Cette étude a pour objectif de déterminer l’influence du maillage sur la convergence de la solution d’un modèle numérique de lubrification. Ce dernier résout l’équation de Reynolds entre les faces d'une garniture mécanique texturée. La présence des textures engendre des zones de discontinuité qui peuvent augmenter les pertes de précision dues à une insuffisance dans la discrétisation. L’utilisation d’un maillage très fin devrait minimiser ces imprécisions, mais le temps de calcul  devient dans ce cas très grand. De plus, l’erreur de convergence obtenue avec un maillage dépend de la variable significative qui est observée (portance, débit, etc…). Afin d’estimer de manière quantitative l’erreur engendrée par le maillage, nous avant utilisé la méthode GCI (Grid Convergence Index). Cette méthode est basée sur la théorie de l’extrapolation généralisée de Richardson. Elle permet d’estimer l’erreur du maillage sans avoir besoin d’une solution analytique du problème. Pour une densité de textures donnée (30% de la surface de la cellule est occupée par la texture), le facteur de forme (profondeur des textures/épaisseur du film) étant maintenu dans un premier temps constant à 5/2, l’influence de la forme de la texture sur les résultats (hémisphère, carré et triangle) est analysée. Ensuite, l’effet du facteur de forme est étudié pour une texture triangulaire, toujours avec une densité de 30%. Tous les calculs sont réalisés avec trois niveaux de maillage (grossier, intermédiaire et fin). Les résultats obtenus sont présentés sur une plage du paramètre hydrodynamique adimensionné, qui est une fonction des paramètres usuels de la lubrification

ADJEMOUT, Mohand

BOUYER, Jean

BRUNETIERE, Noel

I-Revues

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ème
 congrès Français de Mécanique                                                                 Bordeaux, 26 au 30 août 2013 
1 
Influence du maillage sur la convergence de la solution d’un 
modèle numérique de lubrification hydrodynamique en 
présence de textures 
M. ADJEMOUT, N. BRUNETIERE, J. BOUYER 
Institut Pprime, Université de Poitiers, ENSMA, UPR 3346, Département Génie mécanique et systèmes 
Complexes, SP2MI, Boulevard Marie et Pierre Curie, BP 30179, F86926 Futuroscope Chasseneuil, 
 Cedex, France 
 
