Les empilements de sphères creuses sont formés à partir de billes creuses métalliques liées par frittage ou brasage. Le matériau cellulaire ainsi obtenu possède une structure plutôt régulière et qui permet une remarquable flexibilité en termes d'optimisation microstructurale. On peut ainsi faire varier l'épaisseur et le diamètre des sphères, la nature du métal utilisé (Nickel, Acier...) ainsi que le type d'empilement (aléatoire, cubique face centré, cubique simple...) afin d'obtenir les propriétés désirées. Cette étude a pour but de déterminer et modéliser l'effet de ces paramètres sur les propriétés en fatigue. Les modes d'endommagement sont étudiés par microtomographie aux rayons X. Les images 3D servent aussi de base à des maillages éléments finis permettant de décrire la phase d'amorçage en fatigue. Des empilements numériques permettent enfin de générer artificiellement le matériau et de simuler l'effet de chacun des paramètres

BOUCHET R.

BRÉCHET, Yves

CATY, Olivier

MAIRE E.

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
 
Fatigue des empilements de sphères creuses en nickel 
 
O.Caty1, E.Maire1, R.Bouchet2, Y.Brechet3
 
1 Laboratoire MATEIS INSA de Lyon, UMR CNRS 5510, F69621 VILLEURBANNE Cedex 
2 ONERA-DMMP, BP72 - 29 avenue de la division Leclerc, F92322 CHATILLON Cedex 
3 Laboratoire LTPCM INPG Grenoble, 1130 rue de la piscine, BP75, F38402 SAINT MARTIN D’HERES 
olivier.caty@insa-lyon.fr 
 
 
 
Résumé : 
 
Les empilements de sphères creuses sont formés à partir de billes creuses métalliques liées  par frittage 
ou brasage. Le matériau cellulaire ainsi obtenu possède une structure régulière et permet une 
remarquable flexibilité en thermes d’optimisation microstructurale. On peut ainsi faire varier l’épaisseur 
et le diamètre des sphères, la nature du métal utilisé (Nickel, Acier…) ainsi que le type d’empilement 
(aléatoire, cubique face centré, cubique simple…) afin d’obtenir les propriétés désirées. Cette étude a 
pour but de déterminer et modéliser l’effet de ces paramètres sur les propriétés en fatigue. Les modes 
d’endommagement sont étudiés par microtomographie aux rayons X. Les images 3D servent aussi de 
base à des maillages éléments finis permettant de décrire la phase d’amorçage en fatigue. Des 
empilements numériques permettent enfin de générer artificiellement le matériau et de découpler l’effet 
des paramètres. 
 
Abstract : 
 
Metal hollow spheres can be piled up and stick or soldered together to form a cellular metal. This kind of 
material is rather homogeneous and allows a remarkable flexibility in terms of microstructural design. 
The thickness and diameter of spheres, the nature of the metal used (Nickel, steel…), the pattern for the 
pile up (random, centred face cubic, simple cubic…) can be varied in order to reach the target properties. 
This study aims at determining and modeling the effects of the parameters on the fatigue properties. 
Mechanisms responsible for the fatigue degradation of the material under study are determined by X ray 
microtomography. These 3D images are also used for a finite element computation to describe the crack 
initiation step. At least, hollow spheres numerically piled allow us to build an artificial material in order 
to separate parameters effect. 
 
Mots-clefs : 
 
