Interleaving techniques are used in cases of transmission with bursts of errors .

The apparition of bursts errors is often periodic or quasi periodic in many channels : selectif fading, huma n

scramblers, multipathes in mobil systems . . .

In this cases, the classical method of interleaving by matrix is not the best .

This paper presents one new method of calculation which include statistical properties of channel. A non regular

interleaving gives a best protection and the efficiency of this method is proved .Les techniques d'entrelacement des codes sont utilisées dans les transmissions pour lutter contre le groupement

des erreurs .

Les paquets d'erreurs sont provoqués dans certains canaux de transmission par des causes dont l'occurrence

d'apparition est périodique ou quasi périodique : canaux â évanouissements sélectifs, brouilleurs artificiels, trajet s

multiples dans les liaisons mobiles, scintillations dans les liaisons satellites . . .

Dans ce cas, l'entrelacement matriciel classique n'assure pas la meilleure protection et peut même provoquer de

nouveaux groupements d'erreurs .

Il est proposé une méthode de calcul d 'entrelacement non matriciel qui, tenant compte des propriétés statistiques

du canal, permet un entrelacement non régulier qui offre une protection meilleure que celle obtenue dans le cas

classique . L 'efficacité est discutée en terme d'empilage des mots codes . Il est montré que la loi proposée tend

symptotiquement vers un empilage parfait 

GOUTELARD, C.

