Nous considérons ici le mélange de scalaires passifs dans un cadre Lagrangien. Nous nous plaçons dans le contexte de la turbulence homogène et isotrope, et considérons la zone inertielle convective. L'approche de Kolmogorov 1941 a été généralisée dans un cadre Lagrangien pour la vitesse par Landau, et pour un scalaire passif par Inoue. L'intermittence Lagrangienne peut être caractérisée en utilisant des exposants d'invariance d'échelle pour les fonctions de structure, pour le champ de vitesse ou de scalaire passif. Dans le cadre de différentes hypothèses théoriques, nous relions ces exposants Lagrangiens de scalaire passif aux exposants Eulériens: exposants pour les scalaires passifs, et exposants joints pour les fonctions de structure. Quatre différentes relations sont obtenues, qui sont comparées entre elles, et comparées également à des données de turbulence marine obtenues à l'aide d'une bouée de petite taille sur laquelle était fixé un capteur miniature

SCHMITT, François G.

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Intermittence Lagrangienne de scalaires passifs : étude des lois d’échelle
multifractales
François G. Schmitt
CNRS, Lab. ELICO, FRE 2816, Station Marine de Wimereux,
Université des Sciences et Technologies de Lille- Lille 1, 28 av. Foch, 62930 Wimereux, France
francois.schmitt@univ-lille1.fr
Résumé :
Pour de nombreuses applications, comme par exemple l’océanologie, une bonne description des propriétés de
mélange est importante. Nous considérons ici cette question dans un cadre Lagrangien. Nous nous plaçons dans
le contexte de la turbulence homogène et isotrope, et considérons la zone inertielle convective, qui est associée
à de grands nombres de Reynolds et de Péclet. L’approche de Kolmogorov 1941 proposée à l’origine pour la
vitesse Eulérienne, a été généralisée dans un cadre Lagrangien pour la vitesse par Landau, et pour un scalaire
passif par Inoue. A la suite de développements intervenus pour l’intermittence du champ de vitesse Eulérien,
l’intermittence Lagrangienne peut être caractérisée en utilisant des exposants d’invariance d’échelle pour les
fonctions de structure, pour le champ de vitesse ou de scalaire passif. Dans le cadre de différentes hypothèses
théoriques, nous relions ces exposants Lagrangiens de scalaire passif aux exposants Eulériens : exposants pour
les scalaires passifs, et exposants pour les fonctions de structure, dites “mixed”. Quatre différentes relations sont
obtenues, qui sont comparées entre elles.
Abstract :
We consider here mixing properties of fully developed turbulence, in the inertial convective subrange, characterized
by high Reynolds and Peclet numbers. Intermittency is a basic feature of fully developed turbulence, for both
velocity and passive scalars. Intermittency is classically characterized by Eulerian scaling exponent of structure
functions. The same approach can be used in a Lagrangian framework to characterize the temporal intermittency
of the velocity and passive scalar concentration of a an element of fluid advected by a turbulent intermittent field.
Here we focus on Lagrangian passive scalar scaling exponents, and discuss their possible links with Eulerian
passive scalar and mixed velocity-passive scalar structure functions. We provide different transformations between
these scaling exponents, associated to different transformations linking space and time scales. We obtain four new
explicit relations.
