Un outil numérique de simulations aéroacoustiques est présenté pour des applications à des géométries complexes. Le solveur est basé sur des schémas à différences finies d'ordre élevé, ce qui impose l'utilisation de maillages structurés. Pour traiter des géométries complexes, le domaine de calcul est subdivisé en maillages partiellement recouvrants. La communication entre les différents maillages est réalisée par interpolations. L'utilisation de polynômes de Lagrange d'ordre elevé permet de maintenir l'ordre global de la solution. Le code est entièrement parallélisé à l'aide de la librairie MPI. La diffraction d'un pulse acoustique par un cylindre ainsi que l'écoulement transsonique dans un tube circulaire en 3-D sont présentés. Les deux simulations se comparent très bien avec les solutions analytiques

EMMERT, Thomas

LAFON, Philippe

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceUn outil numérique de simulations aéroacoustiques est présenté pour des applications à des géométries complexes. Le solveur est basé sur des schémas à différences finies d'ordre élevé, ce qui impose l'utilisation de maillages structurés. Pour traiter des géométries complexes, le domaine de calcul est subdivisé en maillages partiellement recouvrants. La communication entre les différents maillages est réalisée par interpolations. L'utilisation de polynômes de Lagrange d'ordre elevé permet de maintenir l'ordre global de la solution. Le code est entièrement parallélisé à l'aide de la librairie MPI. La diffraction d'un pulse acoustique par un cylindre ainsi que l'écoulement transsonique dans un tube circulaire en 3-D sont présentés. Les deux simulations se comparent très bien avec les solutions analytiques

Lafon, Philippe

Emmert, Thomas

HAL Descartes

Simulation multi-domaines et calcul parallèle pour l'aéroacoustique en écoulement confiné

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Simulation multi-domaines et calcul parallèle pour l’aéroacoustique en
écoulement confiné
Thomas Emmert, Philippe Lafon
Laboratoire de Mécanique des Structures Industrielles Durables, UMR EDF/CNRS 2832
1, avenue du Général de Gaulle, 92141 Clamart Cedex
philippe.lafon@edf.fr
Fabien Crouzet
EDF R&D, Département Analyses Mécaniques et Acoustique
1, avenue du Général de Gaulle, 92141 Clamart Cedex
Christophe Bailly
Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique, UMR CNRS 5509
Ecole Centrale de Lyon, 69134 Ecully
Résumé :
Un outil numérique de simulations aéroacoustiques est proposé pour des applications à des géométries complexes.
La résolution est basée sur des schémas aux différences finies d’ordre élevé, ce qui impose l’utilisation de maillages
structurés. Pour traiter des géométries complexes, le domaine de calcul est subdivisé en maillages partiellement
recouvrants. La communication entre les différents maillages est réalisée par interpolations. L’utilisation de po-
lynômes de Lagrange d’ordre élevé permet de maintenir l’ordre global de la solution. Le code est entièrement
parallélisé à l’aide de la librairie MPI. La diffraction d’un pulse acoustique par un cylindre ainsi que l’écoule-
ment transsonique dans un tube circulaire en 3-D sont présentés. Les deux simulations se comparent très bien avec
les solutions analytiques.
Abstract :
A numerical tool is presented for Computational AeroAcoustics (CAA) problems in complex geometries using
the overset-grid approach. For that the computational domain is subdivided into overlapping structured-grid
components. The solver is based on high-order finite-difference schemes and the communication between the
different grids is realized using high-order Lagrangian interpolation in order to preserve the global accuracy of
the solution. The code is parallelized using the MPI library. Two validation test cases are presented: the diffraction
of a single pressure pulse by a cylinder and the simulation of a transonic flow in a circular 3-D tube. The computed
solutions compare very well with the appropriate analytical solutions.
Mots-clefs :
géométries complexes, maillages recouvrants, aéroacoustique numérique
1 Introduction
Les tuyauteries vapeur des centrales nucléaires peuvent être le lieu de phénomènes de cou-
plage aéroacoustique, en particulier au niveau des organes de régulation de type vannes ou
soupapes. Ces phénomènes qui se manifestent par des niveaux très élevés de fluctuations de
pression dans le fluide et de vibrations sur les structures mettent en jeu des rétroactions acous-
tiques sur l’écoulement. La prise en compte de l’acoustique ne peut donc être découplée de
celle de l’écoulement lui-même. La simulation de ces phénomènes s’appuie alors sur la réso-
lution des équations d’Euler non linéaires ou de Navier-Stokes quand la viscosité joue un rôle
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
important, au niveau des parois notamment. Pour prendre en compte correctement les fluctua-
tions acoustiques au sein de l’écoulement, il faut mettre en oeuvre des méthodes numériques
à faible dissipation et faible dispersion. Cela implique d’utiliser des schémas numériques aux
différences finies d’ordre élevé de type DRP (Dispersion Relation Preserving) [1]. Ces sché-
mas développés sur des grilles structurées curvilignes s’adaptent difficilement aux géométries
complexes. Une des solutions consiste à utiliser une configuration multi-domaines recouvrants
avec communications entre domaines par interpolations. Cette approche est souvent associée
dans la littérature à la méthode Chimère, très bien adaptée à la simulation d’écoulements autour
d’objets en mouvement [2]. Traditionnellement, cette méthode est d’ordre deux. Mais pour des
simulations acoustiques, l’ordre d’interpolation doit être suffisamment élevé pour être compa-
tible avec la précision des schémas numériques [3].
Dans ce travail, on s’appuie sur la bibliothèque OVERTURE développée au Lawrence Li-
vermore National Laboratory [4]. Disponible librement, cet outil permet de générer un maillage
multi-domaines ainsi que les structures de données repérant les zones de recouvrement et les
molécules d’interpolation. Cette bibliothèque est interfacée avec le module de résolution SAFARI
(Simulation Aéroacoustique des Fluides Avec Résonance et Interaction), qui fonctionne en pa-
rallèle sur les différents domaines, via la librairie MPI. De plus, SAFARI est parallélisé par
décomposition des domaines en blocs ; ce qui permet d’améliorer la granulométrie du calcul.
Deux cas-tests sont présentés. Tout d’abord un cas-test purement acoustique (sans écoule-
ment) : la diffraction d’un pulse par un cylindre. Ce cas-test, qui dispose d’une solution analy-
tique, permet de juger de la qualité de l’interpolation entre domaines pour les ondes acoustiques.
Ensuite la simulation d’un écoulement transsonique dans une tuyère circulaire à section variable
est présentée. Ce cas-test montre que la méthode des maillages recouvrants est une solution élé-
gante pour éviter le problème de la singularité (à r = 0) pour des géométries cylindriques.
2 Algorithme numérique
On résoud les équations d’Euler qui, après transformation en coordonnées curvilignes
(x, y, z)→ (ξ, η, ζ), sont données en 3-D par [5, 6] :
∂
∂t
(
U
J
)
=
∂
∂ξ
(
E
J
)
+
∂
∂η
(
F
J
)
+
∂
∂ζ
(
G
J
)
, (1)
où le vecteur U contient les variables conservatives et E , F , G représentent les flux non-
visqueux :
U =


ρ
ρu
ρv
ρw
ρe

 , E =


ρU
ρUu + ξxp
ρUv + ξyp
ρUw + ξzp
(ρet + p)U

 , F =


ρV
ρV u+ ηxp
ρV v + ηyp
ρV w + ηzp
(ρet + p)V

 , G =


ρW
ρWu+ ζxp
ρW + ζyp
ρWw + ζzp
(ρet + p)W

 .
La quantité ρ représente la densité, p la pression et l’énergie totale et est donnée par et =
p/[(γ − 1)ρ] + (u2 + v2 + w2)/2 conformément à l’hypothèse de gaz parfait. Les grandeurs
u, v, w désignent les vitesses selon les directions x, y, z et U, V,W représentent les vitesses
contravariantes : U = ξxu + ξyv + ξzw, V = ηxu + ηyv + ηzw et W = ζxu + ζyv + ζzw. J
est le jacobien de la tranformation. Les derivées spatiales sont calculées avec des schémas aux
différences finies sur onze points optimisés dans l’espace des nombres d’onde. Pour enlever
les oscillations maille-à-maille, un filtre sélectif est utilisé, dont le nombre d’onde de coupure
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
correspond à la limite de résolution des schémas aux différences finies, qui est de quatre points
par longueur d’onde [7]. Pour l’intégration en temps, un schéma de Runge Kutta à l’ordre quatre
est utilisé.
Pour les points aux frontières du domaine de calcul, les schémas centrés sur onze points
ne peuvent plus être appliqués. Deux stratégies sont alors mises en oeuvre. Dans la première
approche, les schémas décentrés proposés par Berland et al. [8] sont utilisés. Ces schémas sont
trés précis mais assez peu robustes et ne sont applicables qu’à des cas purement acoustiques
comme le premier cas-test présenté ici, ou pour des écoulements à faible nombre de Mach.
La deuxième approche consiste à réduire la taille des molécules à proximité des bords afin de
pouvoir utiliser des schémas centrées. Ce traitement est très robuste mais moins précis et est
utilisé pour le deuxième cas-test transsonique. Les conditions aux limites non-refléchissantes
de Bogey et Bailly [9] sont implémentées aux bords du domaine.
Au niveau des zones de recouvrement, les interpolations entre domaines sont effectuées
suivant la méthode des polynômes de Lagrange. En un point P , la valeur φP d’une fonction
φ, dont les valeurs φξ,η sont connues en différents points de coordonnées curviligne (ξ, η) est
donnée en 2-D par [10] :
φP =
Nξ−1∑
i=0
Nη−1∑
j=0
RηiR
ξ
j φIP+i,JP+j avec R
ξ
i =
Nξ∏
m = 0
m 6= i
(δξ −m)
(i−m)
et Rηj =
Nη∏
m = 0
m 6= j
(δη −m)
(j −m)
,
où Nξ et Nη désignent le nombre de points d’interpolation respectivement dans les directions ξ
et η. Le point (IP , JP ) est le premier point en bas à gauche de la molécule d’interpolation. δξ et
δη sont les coordonnées curvilignes du point P à interpoler, relativement au point (IP , JP ). Une
molécule d’interpolation est présentée sur la Figure 1 (a) en 2-D. Toutes les données nécessaires
pour le calcul des coefficients d’interpolation sont précalculées par OVERTURE et peuvent être
exploitées directement par SAFARI. Les coefficients de Lagrange sont calculés avant la boucle
temporelle et stockés dans des vecteurs de taille Nξ + Nη. L’interpolation est effectuée par le
bloc de maillage "‘donneur"’ afin de minimiser le volume d’échange de données par MPI. Il
est à noter que pour l’interpolation monodimensionnelle de Lagrange, l’ordre formel au sens de
Taylor est égal à Nξ. Une analyse pour les cas multidimensionnels est donnée par Tam and Hu
[11].
3 Diffraction d’un pulse acoustique par un cylindre
Le premier cas-test présenté est issu du deuxième workshop d’aéroacoustique numérique
[12]. Il s’agit de la diffraction d’un pulse de pression par un cylindre, conformément à la confi-
guration présentée sur la Figure 1 (b). Le pulse de pression est de forme gaussienne. Il est
utilisé comme condition initiale du calcul. Bien que le cas-test soit formulé avec une approche
linéarisée, les équations d’Euler non-linéaires sont utilisées pour le calcul ; ce qui implique que
l’amplitude du pulse soit suffisamment petite pour rester dans le domaine linéaire.
Le domaine de calcul est discrétisé à l’aide de deux maillages : un maillage de fond cartésien
régulier, partiellement recouvert par un maillage en O autour du cylindre, comme représenté
sur la Figure 2 (a). Chaque maillage comporte 101× 101 points et est associé à un processeur
différent. La Figure 2 (b) compare l’évolution temporelle des signaux de pression analytique et
calculée au point A. Le premier pic correspond au front d’onde provenant directement du pulse
inital et le deuxième à la partie diffractée par le cylindre. Les deux courbes sont en très bon
accord.
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
(a) (b)
P
δη
Nη
Nξ
δξ
η
ξ
(Ip, Jp)
     
