lr sont des tenseurs du quatrie`me ordre (syme´tries
majeures et mineures) de´signant les modules e´lastiques de chaque phase (r) de ce VER (1 ≤ r ≤ np)
de sorte que l’e´nergie de de´formation e´lastique en chaque point x ∈ V est de´finie par :
w(x, ε) =
1
2
ε : L(x) : ε (1)
(“ :” repre´sente le produit doublement contracte´) avec ε le tenseur du deuxie`me ordre syme´trique
de´signant la de´formation infinite´simale. La re´ponse de cet e´le´ment de volume pour un chargement ε
1
21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
donne´ est de´termine´e par le minimum de son e´nergie de de´formation e´lastique effective [3] sur l’ensem-
ble K des champs de de´formation cine´matiquement admissibles avec la de´formation macroscopique
impose´e ε :
W (ε) = min
ε∈K
1
|V |
∫
V
w(x, ε)dx. (2)
Le proble`me peut eˆtre re´solu par e´le´ments finis (voir, par exemple, [1]) ou par transforme´es de Fourier
rapide (FFT, voir [4]). Cependant, la ne´cessaire discre´tisation ge´ome´trique de cet e´le´ment de volume
cre´e souvent des voxels ou des e´le´ments dont le comportement me´canique est mal de´fini. Par ailleurs,
certaines zones de cet e´le´ment de volume peuvent aussi posse´der des proprie´te´s e´lastiques, certes
borne´es, mais mal de´finies pour des raisons physiques (incertitude sur la localisation de l’interface
entre les phases, de´gradation chimique des proprie´te´s, ...). Pour toutes ces raisons, nume´riques ou
physiques, le VER conside´re´ ici est constitue´ :
– de zones inclues strictement dans une des np phases du milieu conside´re´ (le volume V1),
– de zones d’inter-phases (volume V2) qui contiennent diffe´rentes phases (par exemple, la matrice et
les inclusions dans un composite deux-phases).
2 Nouvelles bornes
2.1 Formulation ge´ne´rale
La the´orie propose´e dans [5] est e´tendue au cas plus ge´ne´ral d’une polarisation non uniforme p0(x)
dans V2. A travers ce volume V2, l’e´nergie de de´formation est approche´e par :
w(x, ε) ≈ 1
2
ε(x) : L0 : ε(x) + p0(x) : ε(x) (3)
avec L0 tenseur du quatrie`me ordre pre´sentant les syme´tries mineures et majeures. L’utilisation du
module L0 et de la polarisation p0 est cohe´rent avec les travaux de Hashin et Shtrikman [2] mais cette
approximation est limite´e au volume V2 rassemblant les zones d’inter-phases. Le scalaire ξ mesurant
sur V2 l’e´cart entre cette approximation (3) et le comportement re´el est de´fini, d’apre`s (1), par :
ξ=
1
|V |
∫
V2
(
w(x, ε(x))− 1
2
ε(x) : L0 : ε(x)− p0(x) : ε(x)
)
dx,
=
1
|V |
∫
V2
(1
2
ε(x) : (L(x)−L0) : ε(x)− p0(x) : ε(x)
)
dx.
Si, au sens des formes quadratiques associe´es, L0 > L+ = maxr(L
r) alors l’ine´galite´ suivante est
vraie :
ξ ≤ 1|V |
∫
V2
max
ε
(1
2
ε(x) : (L(x)−L0) : ε(x)− p0(x) : ε(x)
)
dx, (4)
=
1
2
1
|V |
∫
V2
p0(x) : (L0 −L(x))−1 : p0(x) dx. (5)
de sorte que l’e´nergie de de´formation effective admet une borne supe´rieure :
W (ε) ≤ minε∈K
( 1
|V |
∫
V1
w(x, ε)dx+
1
|V |
∫
V2
(
1
2
ε(x) : L0 : ε(x) + p0(x) : ε(x))dx
)
+
1
2
1
|V |
∫
V2
p0(x) : (L0 −L(x))−1 : p0(x) dx, (6)
quel que soit le choix du champ de polarisation p0(x) (une polarisation nulle donne une borne
supe´rieure de´ja` calcule´e avec le The´ore`me de renforcement [3]). On note par ailleurs que, pour un
champ de polarisation donne´ dans V2, le premier membre a` droite de cette e´quation (6) :
min
ε∈K
( 1
|V |
∫
V1
w(x, ε)dx+
1
|V |
∫
V2
(
1
2
ε(x) : L0 : ε(x) + p0(x) : ε(x))dx
)
2
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correspond a` l’e´nergie effective de de´formation d’un proble`me auxiliaire de type thermoe´lastique. Con-
trairement au proble`me initial, ce proble`me auxiliaire est bien pose´ et peut-eˆtre re´solu par e´le´ments
finis ou FFT.
