Nous proposons une nouvelle démarche pour traiter le contact dynamique entre pneumatique et chaussée. L'idée est de simplifier les fonctions de Green du pneumatique en les décomposant dans une base modale. Les paramètres modaux sont ensuite utilisés pour construire une convolution plus rapide entre les fonctions de Green et les efforts de contact. Deux exemples de validation sont présentés : un système à 1DDL se déplaçant sur un profile sinusoïdal puis un modèle de pneumatique sur une chaussée réelle. La démarche proposée permet de réduire le temps de calcul tout en gardant la même précision

DUHAMEL, Denis

MEFTAH, Rabie

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
Modèle de contact dynamique pneumatique/chaussée basé sur
les fonctions de Green
R. MEFTAHa , D. DUHAMELa
a. Université Paris-Est, Laboratoire Navier (ENPC/IFSTTAR/CNRS), Ecole des Ponts ParisTech, 6 et 8 av
Blaise Pascal, 77455 Marne-la-Vallée
Résumé :
Dans ce travail, nous proposons une démarche de modélisation de contact dynamique entre pneumatique et
chaussée. La démarche est basée sur les techniques de convolutions. Les fonctions de Green du pneumatique
sont supposées connues. La démarche consite d’abord à décomposer ces fonctions dans une base modale, en-
suite les paramètres identifiés sont utilisés pour construire une convolution rapide. Le déplacement est calculé
par une convolution rapide entre forces de contact et fonctions de Green. Le problème de contact est traité
en ajoutant une condition cinématique sur les vitesses. La démarche est appliquée sur un modèle simplifié de
pneumatique sur une chaussée sinusoïdale.
Abstract :
In this work, we propose a tire road contact model. The approach is based on convolution techniques. Green
functions of the tire are assumed known. It consists, at the first stage, on an approximation of the pre-calculated
Green function on a series of modal contributions, the identified parameters are then used to construct a fast
convolution. The displacement is computed by a fast convolution between contact forces and Green functions.
The contact problem is treated by adding a kinematic condition on velocity. The approach is applied to a
simplified tire model on a sinusoidal roadway.
Mots clefs : contact dynamique ; Convolution ; pneumatique-chaussée
1 Introduction
Le contact pneumatique/chaussée représente la source principale du bruit de trafic routier, en particulier pour
des vitesses supérieures à 50 km/h. L’une des difficultés majeures de la modélisation de ce phénomène est la
prise en compte de l’effort de contact dans le comportement dynamique du pneumatique. La complexité de la
géométrie du couple chaussée/pneumatique rend le problème difficile. Ce genre de problème est souvent traité
à l’aide de l’intégration temporelle en utilisant des approches basées soit sur la méthode de pénalisation[2] soit
sur la méthode de multiplicateurs de Lagrange[1]. La plupart de ces méthodes sont souvent difficiles à mettre
en oeuvre ou bien mènent à des calculs lourds. Les techniques de convolution peuvent être utilisées pour traiter
ce genre de problème. La réponse dynamique est calculée par un produit de convolution entre les fonctions de
Green du système dynamique et les forces de contact. Cette approche est largement utilisée dans la littérature
[5, 3, 4, 6, 7, 8].
La démarche que nous proposons dans ce travail est basée sur la décomposition de la fonction de Green dans
une base modale. Les paramètres modaux identifiés sont ensuite utilisés pour construire une convolution plus
rapide. Le contact est géré en utilisant les conditions de contact classique, puis en ajouttant une condition
cinématique sur les vitesses de déplacements.
1
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