     
     
     
     
  
  
  
  
  
S
A (0, 5)
(4, 0)
y
x
FIG. 1 – (a) Molécule d’interpolation 2-D pour Nξ = 4, Nη = 5 ; (b) Configuration du cas-test
de la diffraction d’un pulse par un cylindre. Le pulse de pression, de forme gaussienne p(x) =
 exp {− ln(2)[(x − 4.)2 + y2]/0.22}, est centré en S. Les longueurs sont adimensionnalisées par le
diamètre du cylindre.
(a) (b)
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
t
p
FIG. 2 – (a) Zoom sur la zone de recouvrement entre le maillage de fond cartésien et le maillage cylin-
drique, pour une interpolation d’ordre 8 ; (b) Signal de pression calculé (en rouge) et analytique (en noir)
au point A, en fonction du temps adimensionnalisé.
4 Choc droit dans une tuyère 3-D
L’écoulement transsonique dans une tuyère convergente-divergente est simulé. Ce cas-test
est issu du troisième workshop d’aéroacoustique numérique [13]. Il est basé sur la résolution
des équations d’Euler 1-D à section variable, qui s’écrivent sous forme adimensionnalisée :
∂AQ
∂t
+
∂AE
∂x
+ H = 0, (2)
où Q = [ρ, ρu, ρe]T est le vecteur des variables conservatives, E = [ρu, ρu2 + p, (ρe+ p)u]T le
vecteur des flux non visqueux et H = dA/dx [0, p, 0]T le vecteur source prenant en compte la
variation de géométrie. La section A(x) est définie par :
A(x) =
{
1.0− 0.661514 exp [−(ln 2)(x/0.6)2], x < 0
0.536572− 0.198086 exp [(−(ln 2)(x/0.6)2], x ≥ 0.
On impose le nombre de Mach à l’entrée du domaine (Me = 0.2006533) et la pression à
l’aval (ps = 0.6071752). Ces conditions aux limites conduisent à la formation d’un choc droit
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
(a) (b)
FIG. 3 – Maillage de la tuyère : (a) Vue longitudinale ; (b) Vue en coupe à x = −5 : les carrés noirs
indiquent les points d’interpolation du maillage cartésien ; les carrés gris les points d’interpolation du
maillage cylindrique. Le rayon extérieur est donné par rex(x) =
√
A(x)/pi.
FIG. 4 – Nombre de Mach moyen dans le tube à choc dans le plan xy pour −2 ≤ x ≤ 2. Iso-contours
du nombre de Mach M > 1 , M = 1, M < 1.
dans la partie divergente de la tuyère. Afin d’améliorer la capture du choc et de stabiliser le
calcul, un filtre adaptatif de type Jameson proposé par Kim and Lee [14] est appliqué. Ce filtre
d’ordre deux ne s’active que dans la zone du choc et ne dégrade pas les solutions acoustiques
quand elles sont présentes.
La tuyère 3-D de longueur 10 est représentée sur la Figure 3 (a). Pour éviter la singularité
en r = 0, le domaine de calcul est décomposé en deux maillages : un maillage axisymétrique
qui comprend l’intégralité de la tuyère, à l’exception de la zone proche de l’axe, et un maillage
cartésien de section carrée, qui vient combler le volume vacant au niveau de l’axe (voir Figure
3 (b)). L’ordre d’interpolation est fixé à 6. Le maillage cylindrique contient 301 × 50 × 80 ≈
1.2× 106 points et le maillage cartésien 301× 31× 31 ≈ 0.3× 106 points.
La Figure 4 présente le nombre de Mach sur une coupe θ constant, calculé après 105 itéra-
tions temporelles. La zone de communication entre les deux maillages ne crée pas d’oscillations
significatives, même au niveau du choc. Les profils moyens présentés sur la Figure 5 (a) sont
tout à fait comparables avec la solution analytique du problème 1-D. La localisation du choc est