Mots-clefs :
Fully developed turbulence ; Intermittency ; Lagrange ; Passive scalars
1 Introduction : lois d’échelle pour la turbulence de scalaires passifs
De nombreuses applications demandent une bonne description, compréhension et prédiction1
des propriétés de mélange de scalaires passifs par la turbulence : c’est le cas par exemple pour2
la dispersion en océanologie et météorologie, pour les études de combustion ou d’ingénérie3
chimique. Nous considérons ici les régimes invariants d’échelles obtenus pour la turbulence de4
scalaire passif, dans un contexte de turbulence homogène et isotrope. Nous abordons la ques-5
tion des lois d’échelle Lagrangiennes, et de leur lien avec les lois d’échelles Eulériennes. Cette6
première section rappelle les lois d’échelle pour la turbulence Eulérienne et Lagrangienne ; la7
section suivante aborde l’intermittence et le cadre multifractal ; les relations théoriques permet-8
tant de relier les exposants sont décrites. La dernière section mentionne les résulats obenus dans9
le domaine de la validation expérimentale de ces lois théoriques.10
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Comme les scalaires passifs sont advectés par le champ de vitesse, nous rappelons également
ici les lois d’échelle de la vitesse, qui serviront par la suite. Pour des échelles appartenant
au régime inertiel, nous notons ∆U` = |U(x + `) − U(x)| et ∆θ` = |θ(x + `) − θ(x)| les
incréments du champ de vitesse et de scalaire passif Eulériens à une échelle `. Nous avons la
loi de Kolmogorov (1941) et de Obukhov-Corrsin pour les scalaires passifs (Obukhov, 1949;
Corrsin, 1951) :
∆U` ∼ 1/3`1/3; ∆θ` ∼ −1/6χ1/3`1/3 (1)
où  est la dissipation, χ = Γθ〈|∇θ|2〉 est la dissipation de variance de scalaire et Γθ est la11
diffusivité scalaire.12
Dans le cadre Lagrangien, nous notons V (x0, t) et Θ(x0, t) la vitesse et la concentration de
scalaire passif d’un élément de fluide au temps t, initialement à une position x(0) = x0. Dans
la suite, nous notons ceci V (t) et Θ(t) par homogénéité. Des lois d’échelles ont été également
proposées pour les incréments temporels∆Vτ = |V (t+τ)−V (t)| et∆Θτ = |Θ(t+τ)−Θ(t)|.
Ceci donne la relation de Landau pour la vitesse (Landau et Lifshitz, 1944) et celle de Inoue
pour les scalaires passifs (Inoue, 1952) :
∆Vτ ∼ 1/2τ 1/2; ∆Θτ ∼ χ1/2τ 1/2 (2)
Notons que les spectres Eulériens sont de la forme E(k) ∼ k−5/3 pour la vitesse et les scalaires13
passifs (k est le nombre d’onde), tandis que pour les champs Lagrangiens, le spectre présente14
un exposant différent : E(f) ∼ f−2 pour la vitesse et les scalaires passifs (f est la fréquence).15
Ici ces lois d’échelles dans le temps et dans l’espace ont supposé des valeurs constantes et16
homogènes (à petite échelle) de  et χ. En fait ces quantités sont hautement fluctuantes, corres-17
pondant à la propriété d’intermittence de la turbulence (voir par exemple Frisch (1995) et Livi18
et Vulpiani (2003)). Les lois d’échelles sont alors généralisées dans la section suivante.19
2 Intermittence Eulérienne et Lagrangienne, et fonctions multifractales20
2.1 Intermittence Eulérienne et Lagrangienne de scalaires passifs21
Pour la turbulence Eulérienne, les corrections intermittentes aux lois de Kolmogorov et
Obukhov-Corrsin sont maintenant classiques. Dans la zone inertielle, les fluctuations de ∆U`
et ∆θ` sont caractérisées à l’aide des fonctions invariantes d’échelles ζu(q) et ζθ(q) (voir par
exemple Frisch (1995); Livi et Vulpiani (2003); Schertzer et al. (1997)) :
〈(∆U`)q〉 ∼ `ζu(q) ; 〈(∆θ`)q〉 ∼ `ζθ(q) (3)
où q est le moment. Le cas non-intermittent correspond à ζu(q) = q/3 et ζθ(q) = q/3. Pour22
la turbulence intermittente, ces fonctions sont des fonctions génératrices de cumulants, et sont23
non-linéaires et concaves. Dans les équations (1), les dissipations  et χ sont remplacées par des24
flux aléatoires à l’échelle `, ` et χ`. Pour la vitesse, le moment d’ordre 3 ne présente pas de25
correction intermittente (ζu(3) = 1), tandis que pour les scalaires passifs il n’y a pas de telle loi,26
en raison d’un produit non-linéaire entre les deux flux ` et χ` dans l’Eq.(1). De nombreuses27
études expérimentales ont fourni des valeurs pour ζθ(q) : la Figure 1 montre certaines de ces28
courbes (Antonia et al., 1984; Ruiz-Chavarria et al., 1996; Schmitt et al., 1996; Boratav et29
Pelz, 1998; Xu et al., 2000; Moisy et al., 2001; Gylfason et Warhaft, 2004; Watanabe et Gotoh,30
2004). On constate une assez bonne stabilité de ζθ(q) pour q ≤ 4. comme nous aurons besoin31
ci-dessous d’une courbe moyenne, nous estimons des valeurs moyennes de ζθ(q) pour q entre 132
et 8. Ceci est représenté en Fig. 1 sous forme d’une courbe continue.33
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 1 – La fonction Eulérienne pour les scalaires
passifs ζθ(q) estimée par différents auteurs, et un
ajustement moyen.
