Nous proposons une méthode de type Boltzmann-BGK sur réseau (similaire aux "Lattice Boltzmann Methods") valide sur une large gamme de nombres de Knudsen (typiquement 0.0001 < Kn < 10) et supportant la thermique. Ce schéma numérique basé sur une méthode de décomposition d'Hermite à précédemment été testé avec succès sur un écoulement de Poiseuille et a permis de rendre ompte du paradoxe de Knudsen. Nous mettons en évidence l'effet Klinkenberg sur des simulations d'écoulements dans des milieux poreux modèles

DE IZARRA, Léonard

IZRAR, Boujema

ROUET, Jean-Louis

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.National audienceWe propose a lattice method for Boltzmann-BGK equation (similar to“Lattice Boltzmann Methods”)valid over a wide range of Knudsen numbers (typically 10−4 < Kn < 10) and supporting weak heattransfer. These numerical schemes based on a decomposition on a Hermite polynomial basis havebeen previously tested on a Poiseuille flow with promising results and helped to explain the Knudsen’sparadox. A refined version of this approach is presented here. It is used to highlight the Klinkenbergeffect on flow in discrete porous media.Les méthodes de Boltzmann sur réseau (LBM) sont bien adaptées pour suivre des ecoulements dans le régime hydrodynamique, en particulier dans des milieux poreux. Actuellement, des etudes sont menées pour etendre leur validité aux ecoulements transitionnels, voire raréfiés. Nous proposons une méthode de type Boltzmann-BGK sur réseau valide sur une large gamme de nombres de Knudsen (typiquement 10 −4 < Kn < 10) et supportant la thermique. Basé sur la décomposition de la fonction de distribution sur la base des polynômes d'Hermite, ce schéma numérique a ´ eté testé avec succ es sur un ecoulement de Poiseuille et a permis de rendre compte du paradoxe de Knudsen. Une version raffinée de cette approche est présentée ici. Elle est utilisée pour mettre en evidence l'effet Klinkenberg sur des simulations d'´ ecoulements dans des mod eles simplifiés de micro-canaux. Abstract : We propose a lattice method for Boltzmann-BGK equation (similar to " Lattice Boltzmann Methods ") valid over a wide range of Knudsen numbers (typically 10 −4 < Kn < 10) and supporting weak heat transfer. These numerical schemes based on a decomposition on a Hermite polynomial basis have been previously tested on a Poiseuille flow with promising results and helped to explain the Knudsen's paradox. A refined version of this approach is presented here. It is used to highlight the Klinkenberg effect on flow in discrete porous media

Rouet, Jean-Louis

Izrar, B

de Izarra, Léonard

HAL-INSU

Mise en e´vidence nume´rique de l’effet klinkenberg parune me´thode Boltzmann-BGK sur re´seauJean-Louis Rouet, B Izrar, L De IzarraTo cite this version:Jean-Louis Rouet, B Izrar, L De Izarra. Mise en e´vidence nume´rique de l’effet klinkenberg parune me´thode Boltzmann-BGK sur re´seau. 20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique, Aug 2011,Besanc¸on, France. <insu-01168527>HAL Id: insu-01168527https://hal-insu.archives-ouvertes.fr/insu-01168527Submitted on 30 Jun 2015HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011Mise en e´vidence nume´rique de l’effet klinkenberg parune me´thode Boltzmann-BGK sur re´seauJ-L. Roueta, B. Izrarb et L. de Izarraaa. Institut des Sciences de la Terre d’Orle´ans (ISTO), 1A avenue de la Recherche Scientifique, 45071Orle´ansb. Institut de Combustion, d’Ae´rothermique, de Re´activite´ et d’Environnement (ICARE) - CNRS-UPR3021, 1C avenue de la Recherche Scientifique F45071 Orle´ans cedex 2, FranceRe´sume´ :Les me´thodes de Boltzmann sur re´seau (LBM) sont bien adapte´es pour suivre des e´coulements dans lere´gime hydrodynamique, en particulier dans des milieux poreux. Actuellement, des e´tudes sont mene´espour e´tendre leur validite´ aux e´coulements transitionnels, voire rare´fie´s. Nous proposons une me´thodede type Boltzmann-BGK sur re´seau valide sur une large gamme de nombres de Knudsen (typiquement10−4 < Kn < 10) et supportant la thermique. Base´ sur la de´composition de la fonction de distributionsur la base des polynoˆmes d’Hermite, ce sche´ma nume´rique a e´te´ teste´ avec succe`s sur un e´coulement dePoiseuille et a permis de rendre compte du paradoxe de Knudsen. Une version raffine´e de cette approcheest pre´sente´e ici. Elle est utilise´e pour mettre en e´vidence l’effet Klinkenberg sur des simulationsd’e´coulements dans des mode`les simplifie´s de micro-canaux.Abstract :We propose a lattice method for Boltzmann-BGK equation (similar to“Lattice Boltzmann Methods”)valid over a wide range of Knudsen numbers (typically 10−4 < Kn < 10) and supporting weak heattransfer. These numerical schemes based on a decomposition on a Hermite polynomial basis havebeen previously tested on a Poiseuille flow with promising results and helped to explain the Knudsen’sparadox. A refined version of this approach is presented here. It is used to highlight the Klinkenbergeffect on flow in discrete porous media.Mots clefs : Boltzmann-BGK, re´gime transitionnel, milieux poreux1 IntroductionLa mode´lisation des e´coulements laminaires hors-e´quilibres, que ce soit en raison de la rare´factionou du confinement dans des structures de tailles petites et/ou tre`s diffe´rentes, est un sujet qui rested’actualite´. Ces e´coulements sont caracte´rise´s par un nombre de Knudsen fini et un faible nombrede Mach. Le nombre de Knudsen est caracte´ristique de l’e´cart a` l’e´quilibre thermodynamique. Pourdes Kn suffisamment grands, tant les e´quations de Navier-Stokes que les conditions aux limites denon-glissement, ne sont plus valides [1].Comme l’e´quation de Boltzmann est valable pour tout Knudsen, de l’hydrodynamique au re´gime noncollisionnel, elle est un bon candidat pour mode´liser des syste`mes sur une large gamme d’e´chelles. Desexemples de tels syste`mes peuvent eˆtre trouve´s dans les MEMS [2] ou dans certains milieux poreuxnaturels ou de synthe`se pour lesquels la taille des pores peut s’e´tendre du nanome`tre au microme`tre.En ce qui concerne l’hydrodynamique incompressible dans des ge´ome´tries complexes, typiquementdans des milieux poreux, les me´thodes de Boltzmann sur re´seaux (LBM) sont devenues une alternativecre´dible aux me´thodes conventionnelles de CFD [3]. Les LBM donnent aussi de bons re´sultats pourles e´coulements a` nombre de Knudsen mode´re´ (Kn ≈ 0, 1), caracte´ristiques du re´gime de glissement,120e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011en utilisant des conditions aux limites cine´tiques. Il serait pourtant inte´ressant, pour de nombreusesapplications [4], d’ame´liorer encore ces me´thodes de fac¸on a` acce´der au re´gime transitionnel, c’est-a`-dire pour un nombre de Knudsen de l’ordre de un. Deux directions sont actuellement suivies pouratteindre cet objectif. Soit la simplicite´ des LBM standards est conserve´e et alors la discre´tisation desvitesses permet de passer directement d’un noeud de grille a` un autre, mais au prix d’une plus grandecomplexite´ sur les ope´rations de relaxation, soit cette dernie`re ope´ration reste simple, mais au prixde l’augmentation de la discre´tisation de l’espace des vitesses. C’est cette dernie`re approche qui estpropose´e ici. Elle a permis [5] de rendre compte des effets lie´s a` la rare´faction et, en particulier duparadoxe de Knudsen. Ici, elle nous permet d’aborder des effets duˆs au confinement et plus pre´cise´menta` l’effet Klinkenberg [6]. Ce dernier a en fait de´ja` e´te´ aborde´ avec les me´thodes LBM standard pourlesquelles les effets de discre´tisation sont importants, ce qui requiert de faire appel a` des temps derelaxation modifie´s [6].2 Approche cine´tique multifaisceauxL’objectif est d’inte´grer l’e´quation de Boltzmann avec l’ope´rateur de collision line´arise´ de BGK :∂f∂t+ v ·∇xf +~Fm·∇ξf = −f − feτ(1)f et f e sont de´compose´es sur la base des polynoˆmes d’Hermite [7] jusqu’a` l’ordre q et qe, respective-ment. Pour des proble`mes a` une dimension on a :f˜(x, v, t) = w[θ0](v)q∑n=0bn(x, t)n!H[θ0]n (v), (2)etf˜ e(x, v, t) = w[θ0](v)qe∑n=0an(x, t)n!H[θ0]n (v) (3)ou` w[θ0](v) est la gaussienne centre´e re´duite de tempe´rature θ0 –w[θ0](v) = 1/√2πθ0 exp(−v2/2θ0)–et H[θ0]n (v) est le polynoˆme de degre´ n de´fini parH[θ0]n (v) = w[θ0](v)dnw[θ0](v)dvn. (4)La base de de´composition invite a` calculer les moments am (m = 1, . . . , q) graˆce a` une quadrature deGauss-Hermite :am = θm0∫∞−∞w[θ0](v)f˜ H[θ0]m (v)w[θ0](v)dv = θm0q′∑i=1fiH[θ0]m (vi), avec fi = ωif˜(x, ci, t)w[θ0](ci)(5)Les ci sont les ze´ros de H[θ0]q′ et les wi les poids associe´es. Comme f˜ H[θ0]m (v)/w[θ0](v) est un polynoˆmede degre´ m+q, la sommation sur q′ points rend la quadrature exacte si q′ > q+m. Le moment d’ordrele plus grand, implique´ dans la de´composition (2), est m = q, il faut donc au minimum q′ = q + 1points, c’est-a` dire q + 1 vitesses. On conside`re ici le cas de collisions e´lastiques pour lequel les 3premiers moments de f et f e sont conserve´s, aussi les coefficients bm du de´veloppement (3) sont telsque bm = am pour m = 0, 1, 2.Les e´quations (5) se ge´ne´ralisent pour des dimensions supe´rieures, soit par la me´thode de Grad [8], soit,plus simplement, en combinant D de´veloppements a` une dimension (un de´veloppement par dimension)220e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011et en tronquant le polynoˆme a` l’ordre m sur les vitesses. Pour les re´sultats qui suivent, qe = 2 et fes’e´crit alors :f eqi = ωi ρ[1 +u · viθ0+(u · vi)22 θ20+(θ − θ0)2 θ0(v2iθ0−D)− u22 θ0](6)ou` D est la dimension de l’espace des configurations etρ =qD∑i=1fi, ρu =qD∑i=1vi fi, D ρ θ + ρu2 =qD∑i=1v2i fi. (7)En dimension D = 2 et pour q = 3, la figure 1(a) donne les 3 × 3 faisceaux du mode`le H[θ0]3 . Cesfaisceaux sont obtenus par combinaison des 3 vitesses −c0, 0, c0 selon x et de meˆme suivant y. Siθ = θ0 dans la fonction d’e´quilibre (6), alors le mode`le H[θ0]3 est e´quivalent au D2Q9. De la meˆme fac¸onles 16 faisceaux du mode`le H[θ0]4 sont donne´s 1(b).Comme pour les LBM standards, l’inte´gration de l’e´quation (1) est alterne´e entre l’espace des confi-gurations (propagation) et celui des vitesses (collisions). Cependant les vi e´tant dans des rapportsirrationnels, il est ne´cessaire d’interpoler les fi entre les noeuds du re´seau. Un sche´ma minmod a e´te´adopte´. Les forces volumiques ou de pression sont introduites directement en incre´mentant la quan-tite´ de mouvement macroscopique avant l’e´tape de collision. Le traitement des conditions aux limitesest crucial pour les nombres de Knudsen significatifs. Les conditions diffusives avec accommodationparfaite, adopte´es ici, sont celles qui preˆtent le moins a` la critique et ne requie`rent pas de parame`tresupple´mentaire.v yvx(0,0)H3(a)v yvxH4(b)Fig. 1: Syste`mes de vitesses en deux dimensions base´s sur H3 (a) et H4 (b).3 Simulation de l’effet KlinkenbergPour utiliser la loi de Darcy dans les micro e´coulements gazeux, l’expression usuelle de la perme´abilite´doit eˆtre modifie´e. Pour des nombres de Knudsen de l’ordre de 0.1, la forme donne´e par Klinkenbergpermet de tenir compte des effets de glissement aux parois. Au premier ordre, la vitesse de glissementaux parois est donne´e par :ux(y = 0) = C1λ∂ux∂y(y = 0) et ux(y = H) = −C1λ∂ux∂y(y = H) (8)ou` λ est le libre parcours moyen et C1 un parame`tre ge´ne´ralement pris e´gal a` 1 [6].Ainsi, la loi de DarcyVd ≡ qA=κµ∆PL(9)ou` κ est la perme´abilite´ intrinse`que caracte´ristique de la ge´ome´trie, devient320e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011Vd =(κµ(Pe + Ps)2Ps)∆PL(10)Dans le cas d’e´coulement dans des ge´ome´tries simples (essentiellement unidimensionelles, soit entreplans infinis, soit dans des tubes), il est possible d’introduire une perme´abilite´ e´quivalente κ fonctionde la pression ou du nombre de Knudsen Kn, qui dans le cas plan s’e´crit :κ(Kn) = κ(0)(1 + 6C1Kn) ; Kn =λd=kBπd3√2TP. (11)Les