Neste mostraremos que o conjunto dos n\'umeros complexos $\mathbb{C}$ podem ser ordenados. No entanto, o corpo $\mathbb{C}=(\mathbb{C},+,\cdot)$ n\~ao pode ser ordenado, no sentido em que o corpo $\mathbb{R}$ \'e ordenado

Bastos, Raimundo

Costa, Eudes Antonio

Neste mostraremos que o conjunto dos n\\u27umeros complexos $\mathbb{C}$ podem ser ordenados. No entanto, o corpo $\mathbb{C}=(\mathbb{C},+,\cdot)$ n\~ao pode ser ordenado, no sentido em que o corpo $\mathbb{R}$ \\u27e ordenado

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33 Colloquium Exactarum, v. 4, n.1, Jan-Jun. 2012, p. 33 – 38. DOI: 10.5747/ce.2012.v04.n1.e043 COLOCANDO ORDEM NOS COMPLEXOS  Raimundo Bastos1, Eudes Antonio da Costa2  1Doutorando em Matemática na UnB, Brasília, DF. 2Professor de Matemática da UFT, Arraias, TO. E-mail: eudes@uft.edu.br    RESUMO Sabe-se que os números reais, , é um conjunto ordenado, bem como é um corpo  ordenado. Neste mostraremos que o conjunto dos números complexos, , pode ser ordenado. No entanto, o corpo complexo  não pode ser ordenado. Palavras-chave: corpo real, corpo complexo e ordem.   ORDERING THE COMPLEX NUMBERS  ABSTRACT  It is well known that the field of real numbers, , is an ordered, set and field, by the usual order . In this we show that the set of complex numbers, , can be ordered. However, the complex field   can not be ordered. Keywords: real field, complex field and order.  34 Colloquium Exactarum, v. 4, n.1, Jan-Jun. 2012, p. 33 – 38. DOI: 10.5747/ce.2012.v04.n1.e043  INTRODUÇÃO  É comum, ouvirmos alunos de Matemática, e por fim professores do ensino fundamental e médio, dizerem que os reais é ordenado e os complexos não é.  Em Monteiro (1969) mostra-se que o corpo dos números reais é ordenado pela ordem usual . Mas quanto aos números complexos, os números complexos são ordenados? Ou, o ``mundo dos números complexos'' pode ser ordenado?  Quanto ao fato do conjunto dos números reais ser ordenado, ou ainda, os reais  é um corpo ordenado1, parece não pairar nenhuma dúvida; ou seja, ``o mundo dos números reais é ordenado''. Mas é correto afirmarmos que os números complexos não pode ser ordenado? Assumimos que nosso leitor conhece as propriedades de corpo e que o conjunto dos números reais com as operações usuais de adição e multiplicação é um corpo. Para este fim veja Monteiro (1969) ou Lima (2002). Inicialmente, entendemos por número complexo um elemento do conjunto i=-1}. O conjunto , munido das operações usuais de adição e multiplicação, , é o corpo dos números complexos.  ORDEM EM UM CONJUNTO O que significa um conjunto ser ordenado? Ou melhor, quando (em que circunstâncias) um conjunto é ordenado? Aqui consideramos  um conjunto não vazio.  Definição 1. Uma relação de ordem em um conjunto A é um subconjunto R, de , cujos elementos satisfazem as seguintes condições:                           1 Em Monteiro (1969) pode-se aprofundar o estudo sobre corpos e corpos ordenados. (1) para todo ,  (reflexiva); (2) se  e   então    (antissimétrica);  (3) se   e  então  (transitiva).  Dizemos que  é um conjunto (parcialmente) ordenado.  (4) Se  é um conjunto ordenado tal que para quaisquer  tivermos: ou   ou   (quaisquer dois elementos são comparáveis), diremos que  é um conjunto  totalmente ordenado, ou ainda, que a ordem R é total (ou linear) em A.  Exemplo 1.  Seja A um conjunto. Entendemos por P(A) o conjunto das partes de A. O conjunto P(A) é parcialmente ordenado pela relação de inclusão . É claro que se A não for unitário, então a ordem  não é total, pois para , como temos que  e  não temos , nem   .  