Traitement du signal

I-Revues

RECHERCHES
Optimisation de l'entrelacement des codes
dans les canaux
à évanouissements sélectifs
Interleaving codes optimization for selective fading channels
C. GOUTELARD
LETTI, Université Paris-Sud, 9, avenue de la Division-Leclerc, 94230
CACHAN
Les travaux de recherche effectués sont axés sur les télécommunications et la télédétection. Ces axes ont été
principalement orientés vers l'étude et la caractérisation des canaux de transmission, principalement du canal
ionosphérique, et des techniques de codage adaptées.
Ces études ont été concrétisées par la construction de codes particuliers - codes pseudo-orthogonaux - utilisés
dans la transmission de données et dans la mise en aeuvre d'une station de mesures sur le canal ionosphérique -
station STUDIO - où sont expérimentées de nouvelles techniques de codage en vue des télécommunications, de la
télédétection et de la connaissance du milieu .
RÉSUMÉ
Les techniques d'entrelacement des codes sont utilisées dans les transmissions pour lutter contre le groupement
des erreurs .
Les paquets d'erreurs sont provoqués dans certains canaux de transmission par des causes dont l'occurrence
d'apparition est périodique ou quasi périodique : canaux à évanouissements sélectifs, brouilleurs artificiels, trajets
multiples dans les liaisons mobiles, scintillations dans les liaisons satellites . . .
Dans ce cas, l'entrelacement matriciel classique n'assure pas la meilleure protection et peut même provoquer de
nouveaux groupements d'erreurs .
Il est proposé une méthode de calcul d'entrelacement non matriciel qui, tenant compte des propriétés statistiques
du canal, permet un entrelacement non régulier qui offre une protection teilleure que celle obtenue dans le cas
classique. L'efficacité est discutée en terme d'empilage des mots codes . Il est montré que la loi proposée tend
symptotiquement vers un empilage parfait .
MOTS CLÉS
Correction d'erreurs, codage, groupement d'erreurs, évanouissements sélectifs, entrelacement .
SUMMARY
Interleaving techniques are used in cases of transmission with bursts of errors .
The apparition of bursts errors is often periodic or quasi periodic in many channels .• selectif fading, hum an
scramblers, multipathes in mobil systems . . .
In this cases, the classical method of interleaving by matrix is not the best .
This paper presents one new method of calculation which include statistical properties o channel. A non regular
interleaving gives a best protection and the efficiency of this method is proved .
KEY WORDS
Errors correcting, codage, bursts errors, selective fading, interleaving .
Traitement du Signal
155
volume 1 - n° 2 - 1984
TABLE DES MATIÈRES
Introduction
1 . Hypothèses et définitions
2. Loi d'entrelacement de S k
3. Méthode de construction de l'entrelace-
ment
Conclusion
Bibliographie
Introduction
La correction des erreurs dans les liaisons numériques
pose des problèmes spécifiques pour chaque canal . La
probabilité d'erreur n'est pas à elle seule le critère à
prendre en compte pour le choix d'un code, la loi de
répartition des erreurs introduisant des groupements
d'erreurs qui conduisent pour certains vecteurs à des
dépassements de la capacité de correction .
Les erreurs groupées résultent d'une diminution du
rapport signal à bruit consécutive soit à une diminu-
tion de la puissance du signal reçu, soit à une augmen-
tation de la puissance de bruit .
Les groupements d'erreurs apparaissent dans de
nombreux canaux, et dans un grand nombre le rap-
port signal à bruit varie localement de façon périodi-
que .
Ni veau recu
0019
-40dB
-B0dB
OPTIMISATION DE L'ENTRELACEMENT DES CODES DANS LES CANAUX
Traitement du
Signal
I
1
56
C'est le cas de tous les canaux affectés d'évanouisse-
ments sélectifs, tels que les faisceaux hertziens, les
liaisons ionosphériques, les systèmes de radio mobiles
terre-terre ou terre-air, les systèmes à agilité de fré-
quence. . . La figure 1 montre un exemple d'évanouisse-
ment sélectif dans le cas du canal ionosphérique en
ondes décamétriques [1, 2, 3] .
C'est le cas également des canaux dans lesquels appa-
raissent des perturbations périodiques dont on doit
citer en premier lieu les parasites industriels, notam-
ment des moteurs à explosion dont l'influence est
importante dans les liaisons mobiles .
La technique de l'entrelacement est utilisée de façon
efficace pour combattre les groupements d'erreurs . La
méthode classique consiste à construire un tableau
rectangulaire dans lequel chaque ligne représente un
vecteur émis. Le tableau est ensuite lu par colonne .
Un paquet d'erreurs est alors réparti sur un ensemble
de mots et si plusieurs paquets d'erreurs affectent le
tableau ils se trouvent répartis sur l'ensemble des
vecteurs. Cette technique donne de bons résultats en
général, mais si les paquets d'erreurs apparaissent de
façon périodique, il est simple de voir qu'un regroupe-
ment des erreurs s'effectue seulement sur certains
mots dès que la période des paquets d'erreurs est un
multiple ou un sous-multiple du temps de lecture
d'une colonne .
On présente ici une méthode visant à réaliser un
entrelacement dans lequel la répartition des erreurs
soit uniforme entre tous les vecteurs dans le cas d'une
répartition des paquets d'erreurs périodiques ou
aléatoires .
1. Hypothèses et définitions
Soit un système émettant des symboles de durée T e,
un code (n, k) et un système d'entrelacement de N
vecteurs consécutifs .
Fig. 1 . - Exemple de réception de champ à travers le canal ionosphérique
en ondes décamétriques.
Réception de signaux horaires émis à Moscou, reçus à Paris le 2 juillet 1984
. Fréquence d'émission 9,996 MHz .
volume 1 - n' 2 - 1984
12,32 T. U
3 . 1. Conditions générales
3 . 2. Contraintes sur S k
3 . 3 . Limite de la densité
3 . 4. Méthode de construction
3 . 5. Exemple
Un entrelacement régulier introduit entre deux symbo-
les quelconques d'un même vecteur un écart de temps
égal à NT.. Cette répartition périodique est la cause
de regroupements possibles d'erreurs .
La méthode développée ici conduit à une répartition
non périodique des symboles d'un même vecteur .
Un vecteur V est constitué par n symboles
V={ S 1 , S 2 , . .
.,Sk,Sk+1,
. . .,Sn },
où sk représente le k-ième symbole .
On se propose d'entrelacer un ensemble de N vecteurs
pour constituer un bloc d'entrelacement (fig. 2) .
Pour le réaliser, on s'impose les conditions suivantes
- les n symboles d'un vecteur sont répartis sur m
positions, dont n seulement sont occupées par les
symboles du vecteur . Si on numérote ces positions de
0 à m - 1, on appelle Sk, distance entre deux symboles,
la quantité S k = position du symbole
Sk+ 1
-
position
du symbole S k;
- la loi définissant S k doit être la même pour chaque
vecteur. Cette condition est nécessaire pour éviter une
synchronisation supplémentaire, difficile, pour désen-
trelacer les vecteurs à la réception;
- pour la même raison, le pas d'entrelacement a doit
être constant. On rappelle que le pas d'entrelacement
a est le nombre de positions qui séparent les symboles
Sk de deux vecteurs consécutifs entrelacés ;
I
I
r
I
si
I
I
I
r
I
S2
	
S3 Sk S (k+i) s (n-1)
sri
m positions n symboles
I
I
L	
«
I
I (N 1i a
Traitement du Signal
RECHERCHES
----------------
-------------------
I I	
I I I I '
L =mf (N-1) e
i
Fg. 2. - Configuration générale de l'entrelacement non régulier
.
157
- l'entrelacement non régulier est déterminé par la
condition
S,*
Sh,
`dk,h*k, k,he{1,2, . . .,n-1} .
La longueur d'un bloc d'entrelacement, c'est-à-dire le
nombre de positions occupées par le bloc est donc
L=m+(N-1) a.
On définit la densité du bloc, ou le rendement il, par
le rapport du nombre de symboles transmis au
nombre de positions occupées, soit
_ nN
1
m+(N-1)a
Dans un entrelacement régulier, cette densité est égale
à 1. On s'efforce de rendre il maximal dans le cas
d'un entrelacement irrégulier .
2. Loi d'entrelacement de S k
Si l'on considère un vecteur V, la position Ik 1 du k-
ième symbole est définie par
k l -1
Ik 1 =
L
Sk,
k=1
VECTEUR VO
(2)
volume 1 - n° 2 - 1984
VECTEUR VI
VECTEUR VI
VECTEUR V (N-1)
avec par définition
et
n-1
I n =
	
S k =m-l .
k=1
On définit alors la suite
(4) C0
= {
C0, C1, . . . ,
CI,
. . . ,
cm- 1 }~
où :
Ck
E{0, 1},
telle que
Ck =1 pour k = k 1 défini par (2)
et
Ck =O pour ke k 1 .
C0 constitue donc une suite binaire dans laquelle Ck
prend la valeur 1 pour les positions occupées par les
symboles de V .
L'entrelacement impose évidemment que dans le bloc
d'entrelacement aucun symbole de deux vecteurs diffé-
rents n'occupent la même position . Nous dirons dans
ce cas qu'il n'y a pas collision entre les vecteurs .
Cette condition s'exprime simplement par la relation
(5) R(aa)-0, b'aE{1,2, . . .,N-1},
où R (x) représente la fonction d'autocorrélation apé-
riodique de la suite C 0 .
En effet :
Si on appelle V 0, V I , . . . , V,, . . . , V,-, les N vec-
teurs du bloc d'entrelacement (fig. 2), le symbole sk
du vecteur Vl étant distant de l a du symbole s k du
vecteur V 0 , il n'y a pas collision entre le vecteur V I
et le vecteur V, si
R [(l-l') a] =0,
(l l', l') E { 1, . . . , N -1 },
compte tenu de l'égalité
R (x) = R (- x),
la relation (5) se trouve démontrée .
L'expression de R (x) s'exprime à partir de la suite
C0 et de la suite C x définie par
Cx = { Cx 01Cx 1,
. . .,Cx
k'
. ,Cx,m-1}l
où
(3)
Ck =O
Cx,k = Ck-x
OPTIMISATION
DE L'ENTRELACEMENT DES CODES DANS LES CANAUX
Alors
1 0 =0
si kE{0, . . .,x-1 },
si kE{x, . . .,m-1} .
Traitement du Signal
158
(6)
(7)
Sachant que :
X
> 0,
il y aura collision, c'est-à-dire R (x) ~É 0 si et seulement
si
lx k1
-
I hl ,
OÙ 'hl
est la position d'un élément c, de C 0 , défini
par la relation (2) telle que
h l -1
'h1
= E SI,
k=1
avec h l > k 1i
soit d'après la relation (7), pour les valeurs x l de x
telles que
Ih1 =
'Il
+
x 1 ,
h l -1
x1=
E
SI .
k=k1
soit
(8)
(9)
volume 1 - n' 2 - 1984
m- 1
R (x) _ Ck Cx, k
•
k=0
La condition (5) de non-collision entre tous les vec-
teurs s'exprime alors par
m-1
Ck Cx
, k
k=0
avec :
x=aa et aE{1, . . .,N-1},
du fait que
CI, C
x, k E { 0,
11
.
Cette condition implique que
C k
Cx k=0,
dkE{0, . . .,m-1 },
x= a a, daE{1, . . .,N-1} .
Cette relation peut être exprimée directement en fonc-
tion de
SI
en remarquant que dans le bloc les positions
lx,
kl
pour lesquelles c,,, prend la valeur 1 sont don-
nées par :
lx k 1 =1
k1
+x.
La condition de non-collision (6) se réduit donc à
J
oc a*
SI
=S.,
t
dj,iE{ 1, . . .,n-1 } .
3. Méthode de construction de l'entrelacement
3 . 1. CONDITIONS GÉNÉRALES
La relation (8) montre qu'il existe, pour k 1 donné,
(m-1-k 1 ) valeurs différentes de x 1 pour lesquelles
il y a collision. Le nombre total de collisions étendu
à toutes les valeurs de k l donne d'après (6)
n-1
	