Sphères creuses ; fatigue; tomographie 
 
1 Introduction 
L’utilisation des matériaux cellulaires métalliques a été suggérée par les performances des 
matériaux naturels comme les os ou le bois. Les métaux cellulaires combinent les avantages des 
métaux à ceux des structures réelles. Le CNRS et l’ONERA se sont donc associés pour 
développement des matériaux cellulaires métalliques multifonctionnels par une approche basée 
sur la modélisation dite de « material by design » (projet MAPO). Il est ainsi nécessaire de 
proposer des modèles en fonction des paramètres clefs de la microstructure (nature du métal 
utilisé, taille de cellule, épaisseurs…) et du type de sollicitation. 
Les empilements de sphères creuses, de part leur structure particulièrement régulière et 
contrôlable permettent une grande flexibilité en terme de développement. En faisant varier des 
paramètres comme l’épaisseur et le diamètre des sphères, la nature du métal ainsi que le type 
d’empilement on peut optimiser la microstructure afin d’obtenir des propriétés spécifiques et 
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diverses. Mais avant de pouvoir réaliser un matériau sur mesure, il est nécessaire de connaître 
les propriétés en fonction des divers paramètres. Cette étude a donc pour objectif de mesurer, 
comprendre et modéliser le comportement en fatigue de ce matériau structuré. 
Ce travaille s’est donc attaché à dans un premier temps caractériser le matériau à divers 
échelles aussi bien par microscopie que par microtomographie aux rayons X. Les essais de 
fatigue ont ensuite permis de déterminer les modes d’endommagement par visualisation 3D. Ces 
observations ont menées au développement de calculs éléments finis utilisant les maillages à 
partir des images s’attachant à modéliser la phase d’amorçage. D’autres modèles utilisant des 
empilements numériques recrées artificiellement un matériau parfaitement contrôlable afin 
d’étudier aisément l’effet des différents paramètres. 
2 Caractérisation des empilements réels 
Deux types d’empilements ont été utilisés pour cette étude, ils utilisent des procédés 
radicalement différents. Les assemblages en Nickel sont fabriqués à partir de sphères creuses 
produites par dépos chimique de Nickel sur un mandrin en polystyrène expansé préalablement 
recouvert de cuivre. Ces sphères sont ensuite vidées du polystyrène par fusion et dégazage. Leur 
assemblage passe ensuite par un dépos de Nickel Bore qui est porté à fusion tandis que les billes 
restent solides. L’interaction des différents matériaux crée une hétérogénéité importante des 
propriétés dans les parois des billes. 
L’autre solution, plus récemment étudiée, utilise le frittage de poudres d’acier inoxydable 
de type 25Cr20Ni. Des billes de polystyrène expansé recouvertes de poudre d’acier inoxydable 
sont empilées gravitairement dans un moule puis pressées et chauffées. Le matériau obtenu est 
plus régulier avec de nombreuses microporosités. 
2.1 Analyse du matériau constitutif au M.E.B. 
L’analyse par Microscopie Electronique à Balayage (M.E.B.) est présentée pour les 
empilements en Nickel. Ce travail a d’abord été mené sur un dispositif classique ne permettant 
pas le dosage du Bore (FIG. 1).  
 
FIG. 1 – Images MEB d’un empilement de sphères creuses en Nickel + Nickel Bore  
(a) Aux électrons secondaires (x20) (b) Etude du col de liaison aux électrons rétrodiffusés 
grossissement (x120). 
 
Cette première étude montre de nombreuses porosités dans les parois des billes ainsi que 
des traces de Silicium provenant de pollutions lors de la fabrication à l’extérieur des sphères. Ce 
travail a été complété par une analyse sur un M.E.B. environnemental permettant le dosage du 
Bore (Z=5). Une attaque avec une base forte a permis de révéler la structure granulaire des 
zones de brazure (Ni+NiB). La FIG. 2 montre cette zone ainsi qu’un grossissement et son 
analyse EDX. 
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FIG. 2 – (a) Micrographie d’une bille, la zone granulaire correspond à la brasure en NiB.  
(b) Grains de brasure. (c) Analyse EDX des grains. 
 