FIG. 2 – La fonction jointe vitesse-température
ζm(q) estimée par plusieurs auteurs.
Nous considérons aussi les fonctions de structure jointes (“mixed”) vitesse-température,
introduites par Antonia et Van Atta (1975) :
〈∆θ2q` ∆U q` 〉 ∼ `ζm(3q) (4)
Ce choix des moments présente l’avantage de ne faire apparaître que le flux de variance de sca-34
laire passif, permettant d’obtenir la relation théorique ζm(3) = 1. Les valeurs expérimentales35
de ζm(q) pour certains moments q ont été reportées dans différentes publications correspon-36
dant à des situations expérimentales et numériques assez diverses (Schmitt et al., 1996; Pinton37
et al., 1998; Lévêque et al., 1999; Xu et al., 2000), et représentées en Figure 2. On constate38
une certaine universalité ; on voit également que les valeurs provenant de Schmitt et al. (1996)39
sont assez proches des autres valeurs ; dans la suite ces valeurs numériques sont utilisées pour40
représenter une tendance moyenne de ζm(q) jusqu’aux moments d’ordre 6.41
Dans le cadre Lagrangien, la situation est plus simple, puisque la loi de Inoue (Eq.(2)) peut
être généralisée pour tenir compte de l’intermittence en utilisant seulement le flux de variance
de scalaire passif (noté ϕτ dans le cadre Lagrangien), ce qui donne∆Θτ ∼ ϕ1/2τ τ 1/2. L’équation
(2) a été généralisée par Novikov, ce qui donne (Novikov, 1989) :
〈∆Θqτ 〉 ∼ τ ξθ(q) (5)
Sans intermittence, on aurait ici ξθ(q) = q/2, tandis que dans le cas général, ξθ(q) est non-42
linéaire et concave. On vérifie également pour q = 2 : ξθ(2) = 1, ce qui montre qu’il n’y a pas de43
correction intermittente pour le spectre d’énergie. Dans la suite, nous nous occupons à discuter44
de la relation pouvant exister entre l’exposant Lagrangien ξθ(q) et les exposants Eulériens ζm(q)45
et ζθ(q).46
3
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FIG. 3 – Les courbes ξθ(q) obtenues à partir des valeurs
expérimentales de ζθ(q) et ζm(q) associées à quatre dif-
férentes relations théoriques (lignes pointillées). Les es-
timations expérimentales sont également représentées
(points noirs).
FIG. 4 – Invariance d’échelle relative des mo-
ments Lagrangiens : on constate des lois d’éche-
lels très bien suivies. Moment d’ordre q = 1, 3, 4,
5.
2.2 Relations théoriques entre les exposants multifractals Eulériens et Lagrangiens47
Nous avons récemment obtenu quatre relations théoriques reliant ζθ(q) et ζm(q) à la fonction
Lagrangienne ξθ(q) , à partir de différentes hypothèses Schmitt (2005). Toutes ces relations
vérifient ξθ(2) = 1, mais diffèrent pour les autres moments. Nous ne fournissons ici que les
quatre relations théoriques elles-mêmes ; pour les descriptions des hypothèses et méthodes voir
la référence d’origine (Schmitt, 2005). La première relation suppose un “temps caractéristique”
pour la décorrélation des tourbillons, et une relation temps-espace non intermittente :
ξΘ(q) =
3
2
ζθ(q) Cas I (6)
Le second choix correspondait à supposer une relation “ergodique” correspondant à une égalité
entre les statistiques du flux de scalaire passif dans les cadres Eulérien et Lagrangien, tout en
conservant également la relation temps-espace non intermittente :
ξΘ(q) =
3
2
ζm
(
3q
2
)
− q
4
Cas II (7)
Les deux dernières relations ont été obtenues en supposant une relation temps-espace intermit-
tente, et d’un côté la relation utilisant les temps caractéristiques (cas III) et de l’autre la relation
ergodique (cas IV) :
ξΘ(q) = ζm(q0) Case III (8)
q
2
=
2q0
3
− ζm(q0) (9)
ξΘ(q) = ζθ(q0) Case IV (10)
q = q0 − 2ζθ(q0) (11)
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Les relations correspondant aux Cas I et II sont linéaires, et celles correspondant aux Cas III48
et IV sont fortement non-linéaires : une valeur donnée de q est associée à une valeur de q049