n(n-1)
(10) R (x) =	
X=1 2
Il s'ensuit donc que si
n(n-1)
M >	2	+1, 3R(xo)=0,
avec
{xo} I>_m-
n(n-1)
2
où' X I dénote le cardinal de X .
Compte tenu du fait que
1{x111+I{xo}I = n ,
il faut donc minimiser i { x 1 } I ce qui compte tenu de
(10) revient à rendre R (x 1 ) maximal .
3
. 2. CONTRAINTES SUR S k
Compte tenu de ces remarques, la détermination de
Sk doit se faire en prenant en compte les conditions
suivantes
- S k > S. où S. est l'écart minimal admissible entre
deux symboles consécutifs afin d'éviter qu'ils se trou-
vent dans un même paquet d'erreurs lors de la
transmission .
- Sk :o g k a d'après (9) dans le cas où i=j ;
- Sk*SI , dh, kqé h.
On doit donc choisir
(11) Sk E{ . . .,qka+rk, . . . },
avec :
r k E{1, . . .,a-1} .
3 . 3. LIMITE DE LA DENSITÉ
Les conditions précédentes étant remplies, le nombre
de vecteurs maximal entrelaçables N,,,a,, est déterminé
par la valeur minimale de S ij multiple de a
Min (Sij) = K a .
Alors Nmax=K, car en effet, pour toute valeur de
oc< K- 1 la condition (9) est respectée .
Or
j j
S ij =~aq +~rk q~Ka,
Traitement du Signal
RECHERCHES
159
implique simplement que
1
Zrk ~0_0 mod a
i
et comme i < j si l'on pose i -j -1 > 0 cette condition
s'écrit
i
rk # 0 mod a, V j,
j-1
qui ne peut être respectée que si
1<1 o =a-1 .
J r
rk r k mod a,
j- 11 j- 12
En effet, si
On a
puisque
et
volume 1 - n° 2 - 1984
b11,1 2 *l 1 e{0, . . .,j<a-1 } .
j+1 j+1
rk e
rk mod a,
j- 11 J-12
j+1
E
rk-
E rk+rj+l
j-1 j-1
rj+1 *a
.
Cette propriété étant vraie pour j = 2, car
2
~rk=rl+r2 mod a,
1
2
E rk =
r2,
2
elle est vraie pour toute valeur de j.
Pour j =a-2, si les (a-1) valeurs de rk sont distinctes
et inférieures à a, pour j = a - 1, une valeur de r k est
égale à a .
On obtient alors par un choix convenable des r k
1 1
(12 a)
Nmax = -
min E (aqk + rk) b j
a C j-a+1 J ,
et d'après (3) :
n-1 n-1
(12 b) m= E (Sk)+1=
E
(aq k +rk)+1,
k=1 k=1
OPTIMISATION DE L'ENTRELACEMENT DES CODES DANS LES CANAUX
une estimation mo de m peut être faite en admettant
une distribution uniforme de rk sur l'ensemble
{ 1, . . . , a - 1 } . Un calcul simple montre que
mo=Nmax(n
-1)+1,
ce qui permet de déterminer la valeur de la densité à
partir de (1)
(13)
	
