Aizenbud, Gourevitch, Rallis and Schiffmann proves results of multicity one
in different cases, in particular for orthogonal groups. Using the same method,
we prove the same result for special orthogonal groups

Waldspurger, Jean-Loup

French

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Aizenbud, Gourevitch, Rallis and Schiffmann proves results of multicity one in different cases, in particular for orthogonal groups. Using the same method, we prove the same result for special orthogonal groups

Hal-Diderot

Une variante d’un re´sultat de Aizenbud, Gourevitch,
Rallis et Schiffmann
Jean-Loup Waldspurger
To cite this version:
Jean-Loup Waldspurger. Une variante d’un re´sultat de Aizenbud, Gourevitch, Rallis et Schiff-
mann. 2009. <hal-00430588>
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Une variante d’un re´sultat de Aizenbud, Gourevitch,
Rallis et Schiffmann
J.-L. Waldspurger
28 octobre 2009
Soient F un corps local non archime´dien de caracte´ristique nulle, W un espace vec-
toriel sur F de dimension finie ≥ 1, < ., . > une forme biline´aire syme´trique et non
de´ge´ne´re´e sur W , W = V ⊕ U une de´composition orthogonale ou` U est une droite. On
note M , resp. G, le groupe orthogonal de W , resp. V , et M0, resp. G0, le sous-groupe
spe´cial orthogonal (plus exactement, on note ainsi les groupes de points sur F de ces
groupes alge´briques). Le groupe G s’identifie au sous-groupe des e´le´ments deM qui fixent
U point par point. On veut prouver
The´ore`me 1. Soient π, resp. ρ, une repre´sentation admissible irre´ductible de M0, resp.
G0. Alors dimC(HomG0(π|G0, ρ)) ≤ 1.
Dans l’article [AGRS], les auteurs de´montrent plusieurs re´sultats de ce genre et en
particulier l’analogue du the´ore`me ci-dessus ou` les groupes spe´ciaux orthogonaux sont
remplace´s par les groupes orthogonaux. Le cas des groupes spe´ciaux orthogonaux a une
certaine importance, en particulier si l’on s’inte´resse a` la conjecture locale de Gross-
Prasad. La preuve du the´ore`me 1 que l’on pre´sente ci-dessous est une simple variante de
celle de [AGRS]. On n’en de´taillera que les parties qui diffe`rent sensiblement de celle-la`.
Je remercie vivement G. Henniart pour m’avoir signale´ le proble`me et pour des remarques
pertinentes sur une premie`re version de l’article.
On note g l’alge`bre de Lie de G0. Posons G˜ = G×{±1}. Ce groupe agit sur G0, g et
V par
(g, ǫ)x = gxǫg−1, (g, ǫ)X = ǫgXg−1, (g, ǫ)v = ǫgv,
pour (g, ǫ) ∈ G˜, x ∈ G0, X ∈ g, v ∈ V . On a G˜ ⊂ M˜ et, par cette inclusion, G˜ agit sur
M0. Posons e(V ) = [dim(V )+1
2
], que l’on conside`re comme un e´le´ment de Z/2Z. Notons
G¯ le sous-groupe des e´le´ments (g, ǫ) ∈ G˜ tels que det(g) = ǫe(V ). Notons χ le caracte`re
(g, ǫ) 7→ ǫ de G¯ et, pour tout espace S sur lequel G¯ agit, notons SG¯,χ le sous-espace
des e´le´ments qui se transforment sous l’action de G¯ selon le caracte`re χ. Pour tout
espace topologique raisonnable X, on note S(X) l’espace des fonctions sur X a` valeurs
complexes, localement constantes et a` support compact, et S ′(X) son dual. On a
The´ore`me 1’. L’espace S ′(M0)G¯,χ est nul.
Prouvons que ce the´ore`me entraˆıne le the´ore`me 1. On fixe g ∈ G tel que det(g) =
(−1)e(V ). On note σ l’antiinvolution x 7→ gx−1g−1 de M0. Le the´ore`me 1’ implique que