2 Convolution rapide
La fonction de Green est supposée connue. L’idée est d’approximer cette fonction par une combinaison linéaire
de la contribution de chaque mode. Les paramètres modaux sont identifiés à l’aide de l’algorithme LSCE.
G(ω)≈
k=Nm∑
k=1
Ak
−ω2 +2 jξkωωk +ω2k
(1)
Après avoir déterminé les paramètres modaux Ak, ωk et ξk et tronqué la décomposition à un ordre N, le dé-
placement dans le domaine temporel peut être obtenu par une transformation de Fourier inverse de l’équation
(1)
g(t) =
k=2Nm∑
k=1
Ak
ωkd
e−ξkωktsin(ωdk t) (2)
Avec
ωkd = ωk
√
1−ξ2k
Le déplacement peut être calculé par un produit de convolution
u(t) =
Z t
0
g(τ)q(t− τ)dτ =
Z t
0
g(t− τ)q(τ)dτ (3)
On remplace l’expression de g(t) dans l’équation (3), puis on sépare les variables t et τ , nous pouvons écrire
le déplacement sous la forme
u(t) =
k=2Nm∑
k=1
Ak
ωdk
e−ξkωkt
[
sin
(
ωdk t
)
αk(t)− cos
(
ωdk t
)βk(t)] (4)
où αk(t) et βk(t) sont calculés par les formules
αk(t) =
Z t
0
eξkωkτcos(ωdk τ)q(τ)dτ (5)
βk(t) =
Z t
0
eξkωkτsin(ωdk τ)q(τ)dτ (6)
3 Problème de contact
3.1 Démarche générale
Les conditions classiques de contact sont données par les équation suivantes
u(t) = ur(t) ; fc(t) > 0 (7)
u(t) > ur(t) ; fc(t) = 0 (8)
Où u(t) est le déplacement d’un point du système, ur(t) est l’amplitude du profile de la chaussée au même
point et fc(t) la force de contact au même point. Le principe de calcul est détaillé ci-dessous :
1. Premièrement, l’historique du déplacement uh(n∆t) est calculé en supposant que fc(n∆t) = 0.
uh(n∆t) =
k=N
∑
k=1
Ak
ωdk
e−ξkωkn∆t[
sin
(
ωdk n∆t
)
αk((n−1)∆t)− cos
(
ωdk n∆t
)βk((n−1)∆t)] (9)
2
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
2. L’historique du déplacement est comparé avec l’amplitude du profile de la chaussée.
∆x(n∆t) = ur(n∆t)−uh(n∆t) (10)
3. Si l’hypothèse de non contact (∆x < 0) est vérifiée, le déplacement est calculé par :
u(n∆t) = uh(n∆t) (11)
Ensuite, la même procédure est répétée pour le prochain pas de temps ( fc((n +1)∆t) = 0).
4. Si ∆x ≥ 0, la force de contact est calculée par le principe de déconvolution détaillé dans la prochaine
section.
5. La même procédure est répétée pour le prochain pas de temps ( fc((n +1)∆t) = 0).
3.2 Déconvolution
Connaissant la force et la fonction de Green dans le domaine temporel, le déplacement peut être calculé par un
produit de convolution :
u(t) =
Z t−∆t
0
g(t− τ)q(τ)dτ+
Z t
t−∆t
g(t− τ)q(τ)dτ
=
Z t−∆t
0
g(t− τ)q(τ)dτ︸ ︷︷ ︸
uh(t)
+
Z ∆t
0
g(τ)q(t− τ)dτ
= uh(t)+
Z ∆t
0
g(τ)q(t− τ)dτ (12)
Si on dérive cette équation (12) on trouve
v(t) = u′(t) =
Z t−∆t
0
g′(t− τ)q(τ)dτ+
Z t
t−∆t
g′(t− τ)q(τ)dτ
=
Z t−∆t
0
g′(t− τ)q(τ)dτ︸ ︷︷ ︸
vh(t)
+
Z ∆t
0
g′(τ)q(t− τ)dτ
= vh(t)+
Z ∆t
0
g′(τ)q(t− τ)dτ (13)
Notant Y = [u(t) v(t)]T et Yh = [uh(t) vh(t)]T , on peut écrire
Y = Yh +Ψ(q) (14)
Où Ψ est un opérateur intégral qui traduit l’influence de la force de contact à l’instant t.
Dans le cas où, il y a contact, le déplacement est imposé par le profile de la chaussée qui est supposé rigide.
On suppose aussi que le point de contact suit la chaussée, ce qui peut être traduit par les conditions suivantes :
u(t) = ur(t) ; v(t) =
dur(t)
dt (15)
Sous la forme vectorielle
Y = Yr = [ur(t)
dur(t)
dt ]
T (16)
3
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
En utilisant la décomposition modale de la fonction de Green, on peut écrire
u(t) =
k=N
∑
k=1
Ak
ωdk
e−ξkωkt
[
sin
(
ωdk t
)
αk(t)− cos
(
ωdk t
)βk(t)] (17)
et
v(t) = −
k=N
∑
k=1
Akξkωk
ωdk
e−ξkωkt
[
sin
(
ωdk t
)
αk(t)− cos
(
ωdk t
)βk(t)]
+
k=N
∑
k=1
Ake−ξkωkt
[
cos
(
ωdk t
)
αk(t)+ sin
(
ωdk t
)βk(t)] (18)
Les équations (17) et (18), peuvent s’écrire sous la forme matricielle
Y =
k=N
∑
k=1
Bkxk (19)
où
xk = [α
k(t) βk(t)]T (20)
et
Bk = Ake−ξkωkt