Résumé : 
Le travail effectué dans cet article porte sur une étude paramétrique basée sur un modèle numérique réalisé 
pour traiter la lubrification hydrodynamique dans le cas d’une garniture mécanique texturée. Ce modèle 
numérique résout l’équation de Reynolds couplée avec un algorithme de cavitation. Afin d’estimer de 
manière quantitative l’erreur engendrée par le maillage, nous avons utilisé la méthode GCI (Grid 
Convergence Index), avec trois type de maillages (fin, moyen et grossier). Dans cette étude nous avons 
étudié trois motifs de textures (carré, hémisphère et triangle). L’influence du facteur de forme est également 
discutée pour le cas d’une texture triangulaire.  
Abstract : 
In this paper, a parametric study was carried out using a numerical model. This model solves the Reynolds 
equation coupled with a cavitation algorithm, and deals with the hydrodynamic lubrication in the case of 
mechanical seal with textured surfaces. In order to estimate quantitatively the discretization error, the GCI 
(Grid Convergence Index) method was applied using three levels of grid (fine, medium and coarse). Three 
shapes of texture (square, hemisphere and triangle) were used, and the aspect ratio was also discussed in the 
case of triangular texture. 
Mots clefs : Surfaces texturées, Modélisation numérique, Garniture mécanique  
1 Introduction  
L’utilisation de surfaces texturées (par des motifs périodiques) peut améliorer significativement les 
performances hydrodynamiques des contacts lubrifiés comme par exemple dans les garnitures mécaniques, 
les butées, les paliers…etc. [1]. Cet effet positif est dû à la génération d’une pression hydrodynamique sur les 
bords convergents des aspérités et il est associé avec l’apparition de cavitation [2]. La présence de motif 
engendre des zones de discontinuité qui peuvent augmenter les pertes de précision dues à une insuffisance 
dans la discrétisation. Dans ce cas, il est plus judicieux d’utiliser un maillage variable raffiné près des zones 
de discontinuité. Cependant, cette démarche est difficile à mettre en œuvre en raison du nombre important de 
motifs en présence sur les surfaces de contact. Une autre solution consiste à utiliser un maillage régulier, 
mais celui-ci devrait être suffisamment fin de manière à ce que les imprécisions soient minimales. Une 
évaluation de l’erreur engendrée par la discrétisation s’avère nécessaire pour l’optimisation d’un code 
numérique. Afin d’estimer de manière quantitative l’erreur engendrée par le maillage, nous avons utilisé la 
méthode GCI (Grid Convergence Index) souvent appliquée pour les calculs CFD (Computational Fluid 
Dynamics). Cette méthode est basée sur la théorie de l’extrapolation généralisée de Richardson [6] : elle 
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2 
permet d’estimer l’erreur du maillage sans avoir besoin d’une solution analytique du problème. Durant cette 
étude, les performances (portance, débit et zone de cavitation) d’une garniture mécanique, dont la surface est 
texturée par un seul motif, ont été mesurées et présentées avec des valeurs adimensionnées.  
2 Modèle numérique  
Le modèle numérique utilisé dans cette étude est basé sur l’équation de Reynolds couplée avec un algorithme 
de cavitation similaire à celui publié par Elrod [3]. Dans l’hypothèse où le stator est immobile (FIG.1-a), 
l’équation de Reynolds, pour un fluide Newtonien incompressible et en régime laminaire prend la forme :  































)()1(6
33
DhF
h
V
D
r
hr
F
r
Dhr
r
F
      
(1)
 
Dans cette équation, h  désigne l’épaisseur locale du film,   la viscosité du fluide et V  la vitesse du rotor. 
F et D  sont des variables liées à l’algorithme de cavitation. 








1
0
0
F
ppD cav

    ;     
 








0
01
0
F
D
pp cav


 
(2)
 
F est une fonction booléenne indiquant si la zone est cavitée ou non. D est une variable universelle qui 
représente alternativement la pression p ou la densité  , avec cavp la pression de cavitation et 0 la densité 
du fluide. La configuration géométrique étudiée est présentée sur la (FIG.1-a). Le problème est supposé 
stationnaire. Pour cela, la face du rotor est parfaitement lisse, tandis que la face du stator contient des 
microcavités. Le calcul est fait sur une portion angulaire de rayon interne iR et de rayon externe 0R comme 
indiqué sur la (FIG.1-a). La méthode des volumes finis a été utilisée pour discrétiser le domaine et une 
méthode directe a été adoptée pour résoudre cette équation discrétisée en appliquant les conditions aux 
limites sur le rayon interne et externe et une condition de périodicité dans la direction circonférentielle afin 
d’extrapoler le calcul sur toute la face du contact. Finalement, le calcul permet d’obtenir à la fois le champ de 
pression et le champ de densité. 
 
                                
FIG.1 – Configuration du problème 
Afin de valider ce modèle numérique, nous l’avons comparé avec les résultats obtenus par Zheng et Meng 
[4]. Dans ces travaux, les auteurs ont comparé leurs résultats numériques avec les résultats expérimentaux 
qu’ils ont obtenus avec un disque rainuré plongé dans un bain d’huile à pression atmosphérique et soumis à 
une charge normale FN d’environ 44N. Les conditions utilisées sont données sur la deuxième colonne du 
tableau (Tableau.1) et les résultats de l’épaisseur du film à l’équilibre hydrodynamique sont présentés sur la 
figure (FIG.2). Cette figure montre que nos résultats sont en bon accord avec les résultats obtenus avec leur 
modèle par Zheng et Meng [4].Un léger décalage est observé par rapport aux résultats expérimentaux. 
Notons que la mesure d’épaisseur de film est parfois entachée d’une certaine erreur. 
(a) (b) 
une cellule isolée 
R
i
 