L’analyse EDX de ces zones montre une forte concentration en Nickel et Bore mais aussi 
en Silicium. Les grains dendritiques étant beaucoup plus riche en silicium que les zones en NiB 
monophasées. Cette étude est actuellement étendue aux empilements en acier inoxydable et sera 
présentée dans l’exposé.  
Parallèlement des mesures de micro modules d’Young par Nanoindentation ont été 
réalisées dans les parois des billes. Ces mesures ont montrées de très fortes hétérogénéités des 
propriétés élastiques étroitement liées à la composition chimique de la bille. Ces mesures 
permettent d’alimenter les modèles éléments finis présentés au paragraphe 4. 
2.2 Etude des empilements par Tomographie aux rayon X 
La tomographie aux rayons X est une méthode permettant de révéler l’architecture 
tridimensionnelle des empilements. En particulier, par analyse des images, on peut retrouver les 
positions des sphères, leur diamètre ainsi que l’épaisseur des parois. Ces analyses menées sur 
l’échantillon de fatigue, donnent pour les 65 billes non coupées un diamètre de sphère compris 
entre 2.3 et 3.3 mm ainsi que des épaisseurs de parois entre 100 µm et 180 µm. Les images 
réalisées à l’ESRF et au laboratoire MATEIS servent de base pour des maillages éléments finis 
visibles sur la FIG. 3. 
 
FIG. 3 – (a) Coupe tomographique de l’empilement de sphères creuses en Nickel + Nickel Bore. 
(b) Rendu volumique de l’empilement. (c) Maillage tétraédrique réalisé à partir de l’image 3D. 
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Le maillage réalisé avec le logiciel Amira comprend 919 333 éléments et 278 060 nœuds. 
Ce type de modèle permet ensuite de réaliser des calculs éléments finis (EF) avec différents 
codes. 
3 Essais de fatigue  
L’essai de fatigue ici présenté a pour objectif premier d’observer et comprendre les 
mécanismes de ruine  mis en jeu en fatigue. Il s’agit d’un essai de interrompu régulièrement 
avec démontage de l’échantillon pour observation par tomographie aux rayons X. L’essai a été 
réalisé en compression/compression (R=10) sous chargement sinusoïdal à 25 Hz, la contrainte 
moyenne ramenée à la section était de -1.3 MPa (σmax = -0.25 MPa, σmin = -2.5 MPa). Quatre 
images 3D de l’empilement à quatre états de déformation ont été acquises. La FIG. 4 montre 
l’évolution d’une coupe de l’empilement choisie pour son état d’endommagement remarquable. 
 
 
FIG. 4 – Visualisation des mécanismes d’endommagement en fatigue des empilements de 
sphères creuses en Ni+NiB observés sur des coupes obtenues par tomographie aux rayons X. 
 
Ces images permettent d’illustrer les différents modes de ruine observés sur les 
empilements de sphères creuses en Ni+NiB. Il s’agit d’une combinaison des phénomènes décrits 
pour l’ensemble des matériaux cellulaires dans l’ouvrage « Metal Foams, a design guide » de 
Ashby et Al (2000). Sur la FIG. 4, les zones (1) et (3) montrent des mécanismes de rupture par 
flexion des parois. Ceci est le phénomène majoritaire, mais d’autres phénomènes, comme la 
rupture des cols amenant la séparation d’une bille (zone 1’) ainsi que des ruptures par 
flambement en compression (zone 2) participent à la ruine du matériau. Des mesures de limite 
de fatigue sont actuellement en cours et devraient permettre de tracer prochainement une courbe 
de Whöler. Ces résultats seront présentés lors de l’exposé. 
4 Modèles 
Il a été choisi d’effectuer le calcul d’amorçage en deux étapes comme le suggèrent les 
ouvrages de Lemaître et Chaboche (2001) et Bathias et Baïlon (1997). Dans un premier temps, 
un calcul EF à partir des images permet de connaître la contrainte et la déformation du matériau 
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en tout point de la structure. Le ou les points critiques où risque de s’amorcer une fissure 
peuvent alors être déterminés. Il suffit ensuite d’appliquer un critère de limite d’endurance pour 
déterminer la durée de vie en fatigue de l’empilement.  
Les calculs EF mis en place sont de deux types. Ils sont réalisés soit directement à partir 
des maillages issus des images tomographiques (FIG. 3), soit à partir de maillage d’images 
d’empilements gravitaires générés numériquement (FIG. 5). 
4.1 Génération d’empilements gravitaires numériques 
Les modèles numériques d’empilements gravitaires permettent d’étudier facilement l’effet 
des paramètres d’empilements (comme le type d’empilement, les défauts générés 
artificiellement, les dimensions des billes, les tailles de volume…) sur les propriétés 
mécaniques. 
Les empilements sont générés par un programme fournissant des fichiers au format texte 
des coordonnées des centres ainsi que des rayons des sphères. Ce fichier est ensuite traité pour 
former des images au format voxels d’empilements de sphères creuses liées par des cols. La  
FIG. 5 résume les étapes de fabrication de ces empilements et un calcul éléments finis réalisé sur 
une éprouvette de fatigue constituée de sphères creuses. 
 
FIG. 5 – Résumé des étapes de construction d’un calcul EF  à partir d’images d’empilements 
générées numériquement (a) Visualisation de l’empilement gravitaire numérique. (b) Coupe de 
l’empilement lié. (c) Maillage EF réalisé à partir de l’image (d) Calcul EF  en élasticité linéaire 
(Abaqus standard), observation des isocontraintes de Von Mises. 
 
Le calcul EF permet, par exemple, de mettre en évidence la concentration de contrainte 
dans le rayon de raccordement d’une éprouvette de traction/compression. La concentration 
maximale se produit au niveau d’un défaut d’empilement (zone peu dense) et proche d’un col de 
liaison.  
4.2 Simulation EF à partir des images de tomographie 
Les données de tomographie ont permis de réaliser des maillages d’images réelles 
d’empilements de sphères creuses en Ni+NiB. Ces calculs ont alors pu être confrontés à des 
essais réels de compression monotone et des essais de compression/compression (R=10) en 
fatigue. Les données en monotone ont permis de caler les constantes du matériau à imposer pour 
avoir un comportement proche des courbes de compression. La FIG. 6 montre les résultats d’un 
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calcul de compression sur l’éprouvette sollicitée en fatigue. Le calcul permet de se rendre 
compte des zones de concentration de contrainte où la rupture a le plus de chance de se 
produire. Les points chauds en contrainte correspondent bien aux zones d’amorçage de fissures, 
des illustrations et données complémentaires seront proposées lors de l’exposé. 
 
 
FIG. 6 : Résultats de calculs EF à partir des images de 
tomographie : cartes des isocontraintes de Von Mises. 
 
5 Conclusion 
L’étude en fatigue du comportement des empilements de sphères creuses est rendue 
complexe d’une part par l’empilement qui est de type gravitaire et d’autre part par les très fortes 
hétérogénéités du matériau constitutif. Ces deux paramètres sont étudiés séparément et intégrés 
dans les modèles éléments finis en cours de développement. 
Parallèlement, l’utilisation de la microtomographie aux rayons X a permis de comprendre 
les modes de ruine et de développer un modèle éléments finis le plus proche possible de 
l’empilement réel.  
L’exposé présentera de nouveaux développements réalisés, en particulier la partie 
expérimentale sera plus complète avec différents matériaux constitutifs, différents diamètres et 
épaisseurs de parois et différents modes de sollicitation. Toutes ces données devraient permettre 
une modélisation plus fine du comportement en fatigue des empilements. 
 
Références 
 
MOTZ C., FRIEDL O., PIPPAN R. Fatigue crack propagation in cellular metals. International 
Journal of Fatigue, 2005. 
LEMAITRE J., CHABOCHE J.L. Mécanique des matériaux solides. Editions DUNOD, 2001, 
2nd édition. 
ASHBY M., EVANS A., FLECK N., GIBSON L., HUTCHINSON J.,  WADLEY H., “Metal 
Foams, A Design Guide” Edition BH (2000). 
BATHIAS C., BAÏLON J.P., “La fatigue des matériaux et des structures”. Editions HERMES 
2nd édition (1997). 
DANG VAN K., GRIVEAU B., MESSAGE O., “A new multiaxial fatigue limit criterion : 
theory and applications”. Biaxial and Multiaxial fatigue (1982), pp 479-496. 
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Fatigue des empilements de sphères creuses

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