sin(ωdk t)
ωdk
−
cos(ωdk t)
ωdk
cos
(
ωdk t
)
−
ξkωk
ωdk
sin
(
ωdk t
)
sin
(
ωdk t
)
+ ξkωk
ωdk
cos
(
ωdk t
)

 (21)
Les conditions de contact
Yr = Yh +Ψ(q) (22)
L’objectif est de calculer la force de contact qui vérifie à la fois ces deux conditions. La force de contact est
reliée avec le déplacement par l’opérateur Ψ.
∆Y = Yr−Yh =


Z ∆t
0
g(t− τ)q(τ)dτ
Z ∆t
0
g′(t− τ)q(τ)dτ

 (23)
Ces intégrales peuvent être calculées en utilisant deux points de Gauss. Les valeurs de la force de contact aux
deux points de Gauss sont calculées en inversant l’opérateur Ψ.
q =
[
q1
q2
]
= Ψ−1(t1,t2)∆Y (24)
Cet opérateur est donné par
Ψ =

 g(t− t1) g(t− t2)
g′(t− t1) g′(t− t2)

∆t (25)
où,
g(t) =
k=N
∑
k=1
Ak
ωdk
e−ξkωktsin
(
ωdk t
) (26)
4
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
Dans l’intervalle de temps [t t +∆t], la force de contact est la moyenne des valeurs de la force aux deux points
de Gauss t1 et t2 qui sont définis par
t1 = t +
(
1−
1√
(3)
)
∆t
2
; t2 = t +
(
1 +
1√
(3)
)
∆t
2
(27)
Connaissant les valeurs de la force de contact aux deux point de Gauss t1 and t2, on peut calculer les paramètres
αk(t +∆t) et βk(t +∆t) par les équations de récurrence suivantes
αk(t +∆t) = αkh(t)+
eξkωkt1 cos(ωdkt1)q1 + eξkωkt2cos(ωdkt2)q2
2
∆t (28)
βk(t +∆t) = βkh(t)+ e
ξkωkt1 sin(ωdk t1)q1 + eξkωkt2sin(ωdk t2)q2
2
∆t (29)
4 Application
La modélisation d’un pneumatique réel avec tous les détails est très complexe. Dans la littérature, le modèle
d’anneau circulaire sous fondation élastique est souvent adopté pour modéliser un pneumatique dans les basses
fréquence [0 500Hz] . Dans ce modèle la bande de roulement est modélisée par une poutre de Bernoulli, les
propriétés élastiques du flanc et de la jante sont modélisées par des ressorts [9].
On suppose que la ligne de contact contient cinq points. La matrice des fonctions de Green est alors de taille
5x5, les figures 1 et 2 montrent respectivement les déplacements et les forces de contact de ces cinq points de
contact.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x 10−3
D
isp
la
ce
m
en
t[
m
]
Time [s]
FIG. 1 – Déplacement des différents points de contact
5 Conclusion
Une nouvelle formulation de contact dynamique entre pneumatique et chaussée a été présentée. Le formalisme
a deux avantages : premièrement sa rapidité en utilisant une convolution basée sur une décomposition modale.
Deuxièmement, l’introduction de la condition cinématique de contact facilite le calcul des efforts de contact.
La méthode a été appliquée dans le cas d’un modèle simplifié de pneumatique sur une chaussée sinusoïdale,
elle peut être encore plus avantageuse en terme de temps de calcul dans le cas d’un pneumatique réel sur une
chaussée réelle.
Références
[1] K.J. Bathe and A.B. Chaudhary. A solution method for planar and axisymmetric contact problems.
International Journal for Numerical Methods in Engineering, 21 :65–88, 1985.
5
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Fo
rc
es
[N
]
Time [s]
FIG. 2 – Forces de contact aux différents points de contact
[2] Y. Kanto and G. Yakwa. A dynamic contact buckling analysis by the penalty finite element method.
International Journal for Numerical Methods in Engineering, 29 :755–774, 1990.
[3] M. McIntyre, R. Schumacher, and J. Woodhouse. On the oscillations of musical instruments. Journal of
the Acoustical Society of America, 74 :1325–1345, 1983.
[4] C. Wang and J. Kim. New analysis method for a thin beam impacting against a stop based on the full
continuous mode. Journal of Sound and Vibation, 191 :809–823, 1996.
[5] A. Nordborg. Wheel/rail noise generation due to nonlinear effects and parametric excitation. Journal of
the Acoustical Society of America, 111 :1772–1781, 2002.
[6] W. Kropp. A model to describe the rolling noise of a smooth radial tire on a rough road surface. PhD
thesis, T. U. Berlin, 1992.
[7] K. Larsson. Modelling of dynamic contact-exemplified on tire/road interaction. PhD thesis, Chalmers
University of Technology, Goteborg, Sweden, 2002.
[8] P.B.U. Andersson and W. Kropp. Time domain contact model for tyre/road interaction including nonlinear
contact stiffness due to small-scale roughness. Journal of Sound and Vibration, pages 296–312, 2008.
[9] R. Meftah, D. Duhamel, J. Cesbron, F. Anfosso-Lédée, H. Yin, and P. Argoul. Efficient computation of
tire/road contact forces using an ARMA model of the Green function. In XVIIth Symposium Vibrations,
Chocs and Bruit, Ecole Centrale de Lyon, 2010.
6


Modèle de contact dynamique pneumatique/chaussée basé sur les fonctions de Green

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.National audienceDans ce travail, nous proposons une démarche de modélisation de contact dynamique entre pneumatique et chaussée. La démarche est basée sur les techniques de convolutions. Les fonctions de Green du pneumatique sont supposées connues. La démarche consite d'abord à décomposer ces fonctions dans une base modale, ensuite les paramètres identifiés sont utilisés pour construire une convolution rapide. Le déplacement est calculé par une convolution rapide entre forces de contact et fonctions de Green. Le problème de contact est traité en ajoutant une condition cinématique sur les vitesses. La démarche est appliquée sur un modèle simplifié de pneumatique sur une chaussée sinusoïdale