Exemplo 2. Sejam  o conjunto dos números naturais e a relação ``menor que ou igual" , então  é um conjunto totalmente ordenado, visto que, para quaisquer  temos que  ou , ou seja, nos naturais a ordem  é total.  A relação  ``menor que ou igual"  é a ordem ``usual" em  e .  Exemplo 3. Ainda em , considere a relação ``divide" dada por  se, e somente se, existe  tal que . É fácil verificar que 35 Colloquium Exactarum, v. 4, n.1, Jan-Jun. 2012, p. 33 – 38. DOI: 10.5747/ce.2012.v04.n1.e043  é uma ordem. Porém tal ordem não é total;  visto que 2 e 5 são números naturais. Porém nem  nem .  Quando dizemos que um conjunto é ordenado (parcial ou total), deve-se estar claro qual ``ordem" (relação ) está considerando.  Definição 2. Seja  um corpo. Uma ordem total  definida no corpo C é dita compatível com as operações de adição e multiplicação  de C se, para todo , temos:  (a) se  então  +z, para qualquer ;  (b) se  e 0  então .  Em tal caso diremos que o corpo  é ordenado.  Observação 1.  No corpo dos números reais, , a relação  de ordem menor ou igual (  satisfaz as condições da Definição  2. Com isso, dizemos que  é um corpo ordenado. Acreditamos que, quando alguém diz: ``  é ordenado'', é isto implicitamente que está dizendo, ``os reais   é um corpo ordenado''.  Para o corpo dos complexos,  ,  vale o seguinte resultado:  Teorema 1. Nenhuma relação de ordem total definida no corpo dos números complexos, , é compatível com as operações usuais de adição  e multiplicação  definidas em .  Antes de apresentarmos a prova, veremos que o conjunto dos números complexo  pode ser totalmente ordenado.  ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS A seguir apresentamos, a título de exemplo, duas ordens (total) no conjunto dos números complexos não compatível com a estrutura de corpo. A relação , definida no conjunto dos números complexos, é uma relação  de ordem, pois satisfaz todas as condições da Definição  1. Esta é a  Ordem Lexicográfica (à Direita) em  .  Indicaremos a relação de Ordem Lexicográfica por    no lugar de escrever   pertence à relação ,  Se   diremos que   ``precede'' .  Exemplo 4.  Dados , , ,  e   . Temos  , conforme figura abaixo.   36 Colloquium Exactarum, v. 4, n.1, Jan-Jun. 2012, p. 33 – 38. DOI: 10.5747/ce.2012.v04.n1.e043   O número complexo   precede o número complexo  , se ambos estiverem sobre a mesma ``reta horizontal", ou seja   esta à esquerda de , ou ainda se  estiver ``abaixo" de  (imaginando-os projetados no eixo ).  A ordem lexicográfica é uma ordem total no conjunto dos números complexos . Uma ``fila'' associada a  pode ser imaginada interpretando-se os números complexos como pontos do plano cartesiano. Portanto, o conjunto dos números complexos   é totalmente ordenado.   Observação 2. O corpo , no entanto, não é ordenado. Suponhamos que  fosse; temos que , assim multiplicando por  temos, , um absurdo, visto que .  Agora usaremos os números complexos,  ,em sua forma polar, ou seja, na forma , sendo   e ; chamamos  o módulo, ou a norma, do número complexo  e   o argumento de  . Consideraremos agora uma ordem que contempla apenas a distância até a origem .  Dados ,   consideramos respectivamente suas normas .. A relação   definida no conjunto dos números complexos é também uma relação  de ordem. Esta é a Ordem Modular em . Indicaremos a relação de Ordem Modular por   , se e somente se . Se   diremos que  têm módulo igual ou menor que .  37 Colloquium Exactarum, v. 4, n.1, Jan-Jun. 2012, p. 33 – 38. DOI: 10.5747/ce.2012.v04.n1.e043 Exemplo 5.  