НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ

Abstract

If the inhomogeneous equation of semi-bounded string vibration is a classical solution in the first quadrant, then the right-hand side of this equation is obviously continuous. We prove that in this case, a special integral of this right-hand side, which is a generalized solution of the inhomogeneous equation for semi-bounded string vibration, has continuous second derivatives and it is therefore a classical solution. This generalized solution differs from the known generalized solution of this equation in the presence of the upper half of the module of the spatial variable in the integrand, which is a continuous right-hand side ofthe equation. This assertion can be used to identify the corresponding necessary smoothness requirements on the right-hand side of the equation for string vibration for the existence of classical solutions of different mixed problems in the quarter and the half-plane.Если неоднородное уравнение колебаний полуограниченной струны имеет некоторое классическое решение в первой четверти плоскости, то правая часть этого уравнения очевидно непрерывна. В работе доказывается, что в этом случае специальный интеграл от этой правой части, который является лишь обобщенным решением неоднородного уравнения колебаний полуограниченной струны, имеет вторые непрерывные производные и, следовательно, является его классическим решением. Это обобщенное решение отличается от известного обобщенного решения данного уравнения в верхней полуплоскости наличием модуля от пространственной переменной в подынтегральнойфункции, которой является непрерывная правая часть уравнения. Доказанное утверждение можно использовать для выявления соответствующих необходимых требований гладкости на правую часть уравнения колебаний струны для существования классических решений различных смешанных задачах в четверти и полуполосе  плоскости

    Similar works