Parmi les champs de polarisation possible, nous cherchons celui qui conduira a` la majoration la plus
resserre´e. Pour cela, nous de´rivons le terme de droite de l’ine´galite´ (6) par rapport au champ de
polarisation p0. La condition de stationnarite´ associe´e est obtenue en de´rivant la relation (6) par
rapport a` cette polarisation et en utilisant le fait que le champ de de´formation rend stationnaire
l’e´nergie de de´formation. Cela conduit a` :∫
V2
(
ε(x) + p0(x) : (L0 −L(x))−1
)
: δp0(x) dx = 0. (7)
Si la polarisation est choisie uniforme dans V2 (choix retenu dans [5]), cette condition de stationnarite´
(7) se re´duit a` : ∫
V2
ε(x)dx+
( ∫
V2
(L0 −L(x))−1dx
)
: p0 = 0. (8)
Ici, nous cherchons une polarisation plus ge´ne´rale en subdivisant le volume V2 en n sous-volumes note´s
V i2 , i = 1..n et tels que V2 = ∪i=1..nV i2 . En de´signant par p(0)i la polarisation choisie uniforme dans
chacun de ces sous-volumes V i2 , la condition de stationnarite´ (7) s’e´crit :
i = 1..n :
∫
V i
2
ε(x)dx+
(∫
V i
2
(L0 −L(x))−1dx
)
: p(0)i = 0, (9)
Quelle est la signification physique de cette condition d’optimalite´ ? En combinant cette dernie`re
expression (9) avec la moyenne sur le volume V i2 de la relation contrainte-de´formation de´rive´e de (3) :
σ(x) = L0 : ε(x) + p0(x), (10)
on obtient : ∫
V i
2
σ(x)dx = Lˆ
(0)i
:
∫
V i
2
ε(x)dx
avec :
Lˆ
(0)i
= L0 +
( 1
|V i2 |
∫
V i
2
(L(x)−L0)−1dx
)
−1
(11)
expression dans laquelle les n tenseurs du quatrie`me ordre Lˆ
(0)i
sont appele´ les modules effectifs dans
le volume V i2 . Nous constatons donc que le choix de la polarisation optimale dans chaque sous-volume
V i2 conduit a` imposer une relation particulie`re entre les moyennes de contrainte et des de´formation,
relations gouverne´es par ces modules effectifs de´pendants des fractions volumiques et des proprie´te´s
e´lastiques des phases en pre´sence dans chacun de ces sous-volumes V i2 ainsi que du module L
0.
Finalement, on note que le choix L0 < L− = minr L
r change le max par un min ainsi que le signe de
l’ine´galite´ dans (4), ce qui conduit a` une borne infe´rieure pour l’e´nergie de de´formation effective.
2.2 Expression du champ de polarisation optimale
Il nous reste a` pre´sent a` e´tablir l’expression du champ de polarisation optimale pour un module
e´lastique L0 donne´ dans le volume V2. Pour cela, nous notons ε
H(0) le champ de de´formation dans V
lorsque ce volume est soumis au champs de de´formation macroscopique ε (polarisation nulle dans V2).
Les n polarisations p(0)j applique´es uniforme´ment dans les sous-volumes V j2 peuvent eˆtre de´compose´es
sur la base orthonorme´e eI (1 ≤ I ≤ N) selon p(0)j =
∑N
I=1(p
(0)j : eI)eI , le nombre N e´tant
au maximum e´gal a` 6 (tenseur du deuxie`me ordre syme´trique). Si ε
r(0)j
I repre´sente le champ de
de´formation (re´siduelle) apparaissant dans le volume V (L(x) = L0 dans V2) quand le VER est libre
3
21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
de se de´former a` son bord ∂V et est soumis a` la polarisation C0eI dans le sous-volume V
j
2 (C
0 de´signe
une constante scalaire arbitraire), le the´ore`me de superposition (line´arite´ du comportement) assure
que :
ε = εH(0) +
1
C0
n∑
k=1
N∑
I=1
(p(0)k : eI)ε
r(0)k
I . (12)
ε de´signant le champ de de´formation dans V apparaissant lorsque la de´formation macroscopique
moyenne ε est applique´e a` sa frontie`re ainsi que les n polarisations p(0)k applique´es uniforme´ment
dans chaque sous-volume V k2 (1 ≤ k ≤ n). Les (n + 1) champs e´le´mentaires εH(0) et εr(0)kI peuvent
eˆtre calcule´s par exemple par FFT. Si on reporte l’expression (12) dans l’e´quation (9), on obtient le
syste`me line´aire d’e´quations suivant :
k=n∑
k=1
( ∫
V
j
2
(
(L0 −L(x))−1δjk + 1
C0
I=N∑
I=1
ε
r(0)k
I (x)⊗ eI
)
dx
)
: p(0)k = −
∫
V
j
2
εH(0)(x)dx (13)
(δ de´signant le symbole de Kronecker et ⊗ le produit tensoriel). Si on remplace L0 par L0− ≤ L−
ou L0+ ≥ L+ dans cette e´quation (13), nous obtenons la polarisation associe´e a` une borne infe´rieure
ou supe´rieure, respectivement. Le calcul de ces deux polarisations optimales ne´cessite un calcul a`
champ complet des champs de de´formation : (εH(−), j = 1..n : ε
r(−)j
1 , ...ε
r(−)j
N ) et (ε
H(+), j = 1..n :
ε
r(+)j
1 , ...ε
r(+)j
N ), respectivement.