donnée en utilisant la seconde ligne, et la valeur de ξΘ(q) est donnée par la première ligne.50
Les quatre courbes sont représentées en Figure 3, avec des résultats expérimentaux dont nous51
parlons plus loin. Pour les Cas I et IV, nous avons utilisé pour les exposants Eulériens les valeurs52
moyennes expérimentales mentionnées plus haut (Fig. 1). Pour les Cas II et III, correspondant53
à une prédiction des exposants Lagrangiens à l’aide des exposants joints ζm(q) (Fig. 2), nous54
avons considéré les valeurs estimées dans Schmitt et al. (1996), qui sont proches des autres55
valeurs de la litérature. les Cas I à III sont très proches pour les moments faibles, ce qui peut56
être compris par le fait que les effets de l’intermittence ne sont manifestes que pour les moments57
élevés. On peut d’ailleurs remarque que les courbes correspondantes sont nettement différentes58
pour les moments plus élevés. La déviation non-linéaire est plus forte pour les Cas I et II, ce qui59
peut indiquer que prendre en compte l’intermittence dans la relation temps-espace peut réduire60
l’intermittence apparente dans les exposants Lagrangiens. La quatrième prediction (Cas IV) se61
démarque nettement des précédentes, sauf pour le point fixe ζθ(2) = 1. Ceci pourrait être une62
conséquence de l’hypothèse additionnelle qui est nécessaire pour obtenir cette dernière relation63
(voir Schmitt (2005)).64
3 Des résultats expérimentaux : données marines Lagrangiennes de scalaire passif65
Nous considérons ici des données expérimentales Lagrangiennes. Pour cela nous utilisons
un capteur miniature de température marine (Alec Electronics, model MDS MkV/T). Ce cap-
teur est un petit cylindre de 8 cm de long et 18 mm de diamètre, pesant 50 g. Sa fréquence
d’échantillonnage est de 1 Hz, et il peut être utilisé en autonomie grâce à une batterie lithium.
Nous avons placé ce capteur sur une petite bouée (diamètre 0.5 m). Nous montrons ici les ré-
sultats obtenus à partir de l’enregistrement de 2 séries temporelles d’une durée totale de 80 et
50 minutes, effectué le 6 juin 2006, en Manche orientale, au large de Wimereux. Le spectre
d’énergie obtenu est invariant d’échelle sur toute la gamme, avec une pente spectrale de −2
comme prévu théoriquement (non représenté). Les fonctions de structure ont été estimées en
Lagrangien ; pour avoir une meilleure précision, la méthode ESS (Extended Self Similarity) a
été utilisée. Cette méthode, introduite en turbulence de vitesse Eulérienne (Benzi et al., 1993),
consiste à considérer les moments d’ordre q en fonction des moments d’ordre p ; ici les moments
relatifs d’ordre q sont représentés en fonction du moment d’ordre 2 :
〈∆Θqτ 〉 ∼
(〈∆Θ2τ 〉)ξθ(q) (12)
Les exposants ξθ(q) estimés par cette méthode sont assez précis étant donné les nettes lois de66
puissance qui sont obtenues expérimentalement jusqu’à des échelles temporelles de l’ordre de67
4 s (Fig. 4). Nous obtenons de cette façon les valeurs expérimentales suivantes : ξθ(1) = 0.54,68
ξθ(3) = 1.39, ξθ(4) = 1.73, et ξθ(5) = 2.02. En raison du nombre relativement faible de don-69
nées disponibles ici, nous n’explorons pas les moments d’ordre supérieurs. On peut considérer70
que le Cas III est le plus proche des données expérimentales ; mais pour les moments supérieurs71
à 3, l’ajustement théorique s’éloigne des données. Il faudra sans doute de plus grandes bases de72
données pour confirmer ce résultat.73
Références74
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
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6


Intermittence lagrangienne de scalaires passifs: étude des lois d'échelle multifractales

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16526/1/CFM2007-0273.pdf

Intermittence lagrangienne de scalaires passifs: étude des lois d'échelle multifractales

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