Il =	Nmax n	
Nmax(n-l+a)+(1-a) .
Cette relation montre que
- il est maximal pour a minimal .
a= 1 ne permet pas un entrelacement irrégulier puis-
que rk E { 1, a-1 } .
a=2 est la plus faible valeur qu'on puisse adopter .
- On prend toujours
Nmax
et n de telle sorte que
Nmax (n
- 1 + a) » 1- a et alors
n
~~n-1+a'
qui tend asymptotiquement vers 1 lorsque
n croît.
Dans le cas où n = 2 alors
n
il
-
n+l
3 .4 . MÉTHODE DE CONSTRUCTION
La méthode de construction s'appuie sur les relations
établies précédemment
(a) Les valeurs de S I doivent être choisies dans
l'ensemble
SIe{
. . .,aqk+rk,
. . .
}
et respecter la condition
SI >_ Sm ,
où S,,, est imposée par la longueur des paquets d'er-
reurs .
(b) Les valeurs de rk doivent être choisies dans
l'ensemble
r k E{1, . .
.,a-1}
et vérifier la relation :
r,#0
mod a,
i-t
die{1, . . .,n-1},
VIE{0, . . .,a-2} .
Cette construction s'avère très simple, d'autant que a
doit être faible.
Traitement du Signal
160
(c) Il convient de rendre maximal [relation (12 a)]
Nmax = 1
min
E (a qk + rk), V j
.
a
i-a+t
On réalise cette condition simplement en choisissant
dans un premier temps toutes les valeurs de
qk -
pour chaque valeur de
qk
on peut former (a-1) valeur
de SI - et en formant la suite S ol S1 , . . . , S„ _
1
de
façon à obtenir
i
SI
^-J(1+1)Sk,
vil
i-i
où
volume 1 - n° 2
-
1984
nk=1
est la valeur moyenne de S k.
3 . 5. EXEMPLE
A titre d'exemple on présente le cas d'un code formé
de vecteurs de 32 symboles et on a supposé que le
canal de transmission introduisait un motif d'erreurs
défini par :
- des paquets d'erreurs de 6 symboles;
- une périodicité des paquets d'erreurs de 64 symbo-
les .
On a choisi
- un pas d'entrelacement a=2 ;
- une valeur S.=6 .
La probabilité d'erreur élevée (9,4 %) a été choisie
pour illustrer la méthode et ne correspond pas à un
canal particulier. Le nombre d'erreurs moyen par
vecteur est égal à 3 .
En l'absence d'entrelacement, dans la configuration
la plus probable, la moitié des vecteurs comporte 6
symboles erronés et l'autre moitié ne comporte pas
d'erreur .
Avec une méthode classique, il est simple de voir que
si l'on entrelace 32 vecteurs, on obtient 6 vecteurs avec
16 symboles erronés, les autres n'ayant pas d'erreurs .
Par la méthode proposée, le calcul indique pour la
solution optimale
- qu'on doit entrelacer 37 vecteurs ;
- que la longueur du bloc est de L=1220 symboles ;
- qu'un vecteur est étalé sur m = 1140 symboles ;
- que la densité obtenue est
q
=0,97.
La répartition des erreurs est représentée sur la
figure 3 .
On obtient
19 vecteurs affectés de 3 erreurs;
6 vecteurs affectés de 4 erreurs ;
12 vecteurs affectés de 2 erreurs .
Elle est quasi uniforme .
Conclusion
On s'est attaché au problème d'entrelacement de
codes dans des canaux introduisant des paquets d'er-
reurs périodiques pour lesquels les techniques classi-
ques sont insuffisantes .
On a pu montrer qu'il est possible d'utiliser une
méthode d'entrelacement non régulière qui évite des
regroupements d'erreurs en réalisant une distribution
relativement uniforme sur l'ensemble des vecteurs .
Les lois d'entrelacement ont été définies et on a pu
montrer que la densité, ou le rendement de l'empilage
demeure très voisin de 1 .
NOMBRE OE
SYMBOLES
ERRONES PAR VECTEUR
.i
3
~t
1
f
1 _
.f
	
10
20
Fig. 3 . -
Exemple de répartition des erreurs dans un entrelacement irrégulier. Configuration des erreurs : longueur des paquets : 6 symboles,
périodicité des paquets : 64 symboles . Entrelacement : pas d'entrelacement
a=2, nombre de vecteurs entrelacés : 37, densité de l'entrelacement :
0,97.
Traitement du Signal
RECHERCHES
161
30 NUMERO DES VECTEURS
Les contraintes qu'on s'est imposées conduisent à une
mise en aeuvre de complexité identique à celle des
méthodes classiques .
BIBLIOGRAPHIE
[Il C. W
. ANDERSON, S
. G.
BARBER et R. N. PATEL, The
effect of selective fading on digital radio, IEEE Trans.
on comm ., COM 27, n° 12, décembre 1979 .
[2] B. GLANCE et L. GREENSTEIN, Frequency sélective fading
effects in digital mobile radio with diversity combining,
IEEE Trans. on comm ., COM 31, n° 3, septembre 1983 .
[3] L. J. GREENSTEiN et D. VITELLO, Digital radio receiver
responses for combating Frequency selective fading,
IEEE Trans. on comm ., COM 27, n° 4, avril 1979,
p. 671-681 .
volume 1 - n° 2 - 1984


Interleaving codes optimization for selective fading channels

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