En este trabajo se parte de la perspectiva constructivista de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y se considera la resolución de problemas como una actividad interesante y formativa. Se presenta el problema del tablero de ajedrez y distintos itinerarios para su trabajo, siguiendo las fases de Polya (1982) para la resolución de problemas. Finalmente se presentan algunas reflexiones sobre la resolución del problema, sobre el análisis de esta resolución y sobre la utilidad y conveniencia de este tipo de análisis para el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

Cañadas, María C.

Durán, Francisco

Gallardo, Silvia

Martínez-Santaolalla, Manuel José

Peñas, María

Villegas, José Luis

Funes

Comunicación 6.06Algunas reflexiones sobre la resolucióndel "problema del tablero de ajedrez"*María Consuelo Cañadas Santiago, Francisco Durán Ceacero, SandraGallardo Jiménez, Manuel José Martínez-Santaolalla Martínez, MaríaPeñas Troyano y José Luis Villegas Castellanos (Grupo PI deInvestigación en Educación Matemática – Universidad de Granada)Nivel educativo: E.S.O.En este trabajo se parte de la perspectiva constructivista de la ense-ñanza y aprendizaje de las matemáticas y se considera la resolución de pro-blemas como una actividad interesante y formativa. Se presenta el problemadel tablero de ajedrez y distintos itinerarios para su trabajo, siguiendo lasfases de Polya (1982) para la resolución de problemas. Finalmente se pre-sentan algunas reflexiones sobre la resolución del problema, sobre el análi-sis de esta resolución y sobre la utilidad y conveniencia de este tipo de aná-lisis para el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.IntroducciónLa importancia de la resolución de problemas en la enseñanza y aprendizaje delas matemáticas está reflejada en los documentos curriculares, que la consideran comoun objetivo principal (MEC, 1989; NCTM, 1991). En este trabajo se muestra un ejemploque manifiesta la utilidad y conveniencia del análisis de la resolución de problemas mate-máticos desde el punto de vista constructivista del proceso educativo. Este trabajo está formado por cuatro partes claramente diferenciadas. En la prime-ra, se presenta el marco desde el que se va a enfocar el análisis de la resolución de proble-mas matemáticos. En la segunda parte se tratan los antecedentes y algunas característicassignificativas del problema cuya resolución constituye el centro del trabajo, el problema delconteo de cuadrados en un tablero de ajedrez. En la tercera parte se lleva a cabo un análi-sis de la resolución del problema según Polya (1982) que nos permite obtener un esquemasobre diversos itinerarios que pueden seguir los resolutores de este problema. Finalmente,en la última parte del trabajo, presentamos unas reflexiones sobre la resolución y el análisisrealizado referidas al proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Resolución de problemas matemáticosEn este trabajo se considera que un problema es una situación dificultosa para la quedebe darse una solución que no es evidente para el individuo que se encuentra ante ella. Unasituación se considera problema cuando el individuo no conoce a priori algoritmos o méto-837* Comunicación presentada en las XI Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas (JAEM). Canarias, Julio de 2003.ISBN. 84-689-0720-0.dos que permitan la obtención de la solución de manera inmediata. Se hablará de problemasmatemáticos cuando los conocimientos necesarios o los procesos implicados para llegar a laresolución del problema pertenezcan a la disciplina matemática (Grupo PI, 2002).La resolución de un problema es el proceso que comienza con la percepción delproblema y finaliza con la solución del mismo. En la educación matemática, la resolu-ción de problemas es considerada una actividad altamente formativa que pone de mani-fiesto distintos modos de razonamiento (Segovia & Rico, 2001; Cañadas & Castro, 2002).La fase inicial del proceso de la resolución de problemas es la percepción de la situaciónproblemática. La fase final es la generación de soluciones. Polya (1982) propone cuatro fases para la resolución de problemas: 1. Comprender el problema, estableciendo cuál es la meta y los datos y condi-ciones de partida.2. Idear un plan de actuación que permita llegar a la solución conectando losdatos con la meta. 3. Llevar a cabo el plan ideado previamente. 4. Mirar atrás para comprobar el resultado y revisar el procedimiento utilizado. Fijaremos nuestra atención en las fases intermedias de la resolución de unproblema. El problema del tablero de ajedrezEn este apartado presentamos lo que será el centro de nuestro trabajo. Este pro-blema ha sido investigado por diversos autores (Mason, Burton & Stacey, 1988; Stacey &Groves, 1999;  Zack, 1997, y Reid, 2002), y fue planteado en la XI olimpiada provincialde matemáticas en Albacete1. El Grupo PI  (2002) propuso este problema en un taller deresolución de problemas para profesores de matemáticas.  Mostramos, a continuación, el enunciado del problema tal y como apareció enel citado taller:El enunciado de este problema es bastante singular ya que aporta una posiblesolución; se trata de un problema de comprobación que ha sido adaptado del tradicio-838Comunicación – Algunas reflexiones sobre la resolución del "problema del tablero de ajedrez"Alguien me dijo una vezque 204 cuadradoshay en un ajedrez.¿Estaba bien razonado?1. http://www.info-ab.uclm.es/mates/Olimpiadas/X1prov/probf3.htmnal problema del tablero de ajedrez. Como se observa, hay dos únicas posibles respues-tas: sí o no. Este trabajo se va a centrar en el proceso que va desde que se lee el enun-ciado hasta que se da la respuesta. No se pretende aquí evaluar el proceso de resolución según las fases, sino mostrardistintos caminos en los que el resolutor puede verse inmerso al afrontar el problema. Resolución del problemaEn este apartado se presenta el proceso de resolución del problema según lasfases del método general de resolución de problemas de Polya (1982).1. Comprender el problema. Lo más habitual es pensar que en un tablero de aje-drez hay 64 cuadrados. Así, sólo se están considerando los cuadrados que se observan comounidades simples, cuestión a la que no se alude en el enunciado. Al tratarse de un proble-ma de comprobación, la idea expresada en el  enunciado –“hay 204 cuadrados”– deberíahacer pensar que se están contando más cuadrados de los que habíamos pensado en uncomienzo. Esto advierte al resolutor de que debe incluir en su conteo los nuevos cuadradosque se pueden formar en el tablero, los de tamaños: 2x2, 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, 8x8.2. Idear un plan de actuación. Si el resolutor considera que el número de cua-drados es 64, el problema no estaría bien razonado (porque no se obtienen 204 cuadra-dos). Si, por el contrario, se cree que el número de cuadrados es diferente de 64 cuadra-dos, se continuaría con el conteo de cuadrados, tratando de dilucidar si el número totalde cuadrados es o no 204. Para ello, el resolutor ha de resolver el problema del tablerode ajedrez. Es probable que no se siga ninguna estrategia de conteo. En este caso, la pro-babilidad de obtener éxito en la resolución del problema es baja. Lo más conveniente esseguir alguna estrategia de conteo, con cierta sistematicidad en el trabajo. Consideramosdos formas diferentes de contar los cuadrados del tablero de ajedrez 8x8.2.1 Mediante el conteo directo se busca el número total de cuadrados contandolos  cuadrados de todos los tamaños que encontramos en el tablero 8x8. Esteconteo se puede realizar de dos maneras:- Contar los centros de gravedad de los cuadrados para cada tamaño. Semuestran dos ejemplos a continuación, correspondientes al conteo de loscuadrados 1x1 y 2x2. Se realizaría de manera análoga para el resto de loscuadrados de diferentes tamaños dentro del tablero 8x8.839XI Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Canarias 2003Tamaño 1x164 centros de gravedad → 64 cuadradosTamaño 2x27 centros de gravedad por fila y 7 filas →49 cuadrados- Contar los cuadrados de cada tamaño que se forman en cada columna (opor fila). Como ejemplo, se muestra cómo contar el número de cuadrados2x2 en el tablero 8x8. Obtenemos 7 cuadrados para la primera columna, ycomo hay siete columnas, entonces tenemos 7·7=49 cuadrados de tamaño2x2. Análogamente se realizaría para el resto de los tamaños. 2.2 Mediante el conteo indirecto se busca el número total de cuadrados que hayen tableros más pequeños y después buscar un patrón para obtener la solu-ción en el tablero 8x8.3. Llevar a cabo el plan. Se trata de realizar uno de los dos planes de actuaciónideados en la fase previa.4. Mirar atrás. Según el plan de actuación llevado a cabo, se organiza la infor-mación obtenida. Una de las posibles formas de hacerlo es utilizar una tabla. Así se hacepara cada uno de los dos casos considerados anteriormente en la segunda fase.4.1 Conteo directo:Tabla 1Considerando los cuadrados obtenidos de diferentes tamaños, tenemos64+49+36+25+16+4+1=204 cuadrados.4.2. Resolución de problemas más sencillosTabla 2Tras superar las cuatro fases de la resolución de problemas de Polya (1982), elresolutor debiera estar en condiciones de dar respuesta a la pregunta que se planteabaen un principio. En el esquema siguiente se presenta el proceso seguido en la resoluciónde este problema. 