R
0
 
Rotor  
  Fluide 
Pi 
ω 
Film  
fluide  
Stator 
immobile 
P0 
 
Domain étudié 
L 
L 
hf 
γ 
δ=0.3 
V 
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3 
 
      
Tableau.1 – (1) Paramètres utilisés dans [4]  FIG.2 – Comparaison de notre modèle avec celui de [4]  
   (2) Paramètres dans la suite de l’étude 
3 Grid Convergence Index (GCI) 
Cette méthode est basée sur la théorie de l’extrapolation généralisée de Richardson, elle permet d’estimer 
l’erreur due au maillage sans avoir besoin d’une solution analytique du problème. Pour cela, l’erreur est 
estimée par une fonction puissance de la taille caractéristique des mailles. Pour appliquer cette méthode nous 
avons suivi la démarche suggérée par Celik et al. [5]. La valeur du GCI indique de combien la solution est 
éloignée de la solution asymptotique. Pour un maillage uniforme et un calcul à deux dimensions, cette 
quantité est exprimée par : 
1,2
1,2
1,2
1
25.1



nr
GCI  ; 2,3
2,3
2,3
1
25.1



nr
GCI
    
(3) 
Avec 
211,2 / NNr   et 322,3 / NNr   les indices de raffinement du maillage. 2322,3 )( fff   
et 
1211,2 )( fff   sont les erreurs relatives et 1f , 2f et 3f  sont les variables significatives calculées 
respectivement avec les maillages dont le nombre total de nœuds est 1N , 2N  et 3N  
( 321 NNN  ). n  est 
l’ordre apparent de la convergence. Ce dernier peut être calculé en utilisant l’expression : 
)ln(
)(/ln
1,2
1,22,3
r
nq
n



      
(4) 
Avec )(nq =










sr
sr
n
n
2,3
1,2
ln   et )/( 1,22,3 signs           
(5) 
L’équation (4) est transcendante et peut être résolue à l’aide d’une méthode itérative. Cependant, pour un 
indice de raffinement constant 1,2r = 2,3r , q(n)=0 et l’équation (4) prend la forme simplifiée suivante: 
          
)ln(
/ln
1,2
1,22,3
r
n

                      (6) 
Il faut noter que si )( 32 ff  ou )( 21 ff  sont très proches de zéro, cette procédure n’est pas applicable, et 
ces points ne sont pas pris en compte dans le calcul du GCI. 
Paramètre Valeur (1) Valeur (2) 
iR [m] 0.024 2.575×10
-2
 
0R [m] 0.032 2.595×10
-2
 
ip [Pa] 1.0×10
5 
0.10×10
5 
0p [Pa] 1.0×10
5
 0.10×10
5
 
cavp [Pa] 0.3×10
5 
0
 
FN [N] 44 - 
 [Pa.s] 0.083 1.0×10-3 
ω [rpm] 71-296 25-250 
γ [m] 4.6×10-6 - 
  56% 30% 
L [m] - 2.0×10
-4
 
fh  [m] - 1.0×10
-6
 
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4 
4 Etude paramétrique 
La texture est réalisée sur la face stationnaire de la garniture comme indiqué sur la figure (FIG.1-b). Chaque 
motif est emprisonné dans une cellule assimilée à un carré de côté L≈200 µm. Etant donné que la cellule est 
une portion de disque, cette dernière présente une légère courbure. Pour analyser l’influence du maillage sur 
les résultats, trois variables significatives adimensionnées ont été analysées : la portance hydrodynamique 
adimensionnée, le débit radial moyen adimensionné et le taux de cavitation, donnés respectivement par : 
                                      1.
1
0


  dsPPS
p
S
;   Q
RhP
R
Q
moyf
3
02
12


 ;   
noeuds
cavitésnoeuds
Nb
Nb

 

