Nous présentons une étude paramétrique de la résistance au cisaillement d'un milieu granulaire cohésif simulé par la méthode de dynamique des contacts. Cette étude est basée sur un modèle de cohésion qui tient compte de la résistance à la traction, au glissement, et au roulement dans les contacts entre les particules. La résistance macroscopique est évaluée par la compression biaxiale des échantillons numériques comportant plusieurs milliers de particules en deux dimensions. Nos résultats suggèrent que : 1) l'angle de frottement interne peut être vu comme la somme de trois contributions : une géométrique, une frictionnelle, et une associée à la dilatance ; 2) les coefficients de frottement sont les seuls paramètres de résistance microscopiques à l'origine de l'angle de frottement interne et de l'angle de dilatance ; et 3) l'adhésion entre particules est le seul paramètre de résistance microscopique à l'origine de la résistance à la traction

ESTRADA, Nicolas

RADJAI, Farhang

TABOADA, Alfredo

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Rôle des paramètres locaux de cohésion dans la résistance mécanique d’un
milieu granulaire cohésif
Nicolas Estrada 1, Alfredo Taboada 1 & Farhang Radjaï 2
1 Géosciences Montpellier, Université de Montpellier II
2 Laboratoire de Mécanique et Génie Civil, CNRS - Université de Montpellier II
Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier cédex 5
estrada@gm.univ-montp2.fr
Résumé :
Nous présentons une étude paramétrique de la résistance au cisaillement d’un milieu granulaire cohésif simulé
par la méthode de dynamique des contacts. Cette étude est basée sur un modèle de cohésion qui tient compte de
la résistance à la traction, au glissement, et au roulement dans les contacts entre les particules. La résistance
macroscopique est évaluée par la compression biaxiale des échantillons numériques comportant plusieurs milliers
de particules en deux dimensions. Nos résultats suggèrent que : 1) l’angle de frottement interne peut être vu
comme la somme de trois contributions : une géométrique, une frictionnelle, et une associée à la dilatance ; 2)
les coefficients de frottement sont les seuls paramètres de résistance microscopiques à l’origine de l’angle de
frottement interne et de l’angle de dilatance ; et 3) l’adhésion entre particules est le seul paramètre de résistance
microscopique à l’origine de la résistance à la traction.
Abstract :
We perform a parametric analysis of the shear strength of cohesive granular media by means of contact dynamics
simulations based on a model of cohesion that includes tensile, shear and rolling resistance at the contacts between
particles. The macroscopic strength is estimated by subjecting numerical samples to biaxial compression test. Our
data show that: 1) the macroscopic friction angle may be expressed as the sum of three terms of geometric,
frictional, and dilational origins, respectively; 2) the microscopic friction coefficients are at the origin of the
internal friction angle and dilatancy angle; and 3) Adhesion between particles is the only microscopic parameter
at the origin of the macroscopic tensile strength.
Mots-clefs :
milieux granulaires cohesifs ; frottement de glissement ; frottement de roulement
1 Introduction
Les milieux granulaires cohésifs intéressent plusieurs disciplines scientifiques et de nom-
breuses applications industrielles et processus géologiques. Les sols partiellement saturés, les
sols cimentés, et les poudres fines sont quelques exemples de matériaux granulaires cohésifs.
Le terme “matériaux granulaires cohésifs” englobe une grande diversité de tailles de grains
ainsi que d’interactions aux contacts [9]. Dans tous ces matériaux, l’effet de la cohésion est
de contraindre les degrés de liberté relatifs entre particules : la traction, le glissement, et le
roulement.
La description de ces milieux peut être réalisée à deux échelles : celle des grains (micro), et
celle du système composé des grains (macro). Le passage entre ces deux échelles est complexe ;
il fait intervenir non seulement les propriétés des grains mais aussi celles de l’ensemble comme
la compacité, la structure et le désordre du milieu. Une question fondamentale et largement
ouverte est : comment les propriétés micro affectent-elles les propriétés macro ?
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Plusieurs alternatives existent pour étudier le passage micro - macro. Une première est de
l’étudier expérimentalement. Mais la mise en œuvre de l’étude expérimentale n’est pas simple ;
les propriétés micro dépendent du matériau et ne peuvent pas être modifiées facilement. Deux
exemples remarquables où l’on peut modifier un paramètre micro sont la cohésion capillaire
[6, 7] et l’adhésion induite par un champ électromagnétique [5]. Une deuxième alternative est
d’utiliser des simulations numériques. Cette approche est très bien adaptée pour réaliser des
analyses paramétriques, car elle permet de modifier les propriétés micro de manière systéma-
tique [4, 8, 11].
