Le modèle repose sur les intégrales de

            contour; il permet de déterminer l'angle de bifurcation des fissures sous chargements

            spécifiques. Nous présenterons l'application intégrée dans Abaqus, permettant de

            calculer la durée de vie de joints mécano-soudés. L’intérêt est de fournir un outil dont

            nous maîtrisons les hypothèses et le calcul, et de diminuer les coûts d'achats de

            licences pour l'entreprise

LANGLET, André

LEBAILLIF, David

RANDRIANANGALY, Isabelle

SAFONT, Ophélie

French

I-Revues

19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  1
Etude de la propagation bidimensionnelle de fissures 
O. SAFONTa,b, D. LEBAILLIF b, I. RANDRIANANGALY b, A. LANGLET a 
a. Institut PRISME-Risques, Explosions, Structures/Université d'Orléans,63 avenue de Lattre de Tassigny 
18020 Bourges Cedex 
b. Nexter Systems, 7 route de Guerry 18000 Bourges 
Résumé :  
On étudie la propagation bidimensionnelle de fissure  dans le but de prévoir la durée de vie de joints 
mécano-soudés. Le modèle développé repose sur les intégrales de contour ; il permet en particulier de 
déterminer l'angle de bifurcation de la fissure sou certains chargements statiques donnés. Le modèle est 
intégré dans le code de calcul ABAQUS. L’influence de la plasticité n’est pas traitée dans cette 
communication. Nous présenterons l'application qui permet d'inclure des fissures dans le maillage d’une  
pièce mécanique et de simuler leurs propagations. L'intérêt de ce modèle est de fournir un outil dont nous 
maîtrisons parfaitement les hypothèses et le calcul, (il n'y a pas de « boîtes noires ») et d'autre part, de 
diminuer les coûts d'achats de licences pour l'entreprise. 
Mots clefs : fissuration, maillage itératif, finis, soudures. 
Abstract : 
We study  the propagation of cracks in order to forecast the lifetime of welded complex structures. The
proposed model is based on the evaluation of contour integrals ; it allows to determine the crack 
propagation direction under some given types of static loading. This model is integrated in the finite el ment 
code ABAQUS.The influence of plasticity is not considered in this paper. We will present the application 
which is designed to integrate cracks in the mesh of a mechanical structure and to simulate their 
propagation. The aim of this model is to provide a tool, based on perfectly known hypothesis and to decrease 
the cost of the software license for the company. 
Key words : crack, iterative mesh, welded structure. 
 
1 Introduction 
 
L'étude de la propagation de fissures est un problème fondamental dans l'étude de la durée de vie d'une 
structure. Elle repose sur les principes de la mécanique de la rupture, notamment par le calcul du facteur 
d'intensité de contrainte, qui lui-même permet de déterminer l'angle de bifurcation de la fissure. Ainsi il est 
possible de prévoir le chemin d'une fissure au cours des cycles de chargement appliqués à la structure. Le 
calcul du facteur d'intensité de contraintes repose ici sur la détermination de l'énergie nécessaire pour que la 
fissure puisse se propager. La méthode utilisée est celle des intégrales de contour. 
Lors d'une résolution par la méthode des éléments fi i , le calcul des intégrales de contour nécessite un 
maillage particulier, pouvant s’adapter pour suivre la progression de la fissure. 
L’objet de ce travail est de proposer une méthode d’intégration de ce maillage spécifique dans un maillage 
existant, puis de calculer les intégrales de contour permettant d’obtenir les facteurs d’intensité de contraintes 
et l’angle de bifurcation de fissure.  
 
 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  2
     
2 Calcul du facteur d'intensité de contraintes 
 
Les facteurs d'intensité de contraintes sont définis à partir du taux de restitution d'énergie J. Une partie de 
l'énergie élastique, intJ , est évaluée sur un contour Γ  entourant la fissure (figure 1). 
 ∫Γ ∂
∂−= ds
x
v
TWdyJ
r
r
int  (1) 
où : W est la densité de l’énergie élastique de déformation, T
r
 le vecteur contrainte en un point et v
r
 le 
vecteur déplacement au même point. 
Les facteurs d'intensité de contraintes (FIC), dans les différents modes de sollicitations, sont reliés aux taux 
de restitution d'énergie par les relations : 
 KBKJ
T 1
8
1 −
π=  (2) 
 int4 BJK π=  (3) 
avec B  la matrice des facteurs énergétiques, et : 
 










=
III
II
I
K
K
K
K
00
00
00
 (4) 
la matrice des facteurs d'intensité de contraintes, où les indices I, II  et III  désignent respectivement : le mode 
par ouverture, le mode de glissement de translation, et le mode de glissement de rotation. 
Γ
x
y
Fissure
n
r
t
r
                        
x
y
Pointe de
la fissure
θ
u
v
r
 
FIG. 1 – Schéma de calcul d'intégrale de contour et coordonnées en pointe de fissure. 
 