Dados os números complexos ,  , , e , temos que  , observe a figura abaixo.    Geometricamente, ou ``graficamente'', vemos que , se   estiver em um círculo ``interior'' ao círculo que contém , ou seja, um círculo com raio menor. Veja ainda que a ordem modular  é uma ordem total no conjunto dos números complexos, ou seja, o conjunto   é totalmente ordenado.  Observação 3. O corpo  não é ordenado. Caso fosse, como temos: , assim deveríamos ter (  o que acarretaria que , um absurdo; pois claramente,  para qualquer  .  PROVA DO TEOREMA 1 Suponha que uma relação de ordem total (  seja compatível com as operações de adição e multiplicação do corpo .   Afirmamos que 0 , para todo . De fato, pela definição  de ordem total, item (4) da Definição 1, qualquer que seja o número complexo z, temos  ou . Se , pela condição  (b)  da Definição 2, obtemos , ou 0 .  Se , usando a condição  (a) da Definição  2, obtemos  ou . Agora, usando novamente a condição  (b) da Definição  1, temos  ou 0 . E nossa afirmação é válida. Assim, 0 , qualquer que seja o número complexo z. Em particular, 0  e 0  o que acarreta que 0  e 0 . 38 Colloquium Exactarum, v. 4, n.1, Jan-Jun. 2012, p. 33 – 38. DOI: 10.5747/ce.2012.v04.n1.e043 Mas, usando a condição (a) Definição  2, de 0 , obtemos 0+1 , ou seja, . Portanto temos que 0  e . o que contraria a condição  (2) da Definição 1, visto que . Esta contradição garante que nenhuma relação de ordem (total) definida em  pode ser compatível com as operações de adição  e multiplicação. Como Queríamos Demonstrar. Para qualquer Corpo Ordenado  pode-se mostrar as seguintes propriedades2:  Propriedade 1. Num corpo ordenado C e para , 0  se, e somente se, - .  Propriedade 2. Num corpo ordenado C, o quadrado de todo elemento não nulo é positivo, isto é, se então 0 .  Propriedade 3. Em todo corpo ordenado C, tem-se  e .   Observação 4.  Uma prova alternativa do Teorema 1 pode ser obtida usando as propriedades acima.  Temos , caso  fosse um corpo ordenado, o número -1 seria negativo (Proposição  3) e positivo (Proposições 1 e 2), portanto uma contradição.  ALGUMAS CONSIDERAÇÕES Olhando o conjunto dos números reais  como subconjunto dos complexos , temos que a ordem Lexicográfica em   é compatível com a ordem usual, , nos reais. Claramente dados   temos (olhando como número complexo) , se e                          2 Veja em Lima (2002) o caso em que o corpo C é o real. apenas se,  .   Agora, a ordem modular  em  não é compatível com a ordem usual  nos reais. Tomemos  -5 e 2  , temos  pois . No entanto, em , temos que . Na ordem Lexicográfica em  não existem elementos distintos equivalentes (iguais relativos à ordem), visto que,  e  se, e apenas se,  e . No entanto existem em  elementos distintos com a mesma norma; por exemplo  e 1, assim têm que , são equivalentes nesta ordem. Ao dizermos que ``os complexos não podem ser ordenados'' não estamos sendo nem corretos, nem precisos. Pois segue da Seção 3 que o conjunto dos números complexos pode ser totalmente ordenado. No entanto pelo Teorema 1 temos que o corpo dos números complexos não é ordenado. Por fim, como sabemos, os reais  é um corpo ordenado, no entanto  não é um corpo ordenado. Aliás Monteiro (1969) mostra que a ordem usual, , é a única que torna os reais um corpo ordenado.  REFERÊNCIAS LIMA, E. L. Análise real. 6. ed. Rio de Janeiro: IMPA-SBM, 2002. vol.1.  MONTEIRO, L. H. J. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA-Livro Técnico, 1969.  

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