La dimostrazione della congettura di geometrizzazione di Thurston ha fornito un potentissimo strumento per lo studio delle 3-variet�. In particolare ora sembra possibile la risoluzione di una congettura detta di Haken virtuale. Tale congettura afferma che ogni 3-variet� compatta, orientabile, irriducibile, con gruppo fondamentale infinito ha un rivestimento finito che contiene una superficie incompressibile\footnote{Una superficie immersa i:S↪M si dice incompressibile se � diversa dalla 2-sfera e se i∗:π1(S)→π1(M) � iniettiva}. Assumendo la congettura di geometrizzazione di Thurston, la congettura di Haken virtuale rimane aperta solo per le 3-variet� iperboliche.
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Lo scopo di questa tesi � ripercorrere i passi fatti da Jeremy Kahn e Vladimir Markovic nella risoluzione della congettura del sottogruppo di superficie. Tale congettura, formulata da Friedhelm Waldhausen, afferma che il gruppo fondamentale di ogni 3-variet� iperbolica chiusa contiene un sottogruppo isomorfo al gruppo fondamentale di una superficie diversa dalla 2-sfera. Questo sembra essere un risultato che pu� portare alla risoluzione della congettura di Haken virtuale