Dans ce qui suit, avec l'hypothèse des contraintes planes et en présence d'un matériau homogène et isotrope, 
on obtient: 
 222
1
)(
1
IIIIII KE
KK
E
J
υ+++=   (5) 
Avec : E module d'Young et υ  coefficient de Poisson du matériau. 
Afin d'obtenir indépendamment les coefficients d'intensité de contraintes dans les différents modes, on 
applique des méthodes de découplage qui permettent de décomposer les grandeurs énergétiques liées aux 
modes I, II  et III , d'où: 
 IIIIII JJJJ ++=  avec E
K
J II
2
= , 
E
K
J IIII
2
= et 21 IIIIII KE
J
υ+=  (6) 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  3
Ce calcul de facteur d'intensité de contraintes est réalisé sur des matériaux linéaires, il ne prend donc pas en 
compte la plasticité du matériau. 
 
3 Calcul de l'angle de bifurcation de la fissure 
 
Pour déterminer le chemin de fissuration, on utilise e critère de la contrainte circonférentielle maximale, 
selon lequel, la direction de propagation de la fissure est perpendiculaire à la direction θ  telle que : 
 
 0=
∂
∂
θ
σθθ  (7) 
où : 
 )]
2
3
sin
2
(sin3)
2
3
cos
2
(cos[
24
1 θθθθ
π
σθθ +−+= III KK
r
 (8) 
 
représente les contraintes circonférentielles,  avec r et θ  les coordonnées polaires à la pointe de la fissure. 
L'angle de bifurcation θf au cours de la propagation est alors obtenu: 
 
 8/
4
1
4
1)2/tan(
22 +±=θ III
II
I
f KKK
K
 (9) 
 
4 Procédure de calcul 
 
La mécanique de la rupture suppose la présence d'un défaut initial, à partir duquel la fissure va pouvir 
s'amorcer. Ce défaut peut être un trou, une inclusion dans le matériau, ou une imperfection due au procédé de 
fabrication, qui engendre des sur-contraintes locales. 
Au préalable du calcul de fissuration, il est nécessaire de déterminer les zones de la structure susceptibles de 
subir un dommage important. Les zones susceptibles d'être endommagées sont alors maillées plus finement. 
La localisation et l'amorçage de la fissure ne sontpas traités dans cet article. 
Les types de défauts existants et à prendre en compte dans le calcul de la durée de vie des assemblages sont: 
l'alignement (linéaire ou angulaire), les caniveaux, les soufflures et cavités, les inclusions solides, l  manque 
de pénétration ou de fusion, le rayon de raccordement. Ces défauts vont pouvoir être modélisés et pris en 
compte dans le calcul par éléments finis. 
La procédure développée permet: d'intégrer plusieur fissures ; de remailler la structure localement ; de 
réaliser un couplage du programme de remaillage avec un code de calcul (ici ABAQUS) ; de déterminer le 
facteur d'intensité de contrainte de la longueur de la fissure en utilisant la théorie des intégrales d  contour; 
de déterminer la direction de la fissure. 
En ce qui concerne le calcul de la propagation de la fissure, la nécessité est de déterminer les grandeurs 
caractéristiques de la mécanique de la rupture permettant d'évaluer la cinétique de la propagation. 
Le calcul linéaire de la fissuration suppose que la direction initiale de la fissure soit connue au préalable 
(donnée d'entrée). 
Pour résoudre ce problème de propagation de fissure, nous allons intégrer des fissures de manière 
automatique dans un maillage. 
On considère une structure mécanique dont on souhaite connaître la durée de vie et prévoir l'évolution des 
défauts. Pratiquement, afin de déterminer la vitesse et la direction de propagation de la fissure, il faut 
calculer les facteurs d'intensité de contraintes en chaque pointe de fissure. Comme ce calcul dépend d la 
longueur de la fissure, il est nécessaire d'itérer sur la longueur de la fissure afin d'obtenir l'évoluti n de ces 
facteurs au cours de la propagation. Ceci implique un remaillage itératif. La méthode développée permet de 
rendre automatique le remaillage itératif. 
Au départ du calcul, le voisinage de la fissure est r maillé par des éléments spécifiques. On distingue trois 
zones dans le maillage de la figure 2.  
 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  4
 
