Maapalloa kiertävien satelliittien liikkeet toistensa suhteen eli
satelliittien suhteelliset radat ovat keskeisessä asemassa satelliittimuodostelmien kannalta. Suhteellisten ratojen ratkaiseminen maapallon potentiaalikentässä on haastava ongelma, johon on kehitetty
useita eri lähestymistapoja alkaen Hillin tekemästä matemaattisesta
pohjatyöstä vuonna 1878.
Eri lähestymistavat voidaan jakaa analyyttisiin ja numeerisiin
menetelmiin. Analyyttisissa menetelmissä suhteellisen liikkeen
liikeyhtälöt ratkaistaan approksimaatioiden avulla ja saadusta ratkaisuista voidaan suoraan lukea suhteellisen radan kehitys jonkin sopivan ajanluonteisen parametrin funktiona. Numeerisissa menetelmissä ratkaistaan liikeyhtälöt numeerisesti eli sovelletaan ratojen numeerista
integrointia.
Eräs moderni numeerinen menetelmä on soveltaa symplektisiä
integrointimenetelmiä suhteellisen radan ratkaisemiseen. Tämän työn
ensimmäisessä osassa kehitetään symplektisten integrointimenetelmien
tarvitsema matemaattinen teoria lähtien differentiaaligeometrian
alkeista. Teorian sovelluksena saadaan Zassenhausin kaavan avulla
johdettua symplektisten leapfrog"-menetelmien lähtökohta.
Työn toisessa osassa keskitytään suhteellisten satelliittiratojen
ongelmaan. Ensin käsitellään yksittäisen satelliitin liikettä ja
suhteellisten ratojen esittämisessä käytetyt koordinaatistot. Sen
jälkeen esitellään analyyttiset Hillin--Clohessyn--Wiltshiren,
Tschaunerin--Hempelin ja Halsallin--Palmerin suhteelliset
ratalaskumenetelmät.
Numeerisista menetelmistä tutkitaan S.~Mikkolan kehittämää logaritmisen Hamiltonin funktion menetelmää. Työssä kehitetään algoritmi menetelmän soveltamiseen suhteellisiin ratalaskuihin.
Kehitettyä menetelmää verrataan analyyttisiin menetelmiin ja tarkkaan ellipsiratojen erotuksena saatuun suhteelliseen rataan. Vertailun tuloksena havaitaan logaritmisen Hamiltonin funktion menetelmä kehityskelpoiseksi ja huomattavasti analyyttisiä menetelmiä tarkemmaksi.Siirretty Doriast