micro re´seaux peuvent faire apparaitre des canaux de tailles caracte´ristiques tre`s diffe´rentes,impliquant des nombres de Knudsen diffe´rents et donc des re´gimes d’e´coulements diffe´rents. Ce typede situations peut eˆtre illustre´ dans le cas simple suivant. L’e´coulement se produit entre 2 plans delongueur L et distant de H ou` L et H sont de l’ordre ou grand devant le libre parcours moyen desparticules du fluide. On introduit une paroi en y = H/2 (Fig. 2) centre´e par rapport a` x = L/2 et delongueur βL (0 ≤ β ≤ 1). Ainsi, cet e´coulement pre´sente 2 Knudsen diffe´rents : celui du de´but et defin du canal et celui des 2 canaux en paralle`les. Dans ce cas, la pre´sence de la paroi ne modifie ni laporosite´, ni la tortuosite´, mais seulement l’aire spe´cifique qui doit jouer un roˆle important puisque lie´ea` la surface de contact fluide-paroi.Fig. 2: Lignes de courant dans le micro re´seau e´le´mentaire. β = 1/2. Le nombre de Knudsen dans leszones 1 et 3 est la moitie´ de celui des zones 2 et 2’.On labellise i = 1, 2 et 3 les 3 tronc¸ons du conduit (Fig. 2). Pour les deux conduites en paralle`le(j = 1, 2), les relations entre de´bit q2j et pertes de charges en incompressibles ∆H2j sont q21+q22 = q0 et∆H2 = ∆H21 = ∆H22 . Tandis que pour 3 conduites en se´rie, on a qi = q0 et ∆H = ∆H1+∆H2+∆H3.Ainsi pour β 6= 0, et pour la meˆme chute de pression impose´e, le de´bit (Qβ) dans le re´seau est plusfaible que celui (Q0) pour un simple tube (β = 0). Le rapport α = Qβ/Q0 < 1. Cependant pourdes valeurs significatives de Kn, l’influence du glissement a` la paroi se fait sentir par la re´duction ducisaillement. La figure 3 montre le rapport α en fonction du Knudsen pour un re´seau de taille Lx = 128et Ly = 128. Ce rapport croˆıt rapidement a` partir de Kn = 5% et un point d’inflexion apparaˆıt auminimum de la courbe de Knudsen [1]. Au dela`, la prudence est ne´cessaire pour le moment. En effet,on a constate´ que, au dela` de ce minimum, les mode`les Hn surestiment les flux quand n est impair etinversement quand n est pair [5].4 ConclusionDes diffe´rentes simulations re´alise´es, dont on a donne´ ici un re´sultat typique, on peut tirer les conclu-sions suivantes :– Pour un milieu simplifie´ mode`le, on met en e´vidence l’effet Klinkenberg lie´ a` un glissement d’autantplus important que le Knudsen est grand et que les surfaces des paroies sont importantes (ici lie´sau facteur β). Ces meˆmes conclusions ont e´te´ tire´es dans un milieu plus complexe.– Tous les mode`les concordent avec le re´gime hydrodynamique.– Les mode`les pairs surestiment les re´sultats a` Knudsen e´leve´ ; c’est l’inverse pour les mode`les impairs.– Les mode`les convergent vers les re´sultats the´oriques ou expe´rimentaux en fonction de leur ordre, lespairs restant toujours au dessus, les impairs en dessous (convergence alterne´e).420e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.001  0.01  0.1  1  10Q β/Q0Kn β=1 β=3/4 β=1/2 β=1/4Fig. 3: Rapport Qβ/Q0 en fonction de Kn et pour β = 1/4, 1/2, 3/4 et 1, ou` Qβ est le de´bit obtenupour le re´seau dont la paroi interne est de longueur βL.– Les mode`les Hq, s’ils posse`dent un nombre de faisceaux supe´rieur a` D2Q9, ne ne´cessitent qu’untemps de relaxation unique lie´ au Knudsen pour dans les proble`mes de dynamique, c’est a` dire dansle cas ou` les processus visqueux sont dominants.– Enfin, ces ame´liorations semblent bien adapte´es pour le type de situations aborde´es ici. Elles e´vitentnotamment de recourir a` des temps de relaxation multiples pour retrouver des re´sultats comparables.Remerciements Ce travail fait l’objet d’un soutien de la Re´gion Centre.Re´fe´rences[1] Cercignani C. The Boltzmann Equation and Its Applications, volume 67 of Applied MathematicalSciences. Springer, Berlin, Germany ; New York, U.S.A., 1994.[2] Nie X., Doolen G. D., et Chen S. Lattice-boltzmann simulations of fluid flows in mems. Journalof Statistical Physics, 107, 279–289, 2002. 10.1023/A :1014523007427.[3] Wolf-Gladrow D. A. Lattice-Gas Cellular Automata and lattice Boltzmann Models. Springer,2000.[4] Kutay M. E., Aydilek A. H., et Masad E. Laboratory validation of lattice boltzmann methodfor modeling pore-scale flow in granular materials. Computers and Geotechnics, 33(8), 381 – 395,2006.[5] De Izarra L., Rouet J.-L., et Izrar B. Construction d’une me´thode multifaisceaux pour lese´coulements en milieux poreux. In 19e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique, Marseilles, France,2009.[6] Tang G. H., Tao W. Q., et He Y. L. Gas slippage effect on microscale porous flow using the latticeboltzmann method. Phys. Rev. E, 72(5), 056301, Nov 2005.[7] Shan X. et He X. Discretization of the velocity space in the solution of the boltzmann equation.Phys. Rev. Lett., 80(1), 65–68, Jan 1998.[8] Grad H. Note on N-dimensional Hermite polynomials. Comm. Pure Appl. Math., 2, 325–330,1949.5

Mise en évidence numérique de l’effet klinkenberg par une méthode Boltzmann-BGK sur réseau

I-Revues

20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Mise en e´vidence nume´rique de l’effet klinkenberg par
une me´thode Boltzmann-BGK sur re´seau
J-L. Roueta, B. Izrarb et L. de Izarraa
a. Institut des Sciences de la Terre d’Orle´ans (ISTO), 1A avenue de la Recherche Scientifique, 45071
Orle´ans
b. Institut de Combustion, d’Ae´rothermique, de Re´activite´ et d’Environnement (ICARE) - CNRS-
UPR3021, 1C avenue de la Recherche Scientifique F45071 Orle´ans cedex 2, France
Re´sume´ :
Les me´thodes de Boltzmann sur re´seau (LBM) sont bien adapte´es pour suivre des e´coulements dans le
re´gime hydrodynamique, en particulier dans des milieux poreux. Actuellement, des e´tudes sont mene´es
pour e´tendre leur validite´ aux e´coulements transitionnels, voire rare´fie´s. Nous proposons une me´thode
de type Boltzmann-BGK sur re´seau valide sur une large gamme de nombres de Knudsen (typiquement
10−4 < Kn < 10) et supportant la thermique. Base´ sur la de´composition de la fonction de distribution
sur la base des polynoˆmes d’Hermite, ce sche´ma nume´rique a e´te´ teste´ avec succe`s sur un e´coulement de
Poiseuille et a permis de rendre compte du paradoxe de Knudsen. Une version raffine´e de cette approche
est pre´sente´e ici. Elle est utilise´e pour mettre en e´vidence l’effet Klinkenberg sur des simulations
d’e´coulements dans des mode`les simplifie´s de micro-canaux.
Abstract :
We propose a lattice method for Boltzmann-BGK equation (similar to“Lattice Boltzmann Methods”)
valid over a wide range of Knudsen numbers (typically 10−4 < Kn < 10) and supporting weak heat
transfer. These numerical schemes based on a decomposition on a Hermite polynomial basis have
been previously tested on a Poiseuille flow with promising results and helped to explain the Knudsen’s
paradox. A refined version of this approach is presented here. It is used to highlight the Klinkenberg
effect on flow in discrete porous media.
Mots clefs : Boltzmann-BGK, re´gime transitionnel, milieux poreux
1 Introduction
La mode´lisation des e´coulements laminaires hors-e´quilibres, que ce soit en raison de la rare´faction
ou du confinement dans des structures de tailles petites et/ou tre`s diffe´rentes, est un sujet qui reste
d’actualite´. Ces e´coulements sont caracte´rise´s par un nombre de Knudsen fini et un faible nombre
de Mach. Le nombre de Knudsen est caracte´ristique de l’e´cart a` l’e´quilibre thermodynamique. Pour
des Kn suffisamment grands, tant les e´quations de Navier-Stokes que les conditions aux limites de
non-glissement, ne sont plus valides [1].
Comme l’e´quation de Boltzmann est valable pour tout Knudsen, de l’hydrodynamique au re´gime non
collisionnel, elle est un bon candidat pour mode´liser des syste`mes sur une large gamme d’e´chelles. Des
exemples de tels syste`mes peuvent eˆtre trouve´s dans les MEMS [2] ou dans certains milieux poreux
naturels ou de synthe`se pour lesquels la taille des pores peut s’e´tendre du nanome`tre au microme`tre.
En ce qui concerne l’hydrodynamique incompressible dans des ge´ome´tries complexes, typiquement
dans des milieux poreux, les me´thodes de Boltzmann sur re´seaux (LBM) sont devenues une alternative
cre´dible aux me´thodes conventionnelles de CFD [3]. Les LBM donnent aussi de bons re´sultats pour
les e´coulements a` nombre de Knudsen mode´re´ (Kn ≈ 0, 1), caracte´ristiques du re´gime de glissement,
1
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
en utilisant des conditions aux limites cine´tiques. Il serait pourtant inte´ressant, pour de nombreuses
applications [4], d’ame´liorer encore ces me´thodes de fac¸on a` acce´der au re´gime transitionnel, c’est-a`-
dire pour un nombre de Knudsen de l’ordre de un. Deux directions sont actuellement suivies pour
atteindre cet objectif. Soit la simplicite´ des LBM standards est conserve´e et alors la discre´tisation des
vitesses permet de passer directement d’un noeud de grille a` un autre, mais au prix d’une plus grande
complexite´ sur les ope´rations de relaxation, soit cette dernie`re ope´ration reste simple, mais au prix
de l’augmentation de la discre´tisation de l’espace des vitesses. C’est cette dernie`re approche qui est
propose´e ici. Elle a permis [5] de rendre compte des effets lie´s a` la rare´faction et, en particulier du
paradoxe de Knudsen. Ici, elle nous permet d’aborder des effets duˆs au confinement et plus pre´cise´ment
a` l’effet Klinkenberg [6]. Ce dernier a en fait de´ja` e´te´ aborde´ avec les me´thodes LBM standard pour
lesquelles les effets de discre´tisation sont importants, ce qui requiert de faire appel a` des temps de
relaxation modifie´s [6].
2 Approche cine´tique multifaisceaux
L’objectif est d’inte´grer l’e´quation de Boltzmann avec l’ope´rateur de collision line´arise´ de BGK :
∂f
∂t
+ v ·∇xf +
~F
m
·∇ξf = −f − f
e
τ
(1)
f et f e sont de´compose´es sur la base des polynoˆmes d’Hermite [7] jusqu’a` l’ordre q et qe, respective-
ment. Pour des proble`mes a` une dimension on a :
f˜(x, v, t) = w[θ0](v)
q∑
n=0
bn(x, t)
n!
H[θ0]n (v), (2)
et
f˜ e(x, v, t) = w[θ0](v)
qe∑
n=0
an(x, t)
n!
H[θ0]n (v) (3)
ou` w[θ0](v) est la gaussienne centre´e re´duite de tempe´rature θ0 –w
[θ0](v) = 1/
√
2πθ0 exp
(−v2/2θ0)–
et H[θ0]n (v) est le polynoˆme de degre´ n de´fini par
H[θ0]n (v) = w[θ0](v)
dnw[θ0](v)
dvn
. (4)
La base de de´composition invite a` calculer les moments am (m = 1, . . . , q) graˆce a` une quadrature de
Gauss-Hermite :
am = θ
m
0
∫
∞
−∞
w[θ0](v)
f˜ H[θ0]m (v)
w[θ0](v)
dv = θm0
q′∑
i=1
fiH[θ0]m (vi), avec fi = ωi
f˜(x, ci, t)
w[θ0](ci)
(5)
Les ci sont les ze´ros de H[θ0]q′ et les wi les poids associe´es. Comme f˜ H[θ0]m (v)/w[θ0](v) est un polynoˆme
de degre´ m+q, la sommation sur q′ points rend la quadrature exacte si q′ > q+m. Le moment d’ordre
le plus grand, implique´ dans la de´composition (2), est m = q, il faut donc au minimum q′ = q + 1
points, c’est-a` dire q + 1 vitesses. On conside`re ici le cas de collisions e´lastiques pour lequel les 3
premiers moments de f et f e sont conserve´s, aussi les coefficients bm du de´veloppement (3) sont tels
que bm = am pour m = 0, 1, 2.