2.3 Module e´lastique homoge`ne optimal dans V2
Comme remarque´ dans [5], la borne supe´rieure la plus resserre´e sera probablement obtenue pour les
modules effectifs Lˆ
(0)i
les plus souples dans chacun des sous volumes V i2 (mais cet argument qualitatif
n’est pas une preuve !). Ainsi, le choix d’un module L0 quasiment-rigide dans V2 (L
0  L+) conduit a`
un module effectif e´gal a` la borne de Voigt dans chacun des sous-volumes. C’est pourquoi, ce choix sera
adopte´ comme le choix optimal dans les simulations qui suivent. Re´ciproquement, le choix d’un module
quasiment nul dans V2 (L
0  L−) devrait donner la borne infe´rieure associe´e a` un module effectif
dans V2 e´gal a` la borne de Reuss dans ces sous-volumes. Comme dans [5], nous proposons d’appeler
ces bornes “de type Hashin-Shtrikman” pour des raisons e´videntes. Par rapport aux bornes associe´es
au the´ore`me de renforcement ([3]), ces bornes s’appuient sur une information physique supple´mentaire
dans chacun des sous-volumes V k2 , les fractions volumiques de chacune des phases en pre´sence dans
ces sous-volumes. On s’attend donc a` ce que ces bornes soient plus resserre´es que que celles obtenues
par le the´ore`me de renforcement (voir section suivante).
3 Illustration dans le cas d’un composite biphase´
Dans le cas isotrope (constituants pre´sentant un comportement isotrope, distribution isotrope des
phases, ...), la de´termination du comportement e´lastique effectif se re´sume a` la de´termination de deux
scalaire, les modules de cisaillement et de compressibilite´ (note´s respectivement µ et k).
3.1 Bornes simplifie´es dans ce cas particulier
Pour de´terminer le module de cisaillement effectif, on conside`re un chargement macroscopique en
cisaillement, par exemple :
ε = γ
1√
2
(e1 ⊗ e1 − e2 ⊗ e2)︸ ︷︷ ︸
e
γ de´signant le parame`tre scalaire de chargement. Il est alors commode de choisir une polarisation dans
chacun des sous-volumes V i2 de la forme :
p(0)i = τ (0)i e.
4
21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
Cette expression est certes moins ge´ne´rale que celle propose´e pre´ce´demment (un seul degre´ de liberte´
au lieux de N = 6), ce qui risque de de´grader la qualite´ de la borne obtenue. En revanche, cette forme
particulie`re pre´sente l’avantage de re´duire notablement la condition d’optimalite´ (13) pour donner le
syste`me line´aire d’inconnus τ (0)i, i = 1..n suivant :
Ajk τ
(0)j = −
∫
V
j
2
εH(0)(x) : e dx.
A de´signant une matrice carre´e de dimension n :
j = 1..n, k = 1..n : Ajk =
∫
V
j
2
( 1
2(µ0 − µ(x))δjk +
1
C0
εr(0)k(x) : e
)
dx
εr(0)k repre´sentant dans ce cas particulier le champ de de´formation (re´siduelle) apparaissant dans le
volume V (L(x) = L0 dans V2) quand le VER est libre de se de´former a` son bord ∂V et est soumis a`
la polarisation C0e dans le sous-volume V k2 .
En conside´rant un chargement purement dilatant de la forme ε = d
1√
3
(e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2 + e3 ⊗ e3)︸ ︷︷ ︸
i
et en cherchant une polarisation de la forme p(0)i = p(0)i i, nous obtenons une condition d’optimalite´
similaire, i.e. :
Bjk p
(0)j = −
∫
V
j
2
εH(0)(x) : i dx.
B de´signant une matrice carre´e de dimension n :
j = 1..n, k = 1..n : Bjk =
∫
V
j
2
( 1
3(k0 − k(x))δjk +
1
C0
εr(0)k(x) : i
)
dx.
εr(0)k repre´sentant dans ce cas particulier le champ de de´formation (re´siduelle) apparaissant dans le
volume V (L(x) = L0 dans V2) quand le VER est libre de se de´former a` son bord ∂V et est soumis a`
la polarisation C0i dans le sous-volume V k2 .
3.2 Premiers re´sultats
Nous conside´rons ici une micro-structure 2D de type matrice-inclusions (fraction volumique d’inclu-
sions e´gale a` 10%), les inclusions e´tant sphe´riques avec un diame`tre uniforme. Le comportement des
deux phases est e´lastique isotrope, le module de cisaillement e´tant uniforme tandis que le contraste sur
le module de compressibilite´ s’e´le`ve a` 5 (inclusions plus rigides). Un e´le´ment de volume de cette micro-
structure a e´te´ ge´ne´re´ par le mode`le d’addition se´quentielle ale´atoire (RSA pour Random Sequential
Addition). Dans ce cas particulier, on peut aise´ment calculer une estimation avec une discre´tisation tre`s
fine du VER (grille de 5122 voxels). Pour cette grille, la fraction volumique d’e´le´ments de volume mal
de´finie est tre`s faible (0, 22%) et l’estimation du module de compressibilite´ effectif obtenue en affectant
aux voxels mal de´finies la proprie´te´ de la phase situe´e en leur centre s’e´le`ve a` 1, 11 fois celui de la ma-
trice ( k
kmat
= 1, 11, kmat de´signant le module de compressibilite´ de la matrice). Pour une discre´tisation
plus grossie`re (322 voxels), la fraction volumique de voxels mal de´finis est plus importante (≈ 7%). Les
bornes propose´es permettent d’encadrer le comportement effectif dans ce cas. Ainsi, une polarisation
nulle (the´ore`me de renforcement) conduit a` l’encadrement suivant 1, 07 ≤ k
kmat
≤ 1, 16 tandis qu’une
polarisation uniforme (forme simplifie´e de´finie en section 3) resserre comme attendu l’encadrement :
la borne supe´rieure ainsi obtenue se resserre a` k
kmat
≤ 1, 13.
4 Conclusions
Dans ce travail, nous avons ge´ne´ralise´ les bornes e´tablies dans [5]. Il est ainsi possible de borner le
comportement effectif d’un e´le´ment de volume pre´sentant des zones mal de´finies en affectant a` ces
5
21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
zones un comportement homoge`ne (infiniment raide ou infiniment souple) et une polarisation. Le
resserrement de ces bornes de´pend du champ de polarisation retenu : uniforme´ment nul (the´ore`me de
renforcement, [3]), constant [5] ou, comme nous le proposons ici, variable dans les zones mal de´finies.
Des premiers re´sultats ont e´te´ obtenus (polarisation nulle ou constante) dans le cas de calculs de
micro-structures par FFT montrant bien, meˆme avec un choix de polarisation simplifie´ (cas isotrope)
et uniforme, que l’introduction d’une polarisation conduit a` resserrer les bornes classiquement obtenues
avec le the´ore`me de renforcement. En perspectives de ce travail nous proposons d’e´tendre ces premiers
re´sultats en e´tudiant si l’introduction d’une polarisation non uniforme permet de resserrer encore
cet encadrement sans trop alourdir le calcul. L’effet de la polarisation simplifie´e retenue dans le cas
isotrope conside´re´ devra eˆtre aussi e´tudie´.
Re´fe´rences
[1] F. Barbe, L. Decker, D. Jeulin, and G. Cailletaud. Intergranular and intragranular behavior of
polycristalline aggregates. part 1 : F.E. model. Int. J. Plast., 17 :513–536, 2001.
[2] Z. Hashin and S. Shtrikman. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of
multiphase materials. J. Mech. Phys. Solids, 11 :127–140, 1963.
[3] R. Hill. Elastic properties of reinforced solids : Some theoretical principles. J. Mech. Phys. Solids,
11 :357–372, 1963.
[4] H. Moulinec and P. Suquet. A numerical method for computing the overall response of nonlinear
composites with complex microstructures. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 157 :69–94, 1998.
[5] C. Toulemonde, R. Masson, and J. El Gharib. Modeling the effective elastic behavior of composites :
a mixed finite element and homogeneisation approach. C. R. Acad. Sci. Paris, Se´rie II, 336 :275–
282, 2008.
6


Encadrements d'estimations de propriétés effectives de matériaux hétérogènes obtenues par calculs FFT

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