                         (7) 
Toutes ces variables seront présentées en fonction d’un paramètre adimensionnée donnée par :  
  2/6 fomoy hPRR                                     (8) 
Dans ces formules  est la densité de texturation (ratio entre S l’aire totale de l’interface et l’aire du motif de 
texture) maintenue à 0.3, moyR  
est le rayon moyen de la garniture, fh  est l’épaisseur du film imposée, Q est 
le débit radial volumique calculé. cavitésnoeudsNb  est le nombre de nœuds cavités et noeudsNb  
le nombre total de 
nœuds utilisés pour le calcul. La colonne 3 du tableau (Tableau.1) présente les données que nous avons 
utilisées, et le tableau (Tableau.2) donne les cas que nous avons testés, avec un indice de raffinement 
constant  
 
 
 
Tableau.2 – Les cas testés dans cette étude 
λ est le facteur de forme, rapport entre la profondeur de texture (γ) et l’épaisseur du film ( fh ). 
5 Résultats et discussion  
Les incertitudes numériques engendrées par le maillage ont été représentées sous forme de barres d’erreurs 
en utilisant le GCI en conjonction avec une valeur moyenne de l’ordre n = nmoy comme l’avait recommandé 
Celik et al [5]. Les résultats de nos calculs sont donnés sur les graphes de la figure (FIG.3), et les valeurs 
maximales du GCI pour chaque cas testé sont données sur le tableau (Tableau.3). La (FIG.3-b) donne les 
résultats du débit adimensionné pour les trois formes de motif pour un facteur λ=5/2. Sur cette figure, l’axe 
des ordonnées à gauche du graphe correspond aux motifs carrés et hémisphériques, et celui à droite au motif  
triangulaire.  
Maillage Motif de texture 
100X100    
200X200 
400X400 
facteur λ 1 5/2 5 5/2 5/2 
Forme Carré Hémisphère Triangle 
Ratio λ  5/2 5/2 1 5/2 5 
variable p  Q    p  Q    p  Q    p  Q    p  Q    
moyn  2.6 0.6 1.1 1.4 1 1.4 0.7 0.9 0.96 1.3 0.54 1.4 2 0.98 0.8 
max
32GCI % 3.3 96 10 0.15 92 1.4 11 15 2.7 9.9 11 5.9 7.4 13.6 7.66 
max
21GCI % 0.53 86 5 0.05 72 0.5 7.5 7.3 1.4 4.1 7.5 2.2 1.9 7.2 4.34 
Tableau.3 – Les valeurs maximales du GCI obtenus sur chaque variable 
L 
L 
L 
L L 
L 
1,2r = 2,3r =2. 
V V V 
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5 
Comme première remarque, on peut voir que l’erreur de discrétisation est très importante avec les motifs 
carrés et hémisphériques dont les valeurs maximales de GCI sont respectivement max
21GCI = 86% - 72% et 
max
32GCI = 96% - 92%. Ceci, indique que les résultats numériques sont encore loin de la solution asymptotique 
et qu’ils sont très influencés par l’erreur de discrétisation. Ces grandes erreurs de discrétisation, peuvent être 
expliquées par le faible débit de fuite obtenu avec ces deux formes de motif de texture, ce qui rend les 
résultats très sensibles à l’erreur de discrétisation. 
  
(a) Portance adimensionnée pour les trois motifs (b) Débit de fuite adimensionné pour les trois motifs 
  
(c) Taux de cavitation pour les trois motifs (d) Portance adimensionnée du triangle pour 
différents λ 
  
(e) Débit de fuite adimensionné du triangle pour 
différents λ 
 
(f) Taux de cavitation du triangle pour différents λ 
FIG.3 – Résultats de l’étude paramétrique  
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6 
Avec la texture à motif triangulaire, le débit fuite est très important (environ 1000 fois supérieur aux autres), 
et l’erreur de discrétisation a une très faible influence sur la convergence vers la solution asymptotique, 
max
21GCI =7.5 % et 
max
32GCI =11 %. Le signe négatif du débit de fuite indique que la fuite est vers le rayon 
interne de la garniture. 
Les figures (FIG.3-(a) et FIG.3-(c)) montrent les résultats de portance adimensionnée et de taux de 
cavitation. Les erreurs maximales de discrétisation obtenues sur ces deux variables sont faibles, et varient 
entre 0.05% et 10%. Les graphes (d), (e) et (f) de la figure (FIG.3), donnent les résultats que nous avons 
obtenus avec le motif triangulaire en faisant varier le facteur de forme λ. Pour la portance adimensionnée, on 
remarque que l’erreur de discrétisation diminue quand on augmente le facteur de forme λ. L’erreur de 
discrétisation sur le taux de cavitation est proportionnelle au facteur de forme λ. Pour le débit radial 
adimensionné, l’erreur varie peu avec λ.  
Dans tous les cas que nous avons testés durant cette étude, les valeurs de 
21GCI  sont plus faibles que les 
valeurs de
32GCI , ce qui signifie que l’erreur de discrétisation est logiquement diminuée en réduisant la taille 
des mailles. Cependant, le temps de calcul devient plus grand. Par exemple, dans les cas traités ici, le temps 
de calcul avec le maillage 400X400 est environ 9 fois plus grand que celui obtenu avec le maillage 200X200. 
Le choix de la taille du maillage est défini par un compromis entre la précision et le temps de calcul. Dans 
cette étude, une seule rangée de motifs a été prise en compte sur la face de la garniture. Dans la pratique, 
plusieurs séries de motifs seront considérées de manière à occuper toute la largeur radiale de l’interface. Pour 
maintenir les temps de calcul à une valeur acceptable, sans pour autant sacrifier la précision des résultats, 
nous pouvons admettre que le maillage 200X200 est satisfaisant.  
6 Conclusion 
Cette étude nous a permis de faire une analyse quantitative de l’influence de la discrétisation sur la 
convergence de la solution numérique. En utilisant la méthode GCI, nous avons pu constater que l’erreur 
engendrée par la discrétisation varie en fonction du motif de texturation et du ratio λ, ainsi que d’une variable 
significative à une autre. Parmi les maillages que nous avons utilisés, le maillage 400X400 donne les résultats 
les plus précis, mais le temps de calcul dans ce cas est très important Le maillage 200X200 donne des 
résultats légèrement perturbés par l’erreur de discrétisation, de l’ordre de quelques pourcent sur la portance 
pour un temps de calcul 9 fois plus faible que celui du maillage 400X400.  
Remerciement 
Ce travail a bénéficié d’une aide de l’ANR portant la référence ANR-11-RMNP-0008 
Références 
[1] I. Etsion, State of the art in Laser Surface Texturing, Journal of Tribology, 127, 248-253, January 2005.  
[2] D.B. Hamilton, J.A. Walowit and C.M. Allen, A Theory of Lubrication by Micro-irregularities, ASME 
Journal of Basic Engineering, 88,177-185, 1966. 
[3] H.G. Elrod, A Cavitation Algorithm, Journal of lubrication Technology, 103, 350-354, July 1981. 
[4] J. Zhang, Y. Meng, Direct Observation of Cavitation Phenomenon and Hydrodynamic Lubrication 
Analysis of Textured Surfaces, Tribology Letters, 46, 147-158, 2012. 
[5] I.B. Celik, U. Ghia, P.J. Roache, C.J. Freitas, H. Coleman and P.E. Raad, Procedure for Estimation and 
Reporting of Uncertainty Due to Discretization in CFD Applications, Journal of Fluids Engineering, 130, 
1-4, July 2008.  
[6] P.J. Roache, Perspective: A Method for Uniform Reporting of Grid Refinement Studies, Journal of Fluids 
Engineering, 116,405-413, September 1994.  


Influence du maillage sur la convergence de la solution d'un modèle numérique de lubrification hydrodynamique en présence de textures

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