Meftah, Rabie

Duhamel, Denis

HAL-Ecole des Ponts ParisTech

Mode`le de contact dynamique pneumatique/chausse´ebase´ sur les fonctions de GreenRabie Meftah, Denis DuhamelTo cite this version:Rabie Meftah, Denis Duhamel. Mode`le de contact dynamique pneumatique/chausse´e base´ surles fonctions de Green. 20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique, Aug 2011, Besanc¸on, France.pp.1-6, 2011. <hal-00668524>HAL Id: hal-00668524https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00668524Submitted on 9 Feb 2012HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011Modèle de contact dynamique pneumatique/chaussée basé surles fonctions de GreenR. MEFTAHa , D. DUHAMELaa. Université Paris-Est, Laboratoire Navier (ENPC/IFSTTAR/CNRS), Ecole des Ponts ParisTech, 6 et 8 avBlaise Pascal, 77455 Marne-la-ValléeRésumé :Dans ce travail, nous proposons une démarche de modélisation de contact dynamique entre pneumatique etchaussée. La démarche est basée sur les techniques de convolutions. Les fonctions de Green du pneumatiquesont supposées connues. La démarche consite d’abord à décomposer ces fonctions dans une base modale, en-suite les paramètres identifiés sont utilisés pour construire une convolution rapide. Le déplacement est calculépar une convolution rapide entre forces de contact et fonctions de Green. Le problème de contact est traitéen ajoutant une condition cinématique sur les vitesses. La démarche est appliquée sur un modèle simplifié depneumatique sur une chaussée sinusoïdale.Abstract :In this work, we propose a tire road contact model. The approach is based on convolution techniques. Greenfunctions of the tire are assumed known. It consists, at the first stage, on an approximation of the pre-calculatedGreen function on a series of modal contributions, the identified parameters are then used to construct a fastconvolution. The displacement is computed by a fast convolution between contact forces and Green functions.The contact problem is treated by adding a kinematic condition on velocity. The approach is applied to asimplified tire model on a sinusoidal roadway.Mots clefs : contact dynamique ; Convolution ; pneumatique-chaussée1 IntroductionLe contact pneumatique/chaussée représente la source principale du bruit de trafic routier, en particulier pourdes vitesses supérieures à 50 km/h. L’une des difficultés majeures de la modélisation de ce phénomène est laprise en compte de l’effort de contact dans le comportement dynamique du pneumatique. La complexité de lagéométrie du couple chaussée/pneumatique rend le problème difficile. Ce genre de problème est souvent traitéà l’aide de l’intégration temporelle en utilisant des approches basées soit sur la méthode de pénalisation[2] soitsur la méthode de multiplicateurs de Lagrange[1]. La plupart de ces méthodes sont souvent difficiles à mettreen oeuvre ou bien mènent à des calculs lourds. Les techniques de convolution peuvent être utilisées pour traiterce genre de problème. La réponse dynamique est calculée par un produit de convolution entre les fonctions deGreen du système dynamique et les forces de contact. Cette approche est largement utilisée dans la littérature[5, 3, 4, 6, 7, 8].La démarche que nous proposons dans ce travail est basée sur la décomposition de la fonction de Green dansune base modale. Les paramètres modaux identifiés sont ensuite utilisés pour construire une convolution plusrapide. Le contact est géré en utilisant les conditions de contact classique, puis en ajouttant une conditioncinématique sur les vitesses de déplacements.120ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 20112 Convolution rapideLa fonction de Green est supposée connue. L’idée est d’approximer cette fonction par une combinaison linéairede la contribution de chaque mode. Les paramètres modaux sont identifiés à l’aide de l’algorithme LSCE.G(ω)≈k=Nm∑k=1Ak−ω2 +2 jξkωωk +ω2k(1)Après avoir