Dans cet article, nous proposons un modèle simple de cohésion entre particules qui assimile
bien la cohésion par cimentation dans des matériaux tels que les sols ou les roches. Ce modèle
est prescrit dans un code de calcul par dynamique des contacts [3, 2], et utilisé pour étudier
la sensibilité des propriétés de résistance d’un échantillon de grains, telles que l’angle de frot-
tement, l’angle de dilatance, et la cohésion vis-à-vis des paramètres liés à la loi de cohésion
locale.
2 Modèle de cimentation
Le modèle de cohésion que nous avons
mis en place dans le cadre de la méthode de dy-
namique des contacts peut être brièvement dé-
crit comme une superposition de trois lois de
contact qui contraignent les trois degrés de li-
berté relatifs entre les particules : l’écartement,
le glissement, et le roulement [11]. Dans un es-
pace bidimensionnel, ces trois lois sont les sui-
vantes :
FIG. 1 – (a) Force cisaillante maximale Tmax et
moment maximal Γmax ; (b) Contact cohésif.
• la résistance à la traction, déterminée par la force maximale qu’un contact peut supporter
en traction pure Fa = σa`, où la contrainte σa est le seuil de résistance en traction et ` est le
diamètre moyen des grains en contact ;
• la résistance au cisaillement, déterminée par la force cisaillante maximale Tmax. Nous calcu-
lons cette force à l’aide de la loi de Coulomb : Tmax = µs (N + Fa), où µs est le coefficient de
frottement de glissement et N est la force normale au contact (Figure 1.a) ;
• la résistance au roulement, déterminée par le moment maximal Γmax. Ce moment est calculé
de manière analogue à la force de cisaillement : Γmax = µr ` (N + Fa), où µr est le coefficient
de frottement de roulement (Figure 1.a).
Dans notre modèle, ces trois interactions persistent, entre deux particules, à l’intérieur d’une
petite zone elliptique définie au voisinage de chaque contact. Les contacts cohésifs sont crées au
début de la simulation entre les paires de particules dont la distance de séparation est inférieure
à une distance seuil δ. La rupture du pont cohésif se produit lorsque, suite à la déformation, un
des points initiaux de contact sort de cette zone (voir Figure 1.b). Ce modèle de cimentation
comporte ainsi 3 éléments :
1. La rupture d’un contact cohésif est gouvernée par trois valeurs seuils qui déterminent
la résistance à la traction, la résistance au cisaillement, et la résistance au roulement dans un
contact cohésif ;
2. Le comportement cohésif persiste à l’intérieur d’une petite zone représentant l’espace
occupé par le ciment ;
3. La rupture d’un contact entraîne une perte irreversible de la résistance à la traction.
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3 Etude paramétrique
Pour mesurer la résistance macro, nous avons préparé des échantillons polydisperses com-
posés de 5000 disques. Le diamètre des particules varie entre 1 m et 4 m avec une distribution
uniforme par fraction volumique.
Initialement, nous avons placé les particules
dans une boîte rectangulaire à l’aide d’une pro-
cédure géométrique simple [10]. Puis, l’échan-
tillon a été soumis à une compaction uniaxiale
avec des particules sans frottement. Ce proto-
cole produit un échantillon très dense (fraction
volumique ν = 0.84 et nombre de coordination
Z = 3.9). Cet échantillon est ensuite cisaillé à
l’aide d’un essai biaxial numérique ; ceci est fait
en deux étapes :
FIG. 2 – (a) Contraintes σ1/σ3, et déformation
volumique ²p pour 4 pressions de confinement.
Premièrement, les murs latéraux sont remplacés par des membranes de particules. Sur ces
membranes s’applique la pression de confinement σ3. Deuxièmement, le mur supérieur est dé-
placé vers le bas ; le raccourcissement vertical de l’échantillon provoque l’apparition de deux
bandes de cisaillement conjuguées.
On peut distinguer deux états classiquement bien identifiés en mécanique des sols : l’état pic
et l’état résiduel. La contrainte verticale σ1 et la déformation volumique ²p sont représentées sur
la figure 2. ²p ≡ ²1 + ²3 et ²q ≡ ²1 − ²3, où ²1 et ²3 sont les déformations principales majeure et
mineure. Nous observons de l’adoucissement ainsi que de la dilatance, associés à la formation
des bandes de cisaillement. Ces résultats sont compatibles avec l’état initial très dense.
La surface limite de charge est de type Mohr-Coulomb ; donc, nous avons caractérisé la
résistance macro avec un angle de frottement interne, un angle de dilatance, et une cohésion.
Pour chaque jeu de paramètres micro nous avons déterminé un angle de frottement pic φP , un
angle de frottement résiduel φR, un angle de dilatance ψ, et une cohésion pic CP . Les plages
de paramètres micro utilisées sont : σa ∈ [0, 1, 2, 4, 10, 20] MPa, µs ∈ [0.01, 0.1, ..., 0.6], et
µr ∈ [0, 0.1, 0.25].
4 Les angles de frottement interne φP et φR
La relation entre les paramètres micro et les
angles de frottement macro est représentée sur la fi-
gure 3. φs = tan−1(µs) est l’angle de frottement mi-
cro. Nous remarquons que
• toutes les courbes convergent vers le même point
lorsque l’angle de frottement de glissement φs tend
vers zéro ; nous appellerons cette valeur φ0. Ceci
montre que le frottement micro n’est pas le seul para-
mètre à contrôler le frottement macro. Cette contri-
bution “géométrique” est due à la forme rugueuse de
la surface de glissement, qui apparait à l’échelle ma-
cro comme un angle de frottement ;
FIG. 3 – Angles de frottement interne pic
et résiduel (φP et φR) en fonction des pa-
ramètres micro φs et µr.
• l’angle de frottement macro est indépendant de la résistance à la traction σa. Chaque point
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sur la figure 3 représente la moyenne et les valeurs extrêmes pour six différentes valeurs de
σa. Cette observation suggère que les coefficients de frottement micro µs et µr sont les seuls
paramètres de résistance micro à l’origine du frottement macro ;
• l’angle de frottement résiduel φR (traits continus dans la Figure 3) tend asymptotiquement
vers une valeur seuil φ∞ qui dépend uniquement du paramètre micro µr. Le seuil est atteint
lorsque φs est égal à ∼ 20◦. Cette relation est bien approximée par une forme exponentielle :
φR = φ0 + (φ∞ − φ0)
(
1− e−αφs
)
, (1)
où α ' 0.1 ;
• l’angle de frottement à l’état pic φP est toujours supérieur à l’angle de frottement résiduelle
φR. Nous parlerons de cette différence dans la section suivante.
5 La dilatance ψ et les angles de frottement interne φP et φR
Pour expliquer la différence entre φP et φR, nous devons analyser la déformation volumique
de l’échantillon. L’angle de dilatance ψ ≡ sin−1 (−δ²p/δ²q) décrit la tendance du milieu à
se dilater ou se contracter par cisaillement, et il joue un rôle majeur par rapport à l’angle de
frottement macro.
En 1948 Taylor constata que lorsqu’un sol est cisaillé, il arrive à un état dans lequel ψ est
nul et l’angle de frottement est constant [12]. Ceci est dû au fait que la compacité des bandes de
cisaillement est constante. Cet état, dénommé “état critique”, est indépendant de l’état initial de
l’échantillon ; il est donc caractérisé par les propriétés intrinsèques du matériau. Taylor montra
que l’angle φP , qui reflète la compacité initiale de l’échantillon, est égal à la somme de l’angle
de frottement à l’état critique et de l’angle de dilatance.
Nous avons voulu vérifier si dans nos mi-
lieux cohésifs, comme dans les sols non cohé-
sifs, la dilatance ψ explique aussi la différence
entre les angles φP et φR. Pour ce faire, nous
avons supposé que φR est proche de l’angle de
frottement à l’état critique. Si ceci est vrai, la
différence entre les angles de frottement macro
∆φ = φP − φR doit être corrélée avec ψ.
La relation entre ∆φ et ψ est représentée sur
la Figure 4. Nous remarquons que
FIG. 4 – (a) Angle de dilatance ψ en fonction
de ∆φ ; (b) ψ et ∆φ en fonction de l’angle de
frottement micro φs.
• si nous comparons ∆φ avec ψ (Figure 4.a), les points s’alignent avec une très bonne précision
sur une droite de pente égale à ∼ 1. Ceci montre que dans les milieux cohésifs ∆φ et ψ sont
aussi corrélés, et que ψ explique la différence entre les angles de frottement macro φP et φR ;
• si nous traçons ψ et ∆φ en fonction de l’angle de frottement au glissement φs (Figure 4.b),
les deux courbes sont presque parallèles mais décalées de ∼ 7◦. Ce décalage est à nouveau φ0,
l’angle de frottement dans la limite des particules “sans frottement” ou, ce qui revient au même,
l’angle de dilatance dans la limite des particules “sans frottement” ;
• ψ est, comme l’angle de frottement interne, indépendant de la résistance à la traction σa. Sur
la Figure 4.b, nous voyons également que le principal paramètre de résistance micro à l’origine
de l’angle de dilatance est φs.
Nous pouvons donc exprimer l’angle de dilatance ψ comme
ψ ∼= φ0 +∆φ ∼= φ0 + kφs, (2)
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ou k ' 0.5.
Ces relations entre les paramètres micro et
les angles de frottement macro constituent un
premier résultat important de cette étude. Les
équations (1) et (2) suggèrent une décomposi-
tion additive de φP . Cet angle de frottement
macro peut être vu comme la somme de trois
contributions (voir Figure 5) :
φP = φ0 + φµ +∆φ ∼= φµ + ψ, (3)
1. une contribution géométrique φ0 ;
2. une contribution frictionnelle φµ = φR−φ0 ;
3. une contribution associée à la dilatance∆φ =
ψ − φ0.
FIG. 5 – Représentation schématique de la par-
tition des angles de frottement φP et φR.
6 La cohésion CP (l’adhésion théorique A∗)
Nous avons plusieurs choix pour étudier l’effet de σa sur la résistance au cisaillement ma-
cro. Nous pouvons nous intéresser à la cohésion CP ou à une valeur que nous appellerons
l’adhésion théorique A∗, définie comme l’intersection de la surface limite de charge avec l’axe
des contraintes normales (voir Figure 6) [1]. Cette adhésion est “théorique” car elle n’est pas
mesurée dans un essai en traction.
La relation entre σa et A∗ est représentée sur la figure 6. Nous remarquons que
• A∗ est une fonction linéaire de σa ;
• A∗ est indépendante des coefficients de frot-
tement micro µs et µr.
Nous pouvons calculer A∗ à l’aide de l’expres-
sion :
A∗ ' βσa, (4)
ou β ' 1.4.
Le rôle de σa par rapport à la résistance ma-
croscopique constitue le deuxième résultat im-
portant de cette étude : σa est donc le seul para-
mètre de résistance micro à l’origine de l’adhé-
sion macro A∗.
FIG. 6 – Adhésion théorique A∗ en fonction de
σa pour l’ensemble des valeurs de µs et de µr.
La cohésion picCP peut être calculée à l’aide des équations 3 et 4 comme :CP ∼= βσatan(φP ).
7 Conclusion
Une étude paramétrique nous a permis de montrer qu’il existe une relation simple entre les
paramètres de résistance micro et les propriétés de résistance à l’échelle macro (les angles de
frottement internes, l’angle de dilatance, et la cohésion). En résumé,
1) les coefficients de frottement de glissement et de roulement sont à l’origine des angles de
frottement macro ;
2) le coefficient de frottement de glissement est à l’origine de la dilatance ;
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3) la résistance à la traction est à l’origine de l’adhésion théorique macro.
Les différentes origines micro des propriétés de résistance au cisaillement macro, et la dé-
composition additive des angles de frottement internes (φP et φR), sont les résultats intéressants
de ce travail. Pour donner une portée plus ample à ces résultats, il serait nécessaire d’étudier
l’influence de la compacité et de la micro-structure dans les relations proposées.
Il est évident que certaines des corrélations quantitatives proposées ici peuvent varier avec
le modèle de cohésion utilisé. Cependant, la réponse macroscopique du milieu granulaire res-
semble à celle que nous observons dans des milieux réels tels que les roches ; l’enveloppe de
rupture est de type Mohr-Coulomb et la déformation est localisée dans des bandes de cisaille-
ment. Ce constat nous mène à supposer que les rôles ici proposés pour les paramètres micro
restent valables au-delà du modèle de cohésion et du type d’expérience utilisés.
Références
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[12] D. M. Wood. Soil behaviour and critical state soil mechanics. Cambridge, England, 1990.
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Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceNous présentons une étude paramétrique de la résistance au cisaillement d'un milieu granulaire cohésif simulé par la méthode de dynamique des contacts. Cette étude est basée sur un modèle de cohésion qui tient compte de la résistance à la traction, au glissement, et au roulement dans les contacts entre les particules. La résistance macroscopique est évaluée par la compression biaxiale des échantillons numériques comportant plusieurs milliers de particules en deux dimensions. Nos résultats suggèrent que : 1) l'angle de frottement interne peut être vu comme la somme de trois contributions : une géométrique, une frictionnelle, et une associée à la dilatance ; 2) les coefficients de frottement sont les seuls paramètres de résistance microscopiques à l'origine de l'angle de frottement interne et de l'angle de dilatance ; et 3) l'adhésion entre particules est le seul paramètre de résistance microscopique à l'origine de la résistance à la traction

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