FIG. 2 – Remaillage autour d'une fissure 
La zone A, dénommée « boite à fissure », correspond à un maillage régulier et spécifique, dans lequel la 
pointe de la fissure est modélisée au moyen d'éléments quadratiques quadrangulaires, dégénérés en triangles. 
Ce remaillage est intégré dans le programme établi. Le contour Γ des intégrales intJ  (1) est toujours défini 
dans la zone A. Il est possible de définir autant de contours que nécessaire pour s’assurer de la convergence 
des intégrales. 
La zone B, est la zone de transition entre la boite à fissure et l  maillage initial. C'est un maillage composé 
d'éléments triangulaires optimisés linéaires. Ce maillage est obtenu en utilisant une procédure de 
triangulation de Delaunay, développée en langage FORTRAN. Ces éléments permettent de connecter le 
maillage spécifique de la pointe de la fissure au millage initial (zone C). 
La zone C, correspond au maillage global de la structure. C'est un maillage quadrangulaire classique. En 
effet, il n'est pas nécessaire de remailler l'intégralité de la structure au cours de la propagation de la fissure. 
 
Dans le cadre de cette étude, la technique de la « Boîte à Fissure » a été implémentée dans le code de calcul 
ABAQUS. Elle consiste à: 
• Mailler les trois zones A, B et C pour la fissure initiale 
• Réaliser un calcul par éléments finis pour déterminer l'angle de bifurcation 
• Incrémenter la longueur de la fissure et lier au reste de la structure 
• Réaliser un nouveau calcul par éléments finis et ainsi de suite. 
 
 
5 Résultats 
 
Le calcul a été validé en appliquant la procédure s des éprouvettes simples et répertoriées, pour lesquelles 
le facteur d'intensité de contraintes associé à un type de fissure donnée est connu. Les références choi ies [1] 
fournissent des facteurs d’intensité de contraintes calculés dans le domaine élastique. Pour cette raison, la 
vérification de la procédure du calcul numérique est r treinte aux contraintes élastique. 
Considérons dans un premier temps une éprouvette rectangulaire au centre de laquelle existe une fissure de 
longueur a  orientée parallèlement à l’axe transversal y de l’éprouvette. Les dimensions de l’éprouvette sont :  
longueur 2002 =H mm, largeur 100=L mm, épaisseur 1=h mm. On note : La /2=α  et LH /2=β . 
L'éprouvette est soumise à une contrainte axiale 100=σxx  MPa constante à partir de l'instant 0=t . La 
figure 3 montre la fissure à différents stades, incluant le maillage spécifique pour le calcul des facteurs 
d’intensité de contraintes. Les nuances de gris représ ntent les contraintes de Von-Mises toujours inférieures 
ici à la contrainte seuil. 
Pour le mode I, le facteur d'intensité de contrainte IK  est donné par [1] :  
 
 ),( βαπσ= IxxI FaK   (10) 
 
(A) boîte à fissure 
(B) zone de transition 
(C) maillage initial 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  5
      
x
 
FIG. 3 – Visualisation d'une propagation de fissure 
 
 
Les valeurs IK  de référence sont calculées à partir de celles des IF  données dans [1]. On compare ensuite, 
tableau 1, ces valeurs IK  de référence avec les valeurs de IK calculés selon (5) et (6). On vérifie ainsi 
l’évaluation correcte des énergies et des intégrales de contour par la méthode de discrétisation décrite au §3. 
On note que l'écart entre le calcul théorique et le calcul numérique est inférieur à 1%. On peut en conclure 
que pour cet exemple le programme est valide. 
 