1
toute distribution sur M0 invariante par conjugaison par G0 est invariante par σ. Le
corollaire 1.1 de [AGRS] s’applique : pour π et ρ comme dans le the´ore`me 1, on a
dimC(HomG0(π|G0 , ρ
∗)dimC(HomG0((π
∗)|G0, ρ)) ≤ 1.
Il reste a` prouver que
(1) HomG0(π|G0 , ρ
∗) ≃ HomG0(π|G0, ρ) ≃ HomG0((π
∗)|G0, ρ).
Fixons δ ∈ G tel que det(δ) = −1. On de´finit πδ(x) = π(δxδ−1). Si dim(W ) est impaire,
on a π∗ ≃ π ≃ πδ. Si dim(W ) est paire, on a π∗ ≃ π ou π∗ ≃ πδ. De meˆme en remplac¸ant
W et π par V et ρ. On a aussi
HomG0(π
δ
|G0 , ρ
δ) = HomG0(π|G0 , ρ).
La relation (1) s’ensuit. 
Prouvons le the´ore`me 1’. On a :
Proposition. Supposons que S ′(M0 ×W )M¯,χ = {0}. Alors S ′(M0)G¯,χ = {0}.
Preuve. Comme dans [AGRS] prop. 4.1, on fixe e ∈ U non nul. Par descente de
Frobenius, l’hypothe`se implique que S ′(M0)M¯e,χ = {0}, ou` M¯e est le fixateur de e dans
M¯ . Ce fixateur est l’ensemble des (m, ǫ) ∈ M¯ tels que m = g ⊕ ǫ conforme´ment a` la
de´composition W = V ⊕ U , avec g ∈ G. En introduisant l’e´le´ment central ǫM dans
M , on a aussi m = ǫM(g ⊕ 1), avec un autre g. La condition (m, ǫ) ∈ M¯ signifie que
det(g) = ǫdim(W )+e(W ). Or dim(W ) + e(W ) ≡ e(V ) mod 2Z. Donc M¯e est l’ensemble des
(ǫM , 1)(g, ǫ), avec (g, ǫ) ∈ G¯. Puisque (ǫM , 1) agit trivialement sur M0, on en de´duit
S ′(M0)G¯,χ = {0}. 
De´sormais, on oublie M et W et on va prouver S ′(G0 × V )G¯,χ = {0}. On prouve
simultane´ment S ′(g × V )G¯,χ = {0}. On raisonne par re´currence sur d = dim(V ). On le
ve´rifie imme´diatement pour d = 1. Pour d = 2, l’action de G¯ sur G0 est triviale. On doit
montrer que S ′(V )G¯,χ = {0}. L’action respecte la forme quadratique. Sur l’ouvert V des
e´le´ments v tels que < v, v > 6= 0, les orbites pour G¯ sont les meˆmes que pour G0. On en
de´duit aise´ment S ′(V)G¯,χ = {0}. Reste l’ensemble Γ des e´le´ments v tels que < v, v >= 0.
Si la forme quadratique est anisotrope, il est re´duit au point 0 et le re´sultat est clair.
Sinon, dans une base convenable, c’est l’ensemble des (x, y) tels que xy = 0. Sur Γ \ {0},
on voit qu’un e´le´ment T ∈ S ′(V )G¯,χ est force´ment multiple de la distribution
f 7→
∫
F×
f(x, 0)d∗x−
∫
F×
f(0, y)d∗y,
avec des mesures de Haar pour la multiplication. Or cette distribution ne se prolonge pas a`
V tout entier en une distribution G0-invariante (c’est l’exemple donne´ dans l’introduction
de [AGRS]). Donc T est nulle sur Γ\{0}. Et, comme pre´ce´demment, T ne peut pas avoir
pour support le seul point 0. Donc T = 0. De´sormais, on suppose d ≥ 3, donc le centre
Z de G0 a au plus deux e´le´ments.
Lemme. Soit T ∈ S ′(G0 × V )G¯,χ, resp. T ∈ S ′(g × V )G¯,χ. Alors le support de T est
contenu dans ZU × V , resp N × V .
2
Cf. [AGRS], lemme 4.1 dont on utilise les notations. Soit a ∈ G0 semi-simple non
central. On peut de´composer V en somme orthogonale V = V+⊕V−⊕⊕i∈IVi. Pour tout
i ∈ I, on a une suite d’extensions Fi/F±i/F , ou` [Fi : F±i] = 2. On admet formellement
le cas ou` Fi/F±i est ”de´ploye´e”, c’est-a`-dire Fi = F±i ⊕ F±i. L’espace Vi a une structure
de Fi-espace vectoriel et est muni d’une forme hermitienne non de´ge´ne´re´e. L’e´le´ment a
agit par multiplication par 1 sur V+, −1 sur V− et ai sur Vi, ou` ai est un e´le´ment de
F×i tel que ai 6= ±1 et NormFi/F±i(ai) = 1. La composante neutre du commutant de
a dans G0 est G0+ × G
0
− ×
∏
i∈I Gi, ou` les Gi sont des groupes unitaires (en un sens
approprie´ si Fi = F±i ⊕ F±i). Les e´le´ments de G0 de partie semi-simple a sont produits
de a et d’e´le´ments de ce groupe. L’argument de [AGRS] nous rame`ne a` construire un
e´le´ment (g,−1) ∈ G¯, fixant a, et ve´rifiant la proprie´te´ suivante. Conside`rons T+ ∈
S ′(G0+ × V+)
G0+ , T− ∈ S ′(G0− × V−)
G0
− et, pour tout i ∈ I, Ti ∈ S ′(Gi × Vi)Gi . Alors
T = T+ ⊗ T− ⊗ ⊗i∈ITi est fixe par l’action de (g,−1). On prend g+ ∈ G+ tel que
(g+,−1) ∈ G¯+, g− ∈ G− tel que (g−,−1) ∈ G¯− et, pour tout i ∈ I, un automorphisme
antiline´aire de Vi (relativement a` l’extension Fi/F±i) pre´servant la forme hermitienne.
On prend g = g+ × g− ×
∏
i∈I gi. D’apre`s les re´sultats de [AGRS] pour les groupes
unitaires ou line´aires, et d’apre`s l’hypothe`se de re´currence, l’e´le´ment (g,−1) fixe T . Il
fixe a. Il suffit de ve´rifier que (g,−1) appartient a` G¯. Pour tout i ∈ I, dimF (Vi) est
paire et det(gi) = (−1)
dimF (Vi)/2. Parce que a ∈ G0, dim(V−) est paire et det(g−) =
(−1)e(V−) = (−1)dim(V−)/2. On a det(g+) = (−1)e(V+). Donc det(g) = (−1)e, ou` e =
e(V+) +
dim(V )−dim(V+)
2
. Or e ≡ e(V ) mod 2Z. 
Tout e´le´ment de Z e´tant invariant par G¯, on est ramene´ aux distributions sur U ×V ,
que l’on descend par l’application de Cayley aux distributions sur N × V . Cela nous
rame`ne au proble`me sur l’alge`bre de Lie.
Lemme. Soit T ∈ S ′(g× V )G¯,χ. Alors le support de T est contenu dans g× Γ.
Cf. [AGRS] prop. 4.2. On fixe v ∈ V avec < v, v > 6= 0, on va montrer que S ′(g)G¯v,χ =
{0}, ou` G¯v est le fixateur de v. Comme dans la preuve de : the´ore`me 1’ implique the´ore`me
1, G¯v est l’ensemble des (ǫG, 1)(g1, ǫ), avec (g1, ǫ) ∈ G¯1, ou` on a e´crit V = V1 ⊕ Fv. De
nouveau, l’e´le´ment (ǫG, 1) agit trivialement sur g, on peut le supprimer. On a g = g1⊕V1
et l’action de G¯1 par restriction de celle de G¯ est ”la bonne”. 
On utilise maintenant l’argument de [AGRS] lemme 3.3 et remarque avant le lemme
3.4. Munissons g de la forme biline´aire syme´trique (X, Y ) 7→ trace(XY ). On de´finit
deux transformations de Fourier partielles T 7→ FgT et T 7→ FV T , la premie`re sur la
variable dans g (relativement a` la forme ci-dessus), la seconde sur la variable dans V ,
relativement a` la forme < ., . >. Elles conservent l’espace S ′(g× V )G¯,χ. On a aussi deux
repre´sentations de Weil du groupe me´taplectique S˜L2. Soit T ∈ S ′(g×V )G¯,χ. Alors T est
a` support dans N et FgT l’est aussi. Donc T est invariante par la premie`re repre´sentation
de Weil. De meˆme, T est invariante par la seconde repre´sentation de Weil. En dimension
impaire, une repre´sentation de Weil ne se descend pas au groupe SL2, l’e´le´ment du noyau
de la projection de S˜L2 sur SL2 agit par multiplication par −1 et tout invariant est nul.
Donc T est nulle si dim(g) est impaire ou si dim(V ) est impaire. On a pose´ d = dim(V ).
On a dim(g) = d(d − 1)/2. Donc T est nulle si d est impaire ou si d ≡ 2 mod 4Z.
On suppose maintenant d ≡ 0 mod 4Z. On utilise la preuve de [AGRS] paragraphe 5.
Elle montre que le support de nos distributions est contenu dans l’ensemble des (X, v),
X ∈ N et v ∈ Q(X). Elle montre aussi qu’il suffit de fixer X nilpotent et, en notant G¯X