840Comunicación – Algunas reflexiones sobre la resolución del "problema del tablero de ajedrez"Tamaño cuadrado 1x1 2x2 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8nº de cuadrados decada tamaño en eltablero64=8·8 49=7·7 36=6·6 24=5·5 16=4·4 9=3·3 4=2·2 1=1·1Tamaño Tablero 1x1 2x2 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8nº total de cuadrados 1 5 14 30 55 91 150 204ConclusionesEste problema ha sido planteado con un material (el tablero de ajedrez) que, enla mayoría de los casos, será conocido por el resolutor. El material empleado permiteuna representación pictórica que facilita la resolución del problema. Se busca así quequien se encuentre con el problema se sienta interesado y motivado; la propuesta se vecomo un reto. Esto se comprobó en el taller en el que se planteó este problema (GrupoPI, 2002). El resolutor es así participante activo del proceso de enseñanza y aprendizajede las matemáticas.En la resolución de problemas se emplean diferentes estrategias. En este caso sehan empleado el reenunciado del problema (el planteamiento inicial no era el enuncia-do tradicional del problema del tablero de ajedrez pero finalmente la propuesta es equi-valente), el análisis del problema, la organización de datos en una tabla, la búsqueda depatrones (tanto en el conteo directo como en el indirecto) y la formulación de conjetu-ras (el resolutor va obteniendo posibles resultados a la cuestión planteada que deberáaceptar o refutar en la fase final de la resolución).El análisis de la resolución del problema ayuda al profesor a conocer el problemaen sí, a reflexionar sobre el enunciado, sobre la adecuación de mismo al tipo de resolutoral que se va a plantear y sobre el contenido matemático que se trabaja en su resolución.Se ha puesto de manifiesto que el problema del tablero de ajedrez requiere unosconocimientos matemáticos básicos. Por tanto, los alumnos a los que dirigir este proble-ma dependerán más de la complejidad de los razonamientos empleados y de las estrate-gias utilizadas que del contenido matemático. Debido a las capacidades cognitivas y pro-cedimientos empleados en su resolución, consideramos que Secundaria es un nivel ade-cuado para trabajar este problema.841XI Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. Canarias 2003Por centros de gravedadLas estrategias y modo de proceder seguidos en el problema son de utilidad en otroscontextos matemáticos o en situaciones problemáticas cotidianas, lo cual supone cumplir unode los objetivos educativos principales indicados en los documentos curriculares.El problema tratado en este trabajo se refiere al tablero 8x8. Éste se puede con-siderar como un caso particular de un tablero nxn. Desde este enfoque, se podría plan-tear un problema  mediante el que se trabajara el razonamiento inductivo. Se trataría dellevar a cabo un proceso de generalización desde los casos particulares, sobre los que yase ha avanzado (ver tabla 2), hasta el caso general (tablero nxn). Bibliografía• CAÑADAS, M. C. & CASTRO, E. (2002). Errores en la resolución de problemas decarácter inductivo. En J. M. CARDEÑOSO, E. CASTRO, A. MORENO & M. PEÑAS(Eds.). Investigación en el aula de matemáticas. Resolución de problemas, 147-153. • GRUPO PI (2002). Materiales en la resolución de problemas. En J. M. Cardeñoso, E.CASTRO, A. MORENO & M. PEÑAS (Eds.). Investigación en el aula de matemáticas.Resolución de problemas, 101-112.• MASON, J., BURTON, L. & STACEY, K. (1988). Pensar matemáticamente. Barcelona: Labor.• MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA. (1989). Diseño Curricular Base. EducaciónSecundaria Obligatoria I. Madrid: Ministerio de Educación y Ciencia.• NCTM. (1991). Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemá-tica. Sevilla: SAEM Thales.• POLYA, G. (1982). Cómo plantear y resolver problemas. México: Ed. Trillas.• REID, D. A. (2002). Elements in accepting an explanation. Journal of MathematicalBehavior 20, 527-547.• SEGOVIA, I. & RICO, L. (2001). Unidades didácticas. Organizadores. En E. CASTRO (Ed.),Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria (pp. 83-104). Madrid: Síntesis.• STACEY, K. & GROVES, S. (1999). Resolver problemas: estrategias. Madrid: Narcea.• ZACK, V. (1997). You have to proof us wrong: proof at the elementary school level. In E.PEHKONNEN (Ed.) Proceedings of the Twenty-First Annual Conference of the InternationalGroup for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 106-113), Recife, Brazil. 842Comunicación – Algunas reflexiones sobre la resolución del "problema del tablero de ajedrez"

Algunas reflexiones sobre la resolución del problema del tablero de ajedrez

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