bien captée ; ce qui témoigne de la conservativité des schémas numériques utilisés.
5 Conclusions
L’utilisation des schémas aux différences finies d’ordre élevé a longtemps été limitée à des
géométries très simples, discrétisées avec des maillages cartésiens. Les méthodes de type multi-
domaines avec maillages recouvrants développées dans le code SAFARI rendent possible des
simulations de grande précision sur des géométries complexes. La parallélisation permet en
outre de traiter des problèmes comportant un très grand nombre de points. Les cas-tests réalisés
démontrent la capacité de ce type de méthodes à traiter des problèmes purement acoustiques
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
−5 0 5
0
0.5
1
ρ,
 p
, u
x
FIG. 5 – Profils des quantités moyennes selon l’axe x (de haut en bas : u, p ρ). Les symboles représentent
la solution numérique, la ligne continue la solution analytique.
ainsi que des cas non-linéaires comme celui de l’écoulement transsonique sur des géométries
3-D complexes.
Références
[1] TAM C.K.W., WEBB J.C. Dispersion-relation-preserving finite difference schemes for Computational
Acoustics. Journal of Computational Physics, 107 (1993), 262 - 281.
[2] BENEK J.A., STEGER J.L. and DOUGHERTY F.C. A flexible grid embedding technique with applications to
the Euler equations. AIAA Paper, 83-1944 (1983).
[3] DELFS J.W. An overlapped grid technique for high resolution CAA schemes for complex geometries. AIAA
Paper, 2001-2199.
[4] CHESSIRRE G. and HENSHAW W. D. Composite overlapping meshes for the solution of partial differential
equations. Journal of Computational Physics, 90 (1990), 1-64.
[5] VISBAL M.R., GAITONDE D.V. On the use of higher-order finite-difference schemes on curvilinear and
deforming meshes. Journal of Computational Physics, 181 (2002), 155-185.
[6] MARSDEN O., BOGEY C. and BAILLY C. High-order curvilinear simulations of flows around non-cartesian
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simulations and for sound propagation. Journal of Computational Physics, 194 (2004), 194-214.
[8] BERLAND J., BOGEY C., MARSDEN O. and BAILLY C. High-order, low dispersive and low dissipative
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doi :10.1016/j.jcp.2006.10.0017.
[9] BOGEY C., BAILLY C. Three-dimensional non-reflective boundary conditions for acoustic simulation : far
field formulation and validation test cases. Acta Acustica United With Acustica, 88 (2002), 463-471.
[10] SHERER S.E., SCOTT J.N. High-order compact finite-difference methods on general overset grids. Journal
of Computational Physics, 210 (2005), 459 - 496.
[11] TAM, C.K.W. and HU, F.Q. An optimized multi-dimensional interpolation scheme for Computational Ae-
roacoustics applications using overset grids. AIAA Paper, AIAA 2004-2812.
[12] Second Computational AeroAcoustics (CAA) workshop on benchmark problems. (1997) NASA CP 3352.
[13] Third Computational AeroAcoustics (CAA) workshop on benchmark problems. (2000) NASA/CP-2000-
209790.
[14] KIM J.W., LEE D.J. Adaptive non-linear artificial dissipation model for Computational Aeroacoustics.
AIAA Journal, 39 (2001), 810-818.
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