Les e´quations (5) se ge´ne´ralisent pour des dimensions supe´rieures, soit par la me´thode de Grad [8], soit,
plus simplement, en combinant D de´veloppements a` une dimension (un de´veloppement par dimension)
2
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et en tronquant le polynoˆme a` l’ordre m sur les vitesses. Pour les re´sultats qui suivent, qe = 2 et f
e
s’e´crit alors :
f eqi = ωi ρ
[
1 +
u · vi
θ0
+
(u · vi)2
2 θ20
+
(θ − θ0)
2 θ0
(
v
2
i
θ0
−D
)
− u
2
2 θ0
]
(6)
ou` D est la dimension de l’espace des configurations et
ρ =
qD∑
i=1
fi, ρu =
qD∑
i=1
vi fi, D ρ θ + ρu
2 =
qD∑
i=1
v
2
i fi. (7)
En dimension D = 2 et pour q = 3, la figure 1(a) donne les 3 × 3 faisceaux du mode`le H[θ0]3 . Ces
faisceaux sont obtenus par combinaison des 3 vitesses −c0, 0, c0 selon x et de meˆme suivant y. Si
θ = θ0 dans la fonction d’e´quilibre (6), alors le mode`le H[θ0]3 est e´quivalent au D2Q9. De la meˆme fac¸on
les 16 faisceaux du mode`le H[θ0]4 sont donne´s 1(b).
Comme pour les LBM standards, l’inte´gration de l’e´quation (1) est alterne´e entre l’espace des confi-
gurations (propagation) et celui des vitesses (collisions). Cependant les vi e´tant dans des rapports
irrationnels, il est ne´cessaire d’interpoler les fi entre les noeuds du re´seau. Un sche´ma minmod a e´te´
adopte´. Les forces volumiques ou de pression sont introduites directement en incre´mentant la quan-
tite´ de mouvement macroscopique avant l’e´tape de collision. Le traitement des conditions aux limites
est crucial pour les nombres de Knudsen significatifs. Les conditions diffusives avec accommodation
parfaite, adopte´es ici, sont celles qui preˆtent le moins a` la critique et ne requie`rent pas de parame`tre
supple´mentaire.
v y
vx
(0,0)
H3
(a)
v y
vx
H4
(b)
Fig. 1: Syste`mes de vitesses en deux dimensions base´s sur H3 (a) et H4 (b).
3 Simulation de l’effet Klinkenberg
Pour utiliser la loi de Darcy dans les micro e´coulements gazeux, l’expression usuelle de la perme´abilite´
doit eˆtre modifie´e. Pour des nombres de Knudsen de l’ordre de 0.1, la forme donne´e par Klinkenberg
permet de tenir compte des effets de glissement aux parois. Au premier ordre, la vitesse de glissement
aux parois est donne´e par :
ux(y = 0) = C1λ
∂ux
∂y
(y = 0) et ux(y = H) = −C1λ∂ux
∂y
(y = H) (8)
ou` λ est le libre parcours moyen et C1 un parame`tre ge´ne´ralement pris e´gal a` 1 [6].
Ainsi, la loi de Darcy
Vd ≡ q
A
=
κ
µ
∆P
L
(9)
ou` κ est la perme´abilite´ intrinse`que caracte´ristique de la ge´ome´trie, devient
3
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Vd =
(
κ
µ
(Pe + Ps)
2Ps
)
∆P
L
(10)
Dans le cas d’e´coulement dans des ge´ome´tries simples (essentiellement unidimensionelles, soit entre
plans infinis, soit dans des tubes), il est possible d’introduire une perme´abilite´ e´quivalente κ fonction
de la pression ou du nombre de Knudsen Kn, qui dans le cas plan s’e´crit :
κ(Kn) = κ(0)(1 + 6C1Kn) ; Kn =
λ
d
=
kB
πd3
√
2
T
P
. (11)
Les micro re´seaux peuvent faire apparaitre des canaux de tailles caracte´ristiques tre`s diffe´rentes,
impliquant des nombres de Knudsen diffe´rents et donc des re´gimes d’e´coulements diffe´rents. Ce type
de situations peut eˆtre illustre´ dans le cas simple suivant. L’e´coulement se produit entre 2 plans de
longueur L et distant de H ou` L et H sont de l’ordre ou grand devant le libre parcours moyen des
particules du fluide. On introduit une paroi en y = H/2 (Fig. 2) centre´e par rapport a` x = L/2 et de
longueur βL (0 ≤ β ≤ 1). Ainsi, cet e´coulement pre´sente 2 Knudsen diffe´rents : celui du de´but et de
fin du canal et celui des 2 canaux en paralle`les. Dans ce cas, la pre´sence de la paroi ne modifie ni la
porosite´, ni la tortuosite´, mais seulement l’aire spe´cifique qui doit jouer un roˆle important puisque lie´e
a` la surface de contact fluide-paroi.
Fig. 2: Lignes de courant dans le micro re´seau e´le´mentaire. β = 1/2. Le nombre de Knudsen dans les
zones 1 et 3 est la moitie´ de celui des zones 2 et 2’.
On labellise i = 1, 2 et 3 les 3 tronc¸ons du conduit (Fig. 2). Pour les deux conduites en paralle`le
(j = 1, 2), les relations entre de´bit q2j et pertes de charges en incompressibles ∆H2j sont q21+q22 = q0 et
∆H2 = ∆H21 = ∆H22 . Tandis que pour 3 conduites en se´rie, on a qi = q0 et ∆H = ∆H1+∆H2+∆H3.
Ainsi pour β 6= 0, et pour la meˆme chute de pression impose´e, le de´bit (Qβ) dans le re´seau est plus
faible que celui (Q0) pour un simple tube (β = 0). Le rapport α = Qβ/Q0 < 1. Cependant pour
des valeurs significatives de Kn, l’influence du glissement a` la paroi se fait sentir par la re´duction du
cisaillement. La figure 3 montre le rapport α en fonction du Knudsen pour un re´seau de taille Lx = 128
et Ly = 128. Ce rapport croˆıt rapidement a` partir de Kn = 5% et un point d’inflexion apparaˆıt au
minimum de la courbe de Knudsen [1]. Au dela`, la prudence est ne´cessaire pour le moment. En effet,
on a constate´ que, au dela` de ce minimum, les mode`les Hn surestiment les flux quand n est impair et
inversement quand n est pair [5].
4 Conclusion
Des diffe´rentes simulations re´alise´es, dont on a donne´ ici un re´sultat typique, on peut tirer les conclu-
sions suivantes :
– Pour un milieu simplifie´ mode`le, on met en e´vidence l’effet Klinkenberg lie´ a` un glissement d’autant
plus important que le Knudsen est grand et que les surfaces des paroies sont importantes (ici lie´s
au facteur β). Ces meˆmes conclusions ont e´te´ tire´es dans un milieu plus complexe.
– Tous les mode`les concordent avec le re´gime hydrodynamique.
– Les mode`les pairs surestiment les re´sultats a` Knudsen e´leve´ ; c’est l’inverse pour les mode`les impairs.
– Les mode`les convergent vers les re´sultats the´oriques ou expe´rimentaux en fonction de leur ordre, les
pairs restant toujours au dessus, les impairs en dessous (convergence alterne´e).
4
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 1
 0.001  0.01  0.1  1  10
Q β
/Q
0
Kn
 β=1
 β=3/4
 β=1/2
 β=1/4
Fig. 3: Rapport Qβ/Q0 en fonction de Kn et pour β = 1/4, 1/2, 3/4 et 1, ou` Qβ est le de´bit obtenu
pour le re´seau dont la paroi interne est de longueur βL.
– Les mode`les Hq, s’ils posse`dent un nombre de faisceaux supe´rieur a` D2Q9, ne ne´cessitent qu’un
temps de relaxation unique lie´ au Knudsen pour dans les proble`mes de dynamique, c’est a` dire dans
le cas ou` les processus visqueux sont dominants.
– Enfin, ces ame´liorations semblent bien adapte´es pour le type de situations aborde´es ici. Elles e´vitent
notamment de recourir a` des temps de relaxation multiples pour retrouver des re´sultats comparables.
Remerciements Ce travail fait l’objet d’un soutien de la Re´gion Centre.
Re´fe´rences
[1] Cercignani C. The Boltzmann Equation and Its Applications, volume 67 of Applied Mathematical
Sciences. Springer, Berlin, Germany ; New York, U.S.A., 1994.
[2] Nie X., Doolen G. D., et Chen S. Lattice-boltzmann simulations of fluid flows in mems. Journal
of Statistical Physics, 107, 279–289, 2002. 10.1023/A :1014523007427.
[3] Wolf-Gladrow D. A. Lattice-Gas Cellular Automata and lattice Boltzmann Models. Springer,
2000.
[4] Kutay M. E., Aydilek A. H., et Masad E. Laboratory validation of lattice boltzmann method
for modeling pore-scale flow in granular materials. Computers and Geotechnics, 33(8), 381 – 395,
2006.
[5] De Izarra L., Rouet J.-L., et Izrar B. Construction d’une me´thode multifaisceaux pour les
e´coulements en milieux poreux. In 19e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique, Marseilles, France,
2009.
[6] Tang G. H., Tao W. Q., et He Y. L. Gas slippage effect on microscale porous flow using the lattice
boltzmann method. Phys. Rev. E, 72(5), 056301, Nov 2005.
[7] Shan X. et He X. Discretization of the velocity space in the solution of the boltzmann equation.
Phys. Rev. Lett., 80(1), 65–68, Jan 1998.
[8] Grad H. Note on N-dimensional Hermite polynomials. Comm. Pure Appl. Math., 2, 325–330,
1949.
5


Mise en évidence numérique de l'effet klinkenberg par une méthode Boltzmann-BGK sur réseau

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