L'exploitation de la matrice de Mueller permet un système d'imagerie dont le contraste est entièrement basé sur les propriétés polarimétriques du milieu observé. L'exploitation des différents contrastes de cette matrice demeure la problématique du domaine dans le cas de milieux multi-diffusants tel que les tissus biologiques. Nous proposons dans cet article une nouvelle méthode d'extraction de données polarimétriques basée sur une modélisation multi-couche du milieu observé. L'extraction de nouveaux contrastes pourrait permettre, à terme, une meilleure visualisation des pathologies dermatologiques

CLAIRAC, B.

FONTAS, B.

GUYOT, S.

TAKAKURA, Y.

VEZIEN, C.

I-Revues

Exploitation des matrices de Mueller en vue d’applications au génie
biologique et médical
S. GUYOT
 
, Y. TAKAKURA

, C. VEZIEN
 
, B. FONTAS
 
, B. CLAIRAC
 
 
Laboratoire L.E.R.I.S.S, Université Paris12 Val de Marne, 94010 Créteil

Laboratoire G.R.T.R/L.S.I.I.T (U.M.R 7005), Equipe T.R.I.O, Université Louis Pasteur, Strasbourg
Guyot@univ-paris12.fr, Yt@mephot.u-strasbg.fr
Résumé – L’exploitation de la matrice de Mueller permet un système d’imagerie dont le contraste est entièrement basé sur les propriétés
polarimétriques du milieu observé. L’exploitation des différents contrastes de cette matrice demeure la problématique du domaine dans le
cas de milieux multi-diffusants tel que les tissus biologiques. Nous proposons dans cet article une nouvelle méthode d’extraction de données
polarimétriques basée sur une modélisation multi-couche du milieu observé. L’extraction de nouveaux contrastes pourrait permettre, à terme,
une meilleure visualisation des pathologies dermatologiques.
Abstract – The Mueller’s matrix allows a system of imagery whose contrast of the images is entirely based on the polarimetric properties of
the medium observed. Exploitation of various contrasts of this matrix is the main problem of this field in the case of scattering media such as
biological tissus. We propose in this article a new method of extraction of polarimetric data based on a multi-layer modeling of the medium
observed. The extraction of new contrasts could in the long term allows a better visualization of dermatological pathologies.
1 Introduction
Quatre facteurs caractérisent la lumière : l’intensité, la phase,
la fréquence et la polarisation. C’est à cette dernière propriété
que nous allons nous intéresser. Plusieurs formalismes nous
permettent d’étudier ce phénomène tel que le formalisme de
Jones, de Poincaré ou encore, le formalisme de Mueller. A
noter que le formalisme de Mueller est basé sur l’exploitation
des intensités lumineuses contrairement à celui de Jones basé
sur les amplitudes et phases du champ électrique. De ce fait,
le choix de l’un ou de l’autre de ces deux formalismes dépen-
dra des applications. En ce qui nous concerne, nous visons des
applications bio-médicales. Par conséquent, la simplicité ex-
périmentale ainsi que le coût des installations sont privilégiés.
Nous avons donc axé notre étude sur le formalisme de Mueller.
Les matrices de Mueller sont des matrices 4*4 que l’on peut
considérer comme des matrices de transfert entre un vecteur de
Stokes d’entrée et un vecteur de Stokes de sortie (cf equation
1). Ces vecteurs de Stokes sont des vecteurs 4*1 dont les com-
posantes sont des combinaisons linéaires des carrés des ampli-
tudes des composantes du champ électrique (donc homogènes
à des radiance). 
	


 (1)
Ces vecteurs de Stokes permettent de formaliser n’importe
quelle polarisation d’un vecteur lumineux. Toute la problèma-
tique se situe dans l’exploitation de la matrice de Mueller dans
laquelle toute les propriétés polarimétriques du milieu sont con-
finées. L’objectif est donc d’extraire les propriétés optiques du
milieu et de baser le système d’imagerie sur ces propriétés. Il
existe trois grandes familles de propriétés polarimétriques [1]
; les propriétés agissant sur l’amplitude du champ électrique,
celles agissant sur la phase, enfin la dégradation de la polari-
sation à la traversée du milieu considéré. Nous appliquons un
modèle multi-couche introduit en 1996 par Lu and al [5], qui
Lumière incidente
A B C
Matrice de Mueller
FIG. 1: Modèle multi-couche
consiste à séparer les propriétés de diattenuation, de retard et de
dépolarisation du milieu. Cela se traduit par la décomposition
de la matrice de Mueller initiale en un produit de trois matri-
ces de Mueller aux propriétés polarimétriques distinctes. Le
schéma 1 résume ces propos. Nous allons succintement énon-
cer les propriétés mathématiques de ces matrices et les associer
aux propriétés polarimétriques “pures” dans la section 2. La
section 3 sera entièrement consacré à la commutation des dif-
férentes couches qui met en exergue un filtrage optique intrin-
sèque au modèle [3]. Nous illustrerons ce processus à travers
l’étude d’un milieu test. Enfin, la section 4 permettra de con-
clure et de présenter les perspectives bio-medicales de ce tra-
vail.
2 Matrices aux propriétés optiques pures
et modèle multi-couche
La décomposition s’effectue sous la forme d’un produit. Cette
décomposition de la matrice de Mueller d’un milieu revient à
modéliser ce milieu par un système de trois couches distinctes
aux propriétés optiques pures. Le produit matriciel n’étant pas
commutatif, il est aisé de constater que six décompositions sont
possibles. Nômmons:
1. Md, la matrice de diatténuation,
2. Mr, la matrice de retard,
3. MD, la matrice de dépolarisation,
et rappelons brièvement les propriétés de ces matrices.
2.1 La matrice de Diatténuation
La matrice de diatténuation (dichroïsme) peut se mettre sous la
forme suivante [5]:
  