déterminé les paramètres modaux Ak, ωk et ξk et tronqué la décomposition à un ordre N, le dé-placement dans le domaine temporel peut être obtenu par une transformation de Fourier inverse de l’équation(1)g(t) =k=2Nm∑k=1Akωkde−ξkωktsin(ωdk t) (2)Avecωkd = ωk√1−ξ2kLe déplacement peut être calculé par un produit de convolutionu(t) =Z t0g(τ)q(t− τ)dτ =Z t0g(t− τ)q(τ)dτ (3)On remplace l’expression de g(t) dans l’équation (3), puis on sépare les variables t et τ , nous pouvons écrirele déplacement sous la formeu(t) =k=2Nm∑k=1Akωdke−ξkωkt[sin(ωdk t)αk(t)− cos(ωdk t)βk(t)] (4)où αk(t) et βk(t) sont calculés par les formulesαk(t) =Z t0eξkωkτcos(ωdk τ)q(τ)dτ (5)βk(t) =Z t0eξkωkτsin(ωdk τ)q(τ)dτ (6)3 Problème de contact3.1 Démarche généraleLes conditions classiques de contact sont données par les équation suivantesu(t) = ur(t) ; fc(t) > 0 (7)u(t) > ur(t) ; fc(t) = 0 (8)Où u(t) est le déplacement d’un point du système, ur(t) est l’amplitude du profile de la chaussée au mêmepoint et fc(t) la force de contact au même point. Le principe de calcul est détaillé ci-dessous :1. Premièrement, l’historique du déplacement uh(n∆t) est calculé en supposant que fc(n∆t) = 0.uh(n∆t) =k=N∑k=1Akωdke−ξkωkn∆t[sin(ωdk n∆t)αk((n−1)∆t)− cos(ωdk n∆t)βk((n−1)∆t)] (9)220ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 20112. L’historique du déplacement est comparé avec l’amplitude du profile de la chaussée.∆x(n∆t) = ur(n∆t)−uh(n∆t) (10)3. Si l’hypothèse de non contact (∆x < 0) est vérifiée, le déplacement est calculé par :u(n∆t) = uh(n∆t) (11)Ensuite, la même procédure est répétée pour le prochain pas de temps ( fc((n +1)∆t) = 0).4. Si ∆x ≥ 0, la force de contact est calculée par le principe de déconvolution détaillé dans la prochainesection.5. La même procédure est répétée pour le prochain pas de temps ( fc((n +1)∆t) = 0).3.2 DéconvolutionConnaissant la force et la fonction de Green dans le domaine temporel, le déplacement peut être calculé par unproduit de convolution :u(t) =Z t−∆t0g(t− τ)q(τ)dτ+Z tt−∆tg(t− τ)q(τ)dτ=Z t−∆t0g(t− τ)q(τ)dτ︸ ︷︷ ︸uh(t)+Z ∆t0g(τ)q(t− τ)dτ= uh(t)+Z ∆t0g(τ)q(t− τ)dτ (12)Si on dérive cette équation (12) on trouvev(t) = u′(t) =Z t−∆t0g′(t− τ)q(τ)dτ+Z tt−∆tg′(t− τ)q(τ)dτ=Z t−∆t0g′(t− τ)q(τ)dτ︸ ︷︷ ︸vh(t)+Z ∆t0g′(τ)q(t− τ)dτ= vh(t)+Z ∆t0g′(τ)q(t− τ)dτ (13)Notant Y = [u(t) v(t)]T et Yh = [uh(t) vh(t)]T , on peut écrireY = Yh +Ψ(q) (14)Où Ψ est un opérateur intégral qui traduit l’influence de la force de contact à l’instant t.Dans le cas où, il y a contact, le déplacement est imposé par le profile de la chaussée qui est supposé rigide.On suppose aussi que le point de contact suit la chaussée, ce qui peut être traduit par les conditions suivantes :u(t) = ur(t) ; v(t) =dur(t)dt (15)Sous la forme vectorielleY = Yr = [ur(t)dur(t)dt ]T (16)320ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011En utilisant la décomposition modale de la fonction de Green, on peut écrireu(t) =k=N∑k=1Akωdke−ξkωkt[sin(ωdk t)αk(t)− cos(ωdk t)βk(t)] (17)etv(t) = −k=N∑k=1Akξkωkωdke−ξkωkt[sin(ωdk t)αk(t)− cos(ωdk t)βk(t)]+k=N∑k=1Ake−ξkωkt[cos(ωdk t)αk(t)+ sin(ωdk t)βk(t)] (18)Les équations (17) et (18), peuvent s’écrire sous la forme matricielleY =k=N∑k=1Bkxk (19)oùxk = [αk(t) βk(t)]T (20)etBk = Ake−ξkωktsin(ωdk t)ωdk−cos(ωdk t)ωdkcos(ωdk t)−ξkωkωdksin(ωdk t)sin(ωdk t)+ ξkωkωdkcos(ωdk t) (21)Les conditions de contactYr = Yh +Ψ(q) (22)L’objectif est de calculer la force de contact qui vérifie à la fois ces deux conditions. La force de contact estreliée avec le déplacement par l’opérateur Ψ.