son fixateur, de prouver le lemme suivant. On note T 7→ Tˆ la transformation de Fourier
3
dans S ′(V ), similaire a` T 7→ FV (T ).
Lemme. On suppose d ≡ 0 mod 4Z. Soit T ∈ S ′(V )G¯X ,χ. Supposons T et Tˆ a` support
dans Q(X). Alors T = 0.
Pour de´montrer cette assertion, on doit se de´barrasser de l’hypothe`se sur d. On de´finit
le sous-groupe G ⊂ G˜ forme´ des (g, ǫ) ∈ G˜ tels que det(g) = ǫd. Remarquons que G = G¯
si d ≡ 0 mod 4Z. Le lemme se ge´ne´ralise sous la forme
Lemme. Soit T ∈ S ′(V )GX ,χ. Supposons T et Tˆ a` support dans Q(X). Alors T = 0.
Preuve. Le lemme 5.3 de [AGRS] reste valable, en remarquant que, pour des de´compositions
V = V1 ⊕ V2, X = X1 ⊕ X2, si (g1,−1) ∈ G1,X1 et (g2,−1) ∈ G2,X2, alors (g1g2,−1)
appartient a` GX . Cela nous rame`ne au cas ou` le couple (V,X) est de l’un des types
suivants.
1er cas. d est impair, V est muni d’une base (ei)i=1,...,d, avec < ei, ej >= ν(−1)iδi,d+1−j
ou` ν est une constante non nulle, Xei = ei−1 pour i ≥ 2, Xe1 = 0. On de´compose
V = V1⊕V0⊕V2, ou` V1 est engendre´ par les ei pour i ≤ (d−1)/2, V0 est la droite porte´e
par e(d+1)/2 et V2 est engendre´ par les ei pour i ≥ (d+ 3)/2. Introduisons l’application
S(V ) → S(V0)
f 7→ f0
de´finie par
f0(v0) =
∫
V1
f(v1 + v0)dv1.
Dans [AGRS], les auteurs prouvent qu’il existe R ∈ S ′(V0) telle que T (f) = R(f0)
pour tout f ∈ S(V ). Il y a un e´le´ment a ∈ G0, appartenant au tore diagonal, tel que
aXa−1 = −X. Posons g = −a. On a (g,−1) ∈ GX . Faisons agir trivialement cet e´le´ment
sur V0. L’application ci-dessus est alors e´quivariante pour l’action de (g,−1). Donc T est
invariante par cet e´le´ment.
2e`me cas. d ≡ 0 mod 4Z, V est muni d’une base (ei)i=1,...,d/2 ∪ (fi)i=1,...,d/2, chaque
sous-famille engendrant des lagrangiens, on a < ei, fj >= (−1)iδi,d/2+1−i, Xei = ei−1,
Xfi = fi−1 pour i ≥ 2 et Xe1 = Xf1 = 0. On de´compose V = V1 ⊕ V2 , ou` V1 est
engendre´ par les ei et fi pour i ≤ d/4 et V2 est engendre´ par les ei et fi pour i ≥ d/4+1.
Dans [AGRS], les auteurs prouvent que T est multiple de la distribution
f 7→
∫
V1
f(v1)dv1.
Il y a un e´le´ment g ∈ G0, appartenant au tore diagonal, tel que gXg−1 = −X. L’e´le´ment
(g,−1) appartient a` GX et fixe la distribution ci-dessus. Donc T est invariante par cet
e´le´ment. 
Remarque. Dans [AGRS], les auteurs conside`rent aussi le deuxie`me cas avec d ≡
2 mod 4Z. C’est inutile. Par un changement de base (remplacer ei et fi par ei + fi et
ei − fi), ce cas se rame`ne a` une somme orthogonale de deux couples du premier cas.
Cela ache`ve la preuve du the´ore`me 1’.
Remarque. On a suppose´ la caracte´ristique de F nulle. Selon un travail re´cent de
Henniart, la de´monstration doit s’e´tendre au cas ou` la caracte´ristique de F est diffe´rente
de 2.
4
Re´fe´rence
[AGRS] A. Aizenbud, D. Gourevitch, S. Rallis, G. Schiffmann : Multiplicity one theo-
rems, arXiv 07094215v1, mathRT
Institut de mathe´matiques de Jussieu-CNRS
175, rue du Chevaleret
75013 Paris
e-mail : waldspur@math.jussieu.fr
5


Une variante d'un résultat de Aizenbud, Gourevitch, Rallis et Schiffmann

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Une variante d'un r\'esultat de Aizenbud, Gourevitch, Rallis et Schiffmann

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