  
	

 

 
(2)
avec md qui prend la forme:


  





















 
 



 




(3)
I est la matrice identité (3*3). D’autres propriétés de ces ma-
trices de diatténuation peuvent être trouvées dans la littérature
[5, 6].
2.2 La matrice de Retard
La matrice de retard quant à elle, prend communément l’expression
de l’équation 4:
 ﬁﬀ
 ﬂ
ﬂ


ﬃ
(4)
avec mr qui prend la forme:
 


"!$#&% ('#&%*)+-,/.
10
#
0
%
 


)2+-,3.!
5476
#8%:9
0
9;,=<?>@. (5)
avec ' #&% et
6
#8%:9 respectivement, le symbole de Kronecker et le
symbole de Levi-cività. R est la retardance. Notons au passage
que mr n’est ni plus ni moins qu’une matrice de rotation.
2.3 La matrice de dépolarisation
La matrice de dépolarisation peut se mettre sous la forme suiv-
ante :


Aﬀ
 ﬂ
B;CD
E
ﬃ
(6)
ou
B;C
est le vecteur
 GFIH

! de polarizance qui représente
la capacité d’un système à polariser une onde incidente dépo-
larisée. mD, est une matrice 3*3 symétrique qui contient les
termes dépolarisants du système.
Selon Lu et chipman en 1996 [5], toute matrice de Mueller peut
être décomposée en un produit de trois matrices sous la forme
de l’équation 7 :
  