Longueur a de la 
fissure (mm) 
IK  
de référence 
[1] 
IK calculé en pointe droite 
de la fissure 
IK calculé en pointe 
gauche de la fissure 
Ecart (%) 
moyen 
15 486.863 490.25 490.15 0.68 
18 543.009 540.50 540.50 0.46 
21 590.595 588.20 588.20 0.41 
24 637.451 634.80 635.00 0.4 
27 682.566 680.65 680.75 0.27 
35 803.383 801.30 801.40 0.25 
50 1051.95 1054.00 1054.00 0.19 
70 1560.32 1569.50 1568.50 0.56 
 
TAB. 1 – Récapitulatif des valeurs des facteurs d'intensité de contraintes 
Considérons, dans un deuxième temps, les facteurs d'intensité de contraintes pour une fissure oblique 
débouchante, ce qui nous permet de tester notre modèle en mode mixte (mode I et mode II). Pour cela, nous 
avons utilisé une nouvelle fois une éprouvette répertoriée [1] afin de vérifier la cohérence de nos résultats. 
Nous considérons une éprouvette rectangulaire de longueur 200 mm et de largeur 100 mm soumise à une 
contrainte axiale 100=σxx  MPa constante, avec une fissure de longueur a et d'inclinaison 45°. 
Dans ce cas, les facteurs d'intensité de contraintes IK  et IIK  sont donnés par : 
 
 IxxI FaK πσ=        IIxxII FaK πσ=  (11) 
 
avec, pour un angle de 45° : FI = 7.050 et FII = 0.3644 . 
 
 
 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  6
Longueur 
a de la fissure 
(mm) 
IK  
référence  
IK  
 en pointe de 
la fissure 
 
Ecart moyen 
(%) 
 
IIK  
référence 
IIK  
en pointe de 
la fissure 
 
Ecart moyen 
(%) 
 
7.5 342.212 341.9 0.09 176.882 167.2 5.85 
10 395.152 401 1.48 204.246 194.1 5.21 
15 483.960 506.3 4.59 250.149 247.1 1.22 
17.5 522.737 557.5 6.65 270.192 271.4 0.09 
 
TAB. 2 – Récapitulatif des valeurs des facteurs d'intensité de contraintes 
 
Pour cet exemple, on note des écarts entre théorie et calcul numérique plus important que pour la fissure non 
débouchante. En mode I, on remarque que plus la fissure est grande plus l'écart avec la théorie est grand. 
Ceci peut s'expliquer par le fait que le modèle de référence est un modèle de fissure débouchante dans un 
plan semi-infini alors que nous travaillons sur une éprouvette finie. Or plus la fissure est grande plus la 
pointe de fissure se rapproche des bords de l’éprouvette. En mode II, l'écart de 5% pour les petites fis ures 
peut s'expliquer par le fait que le maillage en pointe de fissure est quadratique, or pour une meilleure 
convergence des résultats, on ne devrait pas placer les nœuds au milieu des éléments mais au quart. Il est 
également possible que la discrétisation des conditi s aux limites numériques ne restituent pas exactment 
celle sur du modèle de référence. Les résultats donnés par le programme restent tout de même très proches de 
ceux établis par la théorie. 
 
6 Conclusion 
 
Cette communication a pour but de présenter une méthode spécifique pour traiter la propagation de fissure. 
L’outil qui a été élaboré permet de mettre en place un maillage capable de s’adapter à la propagation de la 
fissure (figure 2). De plus, ce maillage s’intègre dans un maillage existant, ce qui permet de modéliser 
l’endommagement d’une structure complète. Le voisinage de la pointe de fissure est maillé par des éléments 
spécifiques. C’est dans cette zone que sont calculées les intégrales de contour. Une transition avec le 
maillage initial de la structure est assurée par une triangulation de Delaunay. L’ensemble est dynamique, car 
les maillages de la pointe de fissure et de la zone de transition, doivent  être actualisés en fonctio de la 
progression de la fissure. 
Des calculs ont été réalisés sur des cordons de soudure, des essais vont être mis en œuvre afin de vérifier la 
propagation de fissures entre calcul et réalité. 
L’étape à venir est l’intégration de cet outil permttant de tenir compte du comportement non linéaire l’étude 
des structures soumises à des chargements dynamiques (résultant de couplages). 
Cet outil permet de compléter les outils de calculs ommerciaux en maîtrisant les hypothèses de calculs et de 
discrétisation. Il est déjà appliqué aux structures mécano-soudées bi-dimensionnelles, car les soudures sont 
des zones vulnérables, le plus souvent déterminantes pour la durée de vie de la structure mécanique. 
 
References  
 
 [1] Y. Murakami, Stress Intensity Handbook, Volume 1, Pergamon Press, 1990. 
 
 
 


Propagation bidimensionnelle de fissures

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/37142/1/866.pdf

Propagation bidimensionnelle de fissures

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues