李 炯宙

李, 炯宙

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修 士 論 文 の 和 文 要 旨  研究科・専攻 大学院   電気通信学研究科       情報工学専攻 博士前期課程 氏    名 李 炯宙 学籍番号 ０９３１００２ 論 文 題 目 線形微分方程式系の解の漸近挙動とリャプノフ数について  要  旨  本論文では線形常微分方程式系の解の漸近挙動を考察する．一般に，同次線形系に対する研究 結果は豊富にあるのに比べ，変数係数の非同次線形系に関する結果は少ない．そこで，ここでは 非同次系に主眼をおき，その解の挙動を調べる．  関数の挙動を量る尺度としてリャプノフ数という特性数を用いる．或る解のリャプノフ数がλ であるとは，その解が変数 t の指数関数 exp(λt)と同程度な割合で振る舞うことを意味する．ｎ 次同次系の場合，解は無限個存在するが，それらの解のリャプノフ数がとり得る値は高々ｎ個で あることが知られている．ここでは，その高々ｎ個と同じ値のリャプノフ数をもつような非同次系の特殊解を構成することを目標とした．特に，同次系の解のリャプノフ数が係数行列の情報のみで決定できる２つの場合に注目した． まず，係数行列が対角行列に近づく場合，ペロン(1930)によって同次系の解のリャプノフ数は 係数行列の対角成分の積分で表現されることが示されている．そこでリャプノフ数の値がその積 分量と一致するような非同次系の特殊解を構成した．この際，非同次系の解が 0 に近づかないこ とを保証するのが肝要だが，そのための条件として(n,r)-対角性という新規の概念を導入した．こ の条件は係数行列と非同次項の関数のみで検証できる．  次に，係数行列が定数行列に近づく場合，リャプノフ数の安定性という概念を用いれば，解のリャプノフ数が収束先行列の固有値の実部と一致することが示される． そこで非同次系の特殊解のリャプノフ数がこれらの実部と一致するための条件を与えた．ここでは収束のオーダーや固有値の単純性を仮定しない．このとき，「方程式の正則性」という既存の概念が決定的な役割を果たすが，それを用いた非同次系の解の評価法を考案した．さらに正則性に基づいて，係数行列が対角行列に近づく場合の結果において，非同次項の条件を弱められた．  最後に，非同次系の解のリャプノフ数の数値計算法を発案した．一般性を失うことなく，係数 行列は上三角行列と仮定してよい．このとき解の各成分は積分形で表される．同次系のリャプノフ数の数値計算では与えれた T に対して 0 から T までの積分を近似計算する．しかし，非同次系において同じ計算を行うと一部のリャプノフ数しか求まらない．そこで，∞から t までの積分を導入する新たな計算手順を提案した．その結果，非同次系の一般解の全てのリャプノフ数を数値計算することに成功した．誤差解析と幾つかの実験結果も与えた．  

線形微分方程式系の解の漸近挙動とリャプノフ数について

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