     (7)
A noter que l’ensemble des décompositions théoriquement pos-
sible dues à la non-commutativité matricielle a été envisagé et
exploité [3].
Ainsi, les propriétés polarimétriques se trouvent séparées, et
l’extraction des paramètres polarimétriques est rendue possi-
ble.
FIG. 2: Milieu test
FIG. 3: matrice de Mueller normalisée.
3 Application sur un milieu test
3.1 Le milieu test
Ce milieu est présenté figure 2. Le milieu test (cf figure 2)
est donc constitué de trois polariseurs, de punaises métal, d’un
dépot de sucre présentant une importante granularité, et de deux
dépolariseurs constitué de velours de granularités différentes.
Le tout repose sur un support, recouvert d’un velours à poil
ras. A noter que du papier de verre fut ajouté au niveau d’une
des punaises dans le but de ne pas saturer la camera CCD dans
la direction spéculaire. Nous partons d’une matrice de Mueller
2D obtenue au L.S.I.I.T de l’université de Strasbourg [7], que
nous décomposerons au travers du modèle multi-couche. Nous
montrerons ainsi l’utilité de la commutation servant de filtrage
optique.
3.2 Pourquoi ce milieu test ?
En fait, nous désirions montrer qu’il est possible de discriminer
des milieux uniquement sur des critères polarimétriques. Ainsi,
s’explique la présence de toutes les propriétés polarimétriques
sur cet échantillon. Les polariseurs sont de purs diatténuateurs,
les punaises vont jouer le role de retardeurs purs du fait de la
reflexion et de son effet sur le champ électrique. Enfin, les mé-
canismes de dépolarisation seront présents sur l’ensemble de
l’échantillon. Nous présentons la matrice de Mueller normal-
isée de ce milieu test (cf figure 3) et nous décomposons cette
matrice en matrices de diatténuation, retard et dépolarisation
(cf figure 4).
Le bruit dans les images est issu de la normalisation de la
FIG. 4: Décomposition en matrice de diatténuation, retardance
et dépolarisation
matrice de Mueller expérimentale. La décomposition permet
l’obtention de trois matrices aux propriétés polarimétriques dis-
tinctes. Les images obtenues présentent des contrastes unique-
ment basés sur la propriété polarimétrique considérée (cf figure
5). Il est intéressant d’observer les contrastes pour ce milieu
test. Ce qui suit concerne l’analyse des résultats du traitement
pour deux commutations différentes.
3.3 La commutation “MD*Mr*Md”
Considérons l’image codée en diatténuation, qui permet la dis-
crimination des polariseurs (diatténuateurs purs). Les punaises
ainsi que les “dépolariseurs” appairaissent en noir, ce qui rend
bien compte du fait qu’ils ne présentent pas de dichroïsme.
Ainsi, comme énoncé précédemment, non seulement, ce type
d’imagerie permet la diférenciation, mais apporte également
des informations sur les propriétés optiques du milieu détecté.
Les informations fournies par le codage en retardance donne
des résultats moins spectaculaire et forcément plus prévisible
du fait de l’imagerie en rétrodiffusion qui entrainent un con-
traste clair sur les punaises. Il est néanmoins interressant de
noter la “disparition” des polariseurs sur le bruit de fond de
l’image. Ceci résulte d’un filtrage en propriétés optiques lors
de la décomposition (ici,     	  
 ). Enfin, l’image en
dépolarisation permet de mettre en évidence les dépolariseurs
de l’image. Les punaises ne dépolarisent pas et présente des
niveaux de gris faible. Le bruit de fond permet d’appréhender
la texture “velours” du support. Par contre, la granularité du
sucre n’apparait pas. Le sucre se présente sous la forme d’une
entité avec un pouvoir dépolarisant élevé.
FIG. 5: Images codées en Diatténuation, Retardance et Dépo-
larisation. (       
 )
3.4 La commutation “Mr*Md*MD”
Nous allons maintenant décomposer La matrice de Mueller nor-
malisée par une autre des six décompositions possibles (il s’agit
de     
   ). Les résultats en terme de codage d’images
sont présentés sur la figure 6. La comparaison des deux séries
d’images montre l’importance de la commutation.
La commutation joue le role de filtrage optique. Celui-ci
permet sur cet exemple précis de discriminer la granularité du
sucre sur l’image de diatténuation et de dépolarisation. Rap-
pelons d’ou provient le filtrage : nous avons vu que cette dé-
composition n’était ni plus ni moins qu’une modélisation en
couche optique du milieu étudié. En fonction de la position
relative des différentes couches, la lumière incidente se décom-
pose de différentes façons. Elle est successivement filtrée par la
première, puis par la seconde et enfin par la troisième couche.
Ces différentes couches ne sont pas des couches optiques au
sens propres du terme, mais sont des couches polarimétriques,
ce qui explique l’invariance du codage en retardance dans les
deux configurations de la décomposition. Toutes ces consid-
érations sur la commutation du modèle multi-couche peuvent
être trouvés dans la littérature [2, 3].
4 Conclusion
Le formalisme de Mueller permet d’appréhender le phénomène
de polarisation dans l’interaction laser-matière. Son extension
en 2D permet l’imagerie des milieux diffusants. L’analyse et
l’exploitation de ces matrices de Mueller permet de baser le
contraste des images sur les propriétés optiques du milieu (hors
absorption). Le filtrage réalisé par la commutation permet de
privilégier l’une ou l’autre des propriétés optiques. De ce fait,
FIG. 6: Images codées en Diatténuation, Retardance et Dépo-
larisation. ( 
  
   
  
 )
d’un point de vue théorique, nous cherchons actuellement à
optimiser de manière automatique le choix d’une commuta-
tion en fonction du milieu considéré. D’un point de vue ap-
plicatif, des applications bio-médicales visant à la détection de
pathologies dermiques sont en cours. En effet, nous espérons
détecter ces pathologies au travers des modifications optiques
qu’elles engendrent. L’exemple de l’apparition du collagène
dans le foie fibrosé et donc de biréfringence en est un exemple.
L’exploitation par la polarimétrie de cette biréfringence permet
la quantification de l’atteinte hépatique [4].
Références
[1] J.J. Gil and E. Bernabeu. Obtainement of the polarizing
and retardation parameters of a non-depolarizing optical
system from the polar decomposition of its Mueller matrix.
Optik, 76(2):67–71, 1987.
[2] S. Guyot, B. Clairac, C. Vézien, and B. Fontas. Exploita-
tion du formalisme de Mueller appliqué à l’imagerie des
milieux multi-diffusants. OptDiag, May 2002.
[3] S. Guyot, B. Clairac, C. Vézien, and B. Fontas. Optical
properties filtering through Mueller’s formalism : Appli-
cation to laser imagery. Optiks, 2003. en correction.
[4] B. Laude, S. Guyot, B. Clairac, A. De Martino, E. Gar-
cia Caurel, L. Schwartz, and B. Drévillon. A Mueller po-
larimetric system and matrix processing. Proceedings of
S.P.I.E, June 2003. Munich, Allemagne.
[5] S Lu and R.A Chipman. Interpretation of Mueller ma-
trices based on polar decomposition. J. Opt. Soc. Am.,
13(5):1106–1113, May 1996.
[6] S.Y. Lu and R.A. Chipman. Homogeneous and inhomoge-
neous Jones matrices. J. Opt. Soc. Am. A, 11(2):766–773,
1994.
[7] J. Zallat, Y. Takakura, M. P. Stoll, and P. Graebling. Active
Imaging Polarimetry. Proceeding of Physics in Signal and
Image Processing, pages 346–348, 2001. Marseille.


Exploitation des matrices de Mueller en vue d'applications au génie biologique et médical

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues