Hanssmann, Heinz

Dutch

ARTS repository - University of Groningen

   University of GroningenQuasi-periodic Motions of a Rigid Body. A case study on perturbations of superintegrablesystemsHanssmann, HeinzIMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite fromit. Please check the document version below.Document VersionPublisher's PDF, also known as Version of recordPublication date:1995Link to publication in University of Groningen/UMCG research databaseCitation for published version (APA):Hanssmann, H. (1995). Quasi-periodic Motions of a Rigid Body. A case study on perturbations ofsuperintegrable systems. s.n.CopyrightOther than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of theauthor(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons).The publication may also be distributed here under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license.More information can be found on the University of Groningen website: https://www.rug.nl/library/open-access/self-archiving-pure/taverne-amendment.Take-down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): http://www.rug.nl/research/portal. For technical reasons thenumber of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum.Download date: 08-06-2022SanienlatfirigIedereen heeft ooit wel eens net een brorntol gespeeld en daarrnee eerr typisch voorbeeldvan eelr star l ichaanr lcreu kerrrren. De brorntol is niet alleen 'star' (bij zi in ben'egingveran<lert de afstand varr elk tweretal van ziin punten rriet), rnaar ook rotatie-symmetrisch(op de voor het brornrnerr norlige gaatjes na). De syrnrnertrie- of f igrrur-as eindigt in delrunt van de tol die op cle grond geplaatst rvordt uaclat r,i'e cle tol in snelle rotatie hebbeugebracht. N'lerr herinnert zich rnisscliien clat de bronrtol bij ziju dans ook een beetje overde grond beu'eegt. lnaar we willen er hier r.an uitgaan dat de ruwheid van <le gronclervoor zorgt clat het sctrerpe rriteinde van de figuur-as niet vau plaats verandert. Nfenspreekt ocik 'i'arr eel stilr lichaarn met eell vast punt.In dit pror:fschrift wt>rderr cguliere ber.vegingen vAn een star lic'haam met een vast puntonderzocht. Wat zijn in het geval vau de brorntol de mogelijke draaibewegingen ?De eenvcnrdigste draaiberveging is de rotatie rotd de figuur-as \\'anneer deze loodrechtop cle grond staat, ecn perioclicke beweging. Terwijl deze voor een langzame rotatieinstabiel zott zijlrr, de tcll valt orn, is zij voor een snelle rottrtie stabiel. Deze 'gyroscclllischestabilisati<:' is één 'r'an de fraaie feuonrenen die bij liet starre lichaarn onr de hoek komenkijken (nog afgezien vau dat hij zo lcrn bromnren...).Een andere rnogeli jkc beweging is de 'reguliere precessie'. De figuur-as draait rondde (lor-rrlrechtc) zr.r'aartekracht-as, terwi.il het lichaanr roud de figuur'-as blijft roteren.N{err kan zir'.lt deze beiveging als door de t'"vee symrnetrieilrr van het probleem voortge-bracht denkel, dr: nrirrrteli jke <'irr 'el-.,f 51-symm<:trie r<urcl de zwaartekracht-as en de,51-syurrnetric van het l ichaarn zelf roncl de figuur-as. Dit lcidt tot e€n ilvariarrte 2-tontsT : ,51 x.9I in de Íasenrimte, nret daarop een colldit ioueel perioclieke dynamica. Indiende verhouding tussen tlr: trvee frequeuties (voor de rotatie rond de figuur-as en voor clepre<:essie van de figuur-as rond cle zwaartekracht-as) rationaal is, sluit de baan en debeweging is pericidiek - zij het rnet meestal een zeer grclte periode. \roor irrationale(en clus biina alle) frequenticverhorrdingen ligt dr: baan dicht op T , cle beweging isquasi-lreriodiek.De 'algemener' bewegirrg lau rle tol is conclitiorreel periodiek rnet drie frequenties. Naastr29de rotatic 'an clc tol rontl cle figuur-as en clc prcc:essie ."an 6e Íiguur-as ronrl .c z$raarte_kracht-a's vindt er riog eell 'rtutatic'ran <lc figuur-as ptooi.-, ' i".*i:r dez. ro'<l .e zu,aarte_kraclrt-as clraait. r,erandert periocliek a" ln"t rrret cle zwaartekracht_as.omdat wi' i  steecls verolrderstellen clat áà ,ut "un zekere tt ir,"i ir.rr"l energie l ieeft, komenanclere berveginge' (bijr.,oorbeelci .lirrgerb"*,"gi'ge' )'iet vo.r.Het svsteem <lat de bromtol beschrijft hccft 3 vrijheirlsgraclen! ell <ic 6-rlirnerrsionalefaserttimte worclt voor hoge waardenïan,ln energie "Lr rïrsï],r, iur,ariante variëteitel:i:-t".lil:ïj" ,1";ï''"tt-tte 3-tori worde, clo.r cte].",,,l,.;;ï van cle clrna,i-inrp'rs te'nguur-as",,,,";,"i;,:l:ïxïi,i:;.ï,ï:ïlïlï:ïï[fi ï1ïrïI j*r:,*ïi[Tïll*'an 3-tori is groot i '  t.pologische en i '  rnaattrrc.rcii.;r"; ir,,-;"t is een opcrr on rl ichteverzameling waarvan het courpleuient nraat nul heeft.voor de regrrliere rrecels,ie ,.o"t ,1" ";";; bij gege'err componenren 'an cle clraai_irnpulsten opzichte val zrvaartekracht-as "u fig,ïu.-u. minimaal zi;'. l,Ien kalr de 2-parameterigefamilies ran inrari.nte 2-.tori ut, ,iuguiu.iteite' van a" s-iu.u.-uezeling beschouwen. IJei-",ï:iÏÏ"'.ï:ï:"ïi:1'1e' fig',r-aitlie 1>arallcl r'ct clc,*uu,t"r.ru.lr-as blijfr) vormenDe hier geschetste beschrijving van cre brontor gaat terug naar Lagrange. \rergelekenmet de werkeli.ikhc'itl ber,at dá" tno,r"lie.ir,g "rríg" ru,,tui ,',ï" ,r"ru"*rijkste er'an isdat we geen enkele rekcning-hebr'* g"ï",ta"rr rrret'rvri jvirrgsverschi.inselen. Aan rle cnokant z.rgt r'vrijving ervoor-<lat tr"t *ïherp" eindp'nt 'an de figrrur-as niet r,an plaatsvera'dert' Aan de ancl.re kant leiclt wriji'ing ert.e rlat cre beu.eging e'ergie vcrliest errde tol ' i tei 'deli ik sti l  staat (in ptaats,'1u,"*',uig door te gatrn met zijn perioclieke ofquasi-periodieke beweging, zoals-voorrp"tà;. o" i,,t,.t i", i",ïïr i l",r,, zo snel uit, dat de;lï;Ï*" beu'eging va' eetr doors'ec Lr.'rr'l v..r lier ;o;;;-"",, rcguriere 'rercessiex'fe' zou de invloecl varr wriiving cloor een beter ont'rvcrP te^rg kunnen tlrin5;e', e' i'een geïdetrli'seerde lir'iet kornt dán geen wrijving nreer 'oor. In cJit pr<_refschrift wcirclthet starre licha'arrl clan ook op trori,, ran cle Ha-r'ilto.i;rarrr" .rr".rronrca geanalvseercl.\\''aarnlee behoud vatl euergie tot axiorra verhcven worclt. b"-là ,,,r.t.cgcn rcsrrltate'zouden dan een beschrijr,i'g varr crerr ll",uiirtir,,t,u' be*.eging .,r,ï,r einaige tijcr kunnenleveren, r 'aar het noet gezegd q,orclcn dat de uuo.*nrrgïorï-r,rn.uutinue naar (l icht)iJïïJJ:ï:"JiJï:1ïfj;ï::;"" ""s;'i"; svsteniatiscrr o'<rerzocrrt is ; hier igr werichi\\rij veronderstellen rlus clat we cle tol als .corrscrr,aticf systeern kunrrerr realiseren (inhet bijzonder mag hij niet -u". tr.o*,rÀ). x,{aar.ok i,, aii '-t ua,, '. zou cre,srx sr_s5'rntnetrische Lagrange-beschrij'ing te idealistisch. ku,r'en ,i;;,,";'"r, crenke 6ijvoorbeelclaan een berg die het in eerste insta't ie constante krar:htveld van cre aarcle 'erstoort.De vra,ag wat met rle irrrariante tori van cle irievc) stárirrg"', ;bà,",, vart in r,"t s.;; "ï,ïiïiÏil:-i:::ll?:::ïln:fï:ïl::gorov' A'rol'd e' Níoser. De gr<,n,rjag"' ,,o' dezc thcoric ,u"rdó, in [Kolrnogoror,;54igelegd ;grof gezegcl bli j 'en d"Ïn,"".t"iï,u*irnot" tori (hier d's de 3-tori) on<ler versto-130ringeu behouden. In [Arnol'd;63a] wercl een gerletail leerd bewiis hiervan geleverd, onclervoorr,vaartle dat dc storirrg (en het orrverstoorde integreerbare systeem) analytisch zijn.Dit werd in [N{oser;62] afgezwakt tot ein<lige difl'erentieerbaarheid. In [N[oserr;67] werdcndan <le eerste resultaten onrtrent lager dirnensionale tclri verkregeu ; voor storingen van deLagrange tcil betekent clit dat oclk de 'meeste' 2-tori onder verstoringen behouden bli jverr.De rneetllrnclige structrrur \an de vt'rzarrreling ran 1>ersistente tori * 'ercl in [Póschel;82]geanalysecr(I. Terwijl rcsonante tori opbreken, blijven tclri rnet ecn frerluentievectorrl ie aan ecrn zekcre diophantische corrclit ie voldoet behouden. Dit <lefinieert ecn Cantor-fa,milie r.an irn ariante 3-tori. De vereniging varr invariante 3-tori is clus in topologische zinklein (het complernent is open en dicfit), rnaar groot in rnaattheoretisr:he zin : de relatievemaàt op cornpactr: clelerr cc.rnvergeert naar 1 als de storing naar 0 gaat. De overgebleven2-tori 'n'orden door een Cantorverzanrcling van (Hausdorff-)dirnensie 2 geparametriseerd.Voor de periodieke rotaties kan mr:n rlet de lrnplic:ietc Funr:tiestelling werkcn, waardoorcleze allemaal als (gladde) 1-pararneterige families Lrehouden blijven.\Ve hcbben gezicn dat dc door Lagrange gegevel) beschrijving voor de nreeste begirr-waarclen van toepassiug blijft de beu'eging vindt plaats op invariante 3-tori, en desingulariteiten van deze (Cantor-)vezeling irr 3-tori worden door (Cantor-families van)inr.ariante 2-tori gegeven. Irr het analvtische geval kan meti hier nog aan toevoegen datvoor alle lrervegingen NehoroÈer'-afschattingen gelden ; \roor exponentieel lange tijd blijftcle berweging dirrlrt bi.j tle Lagrange-approxirnatie.Drr syrnnetrieërr vau de Lagrarrgc tol nraken dit systeern integreerbaar. Orndat het eenniet-gedegenereer(l integre:erbaar systeern is, blijft cle vezelirrg iu invariante tori onderstoringen als Cantor-vezelinp; l-iehcluclen. In clit proefschrift gaan we na hoe de Eulertol zich orider storiugen gedlaagt. De Euler tol is een star l ichaam dat alleen onderinvloecl van de eigen traagheid bewcegt, waut externe krachten zi.in irr dit model nietaanwezig. Hierdoor bli i ft de draai-irnpuls behouclen. Samen met de ernergie levert dit vieronaflrankelijkc intcgralen de Errler tol is superirrtcgreerbaar. De algernerne beweging isquasi-periodiek rnet twee frequenties, zodat de faseruirnte uiteen valt in ,1-parameterigefarnilies van inr.ariante 2-tori en 3-paranreterige families van periodieke tranen.N'Iogelijke storingen r.an de Euler tol laten een grotere flexibiliteit toe, want in vergelij-king rnet de Lagrange tol zijn el nrinder eisen. Zo kern rnern bi.jvoorbeeld tle beweging vaneen lvillekeurig star lichaarn (rnet een vast punt) in een willekeurig consetvatief kracht-velcl als storing r,arr tle vrijc berveging opvattcn - rnits de potentiële energie voldoendekleirr is ten ollzichte virn dt: kinetische energic. In het biizonder is de Lagrange tol zo eenstoring en clit toont ailn dat dc rleeste invariante 2-tori van de Euler tcll niet persistcntkurrnen zijn.De Euler tol is een superintegreerbaar svsteern waarvan cle getlegenereerdheid clclor een'typische' storing autonratisch ol;geheven $,ordt. \,bor een dergeli jk verstoord superin-tergrcerbaar systecm rn'er'<l in fArlol'd;63b] air"ngetclontl <lat de nreeste bewegingen quasi-periodick zijn. Nlaar terwii l voor cen storing varr de Lagrange tol clc nreetkuudige struc-tuur van clc Cltrrrtor-r,ezeling in 3-tori cklor cle 3-tolus-vezeling van cle Lagrange tol zelfl J lbepaald wordt, en dus niet van de storing aÍharrgt. r'"'orden cle invariante 3-tori in sto-ringen van de Euler tol iuist pas door de storing opgebouu,d. Een belangrijk doel varrdit proefschrift is dan ook orn na te gaan hoe dc nrectkrrnde varr cle Cantor-vezeling ininvariante 3-tori door de storing bepaalcl wordt.De 4-parameterige farrrilie van itrvariante 2-tori varr de Euler tol is te gerlegenc.reer<l ompersistent te zijn. Echter, juist rl ie 2-tori die cle storing overlevcn leggen r1r: mectkunrligestructuur van de Clantor-vezeling in 3-tori vast. \\re gaan dit expliciet na voor een storingdie cloor een aífien (constant-fl ineair) kra<:htveld geclefinieerrd is.Voor een rotatie-syrnnretrisch star lichaam vereenvoudigt zich de gestelde opgave : wegcbruiken irr dit ger.al rle ̂ 9r-s5'tnmetrie van het svsteenr om het aantal vri. jheitlsgradcnvan 3 naar 2 te verlagen. Hiercloor rvorden invariante 2-tori tot lleriodieke banen gere-duceerd, en hun llersistentie kau dan ook door middel van de Imlll iciett Funr:tiestell ingworden aangetoond ; degenen tlie de storing o\rerleven fcrrrnen gladcle 2-parameterigefamilies.We kunnen in dit geval nog eell stap verder gaan er) ook naar clc singulariteiterr (of'bifurcaties') van deze 2-paramcterige farnil ies kijkcn. Naast de eveuwichtspuntcrr, cl icvoor periodieke rotaties van de tol staan, zijrr dit llarallolische peri<lclicke banen, u'aarinde familie een periodieke centrurn-zatlel bifurcatie dclorlciopt, en door heterocliene banenmet elkaar verbonden hyperbolische pericldieke banen. Deze situaties wolden eerst alge-meen bestrrdeercl en dan in Stell ing 6.5 gr:bnrikt clnr cle beweging van het starre l ichaamte beschriive:n. Zíe $ 6 r'oor de <letails.Voor een willekeurig star lichaam moeten we in clrie vrijheidsgraden werken. We ver-r?ngen de Impliciete Functiestell ing door een I{A\Í-stell ing en laten zo rle persistentievan Cantor-farnil ies van invariante 2-tori zierr. De Euler tol bli jkt echter te gedegenc-reerri te ziju orn bovengenocrnde bifurcaties in rriet 5r-syurnretrisclrc storirrgerr te kunucnincluceren ; zie hiervoor $ 7.In beide gevallen is de analyse gebaseercl op een rrorrraalvorrn, <lie verkregen is door overde ongestoorcle beweging te micidelen. Dit laat ecu re<luctie naar één vri jheidsgraarl toe.en het zijn dr'' evenwichtspuntcn varr het resulterende svstecm u'clke aanleiding geven totpersistente 2-tori. Dit is in $ 5 beschreven, waar ook de farnilie \ralr systemeu mert éénvrijheidsgraad behandelt u'orclt.132 7fr"?t

Quasi-periodic Motions of a Rigid Body. A case study on perturbations of superintegrable systems

https://pure.rug.nl/ws/files/14563612/File0015.PDF

Quasi-periodic Motions of a Rigid Body. A case study on perturbations of superintegrable systems

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

ARTS repository - University of Groningen