∆Y = Yr−Yh =Z ∆t0g(t− τ)q(τ)dτZ ∆t0g′(t− τ)q(τ)dτ (23)Ces intégrales peuvent être calculées en utilisant deux points de Gauss. Les valeurs de la force de contact auxdeux points de Gauss sont calculées en inversant l’opérateur Ψ.q =[q1q2]= Ψ−1(t1,t2)∆Y (24)Cet opérateur est donné parΨ = g(t− t1) g(t− t2)g′(t− t1) g′(t− t2)∆t (25)où,g(t) =k=N∑k=1Akωdke−ξkωktsin(ωdk t) (26)420ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011Dans l’intervalle de temps [t t +∆t], la force de contact est la moyenne des valeurs de la force aux deux pointsde Gauss t1 et t2 qui sont définis part1 = t +(1−1√(3))∆t2; t2 = t +(1 +1√(3))∆t2(27)Connaissant les valeurs de la force de contact aux deux point de Gauss t1 and t2, on peut calculer les paramètresαk(t +∆t) et βk(t +∆t) par les équations de récurrence suivantesαk(t +∆t) = αkh(t)+eξkωkt1 cos(ωdkt1)q1 + eξkωkt2cos(ωdkt2)q22∆t (28)βk(t +∆t) = βkh(t)+ eξkωkt1 sin(ωdk t1)q1 + eξkωkt2sin(ωdk t2)q22∆t (29)4 ApplicationLa modélisation d’un pneumatique réel avec tous les détails est très complexe. Dans la littérature, le modèled’anneau circulaire sous fondation élastique est souvent adopté pour modéliser un pneumatique dans les bassesfréquence [0 500Hz] . Dans ce modèle la bande de roulement est modélisée par une poutre de Bernoulli, lespropriétés élastiques du flanc et de la jante sont modélisées par des ressorts [9].On suppose que la ligne de contact contient cinq points. La matrice des fonctions de Green est alors de taille5x5, les figures 1 et 2 montrent respectivement les déplacements et les forces de contact de ces cinq points decontact.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−2−1012345678x 10−3Displacement[m]Time [s]FIG. 1 – Déplacement des différents points de contact5 ConclusionUne nouvelle formulation de contact dynamique entre pneumatique et chaussée a été présentée. Le formalismea deux avantages : premièrement sa rapidité en utilisant une convolution basée sur une décomposition modale.Deuxièmement, l’introduction de la condition cinématique de contact facilite le calcul des efforts de contact.La méthode a été appliquée dans le cas d’un modèle simplifié de pneumatique sur une chaussée sinusoïdale,elle peut être encore plus avantageuse en terme de temps de calcul dans le cas d’un pneumatique réel sur unechaussée réelle.Références[1] K.J. Bathe and A.B. Chaudhary. A solution method for planar and axisymmetric contact problems.International Journal for Numerical Methods in Engineering, 21 :65–88, 1985.520ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 20110 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10246810121416Forces[N]Time [s]FIG. 2 – Forces de contact aux différents points de contact[2] Y. Kanto and G. Yakwa. A dynamic contact buckling analysis by the penalty finite element method.International Journal for Numerical Methods in Engineering, 29 :755–774, 1990.[3] M. McIntyre, R. Schumacher, and J. Woodhouse. On the oscillations of musical instruments. Journal ofthe Acoustical Society of America, 74 :1325–1345, 1983.[4] C. Wang and J. Kim. New analysis method for a thin beam impacting against a stop based on the fullcontinuous mode. Journal of Sound and Vibation, 191 :809–823, 1996.[5] A. Nordborg. Wheel/rail noise generation due to nonlinear effects and parametric excitation. Journal ofthe Acoustical Society of America, 111 :1772–1781, 2002.[6] W. Kropp. A model to describe the rolling noise of a smooth radial tire on a rough road surface. PhDthesis, T. U. Berlin, 1992.[7] K. Larsson. Modelling of dynamic contact-exemplified on tire/road interaction. PhD thesis, ChalmersUniversity of Technology, Goteborg, Sweden, 2002.[8] P.B.U. Andersson and W. Kropp. Time domain contact model for tyre/road interaction including nonlinearcontact stiffness due to small-scale roughness. Journal of Sound and Vibration, pages 296–312, 2008.[9] R. Meftah, D. Duhamel, J. Cesbron, F. Anfosso-Lédée, H. Yin, and P. Argoul. Efficient computation oftire/road contact forces using an ARMA model of the Green function. In XVIIth Symposium Vibrations,Chocs and Bruit, Ecole Centrale de Lyon, 2010.6

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Modèle de contact dynamique pneumatique/chaussée basé sur les fonctions de Green

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