Cupini, Giovanni

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Almae Matris Studiorum Campus

Analisi Matematica T1 - A.A.2011-2012 - prof.G.CupiniCdL Ingegneria Edile – Università di BolognaREGISTRO DELLE LEZIONI(Grazie agli studenti del corso che comunicheranno omissioni o errori)27 SETTEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiInsiemi e operazioni tra insiemi. Numeri naturali, interi, razionali, reali. Proprietà dei numeri razionali e reali. Assioma di completezza. Q non soddisfa l'assioma di completezza. La radice quadrata di 2 non è razionale (con dimostrazione).  Maggioranti e minoranti. Insiemi limitati superiormente o inferiormente, insiemi limitati.  Massimi e minimi.29 SETTEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiEstremo  superiore  e  inferiore:  definizione  e  proprietà.  Esercizi  su  estremo  superiore  e inferiore,  massimi  e  minimi.  Definizione  di  funzione.  Dominio,  codominio,  immagine. Funzioni suriettive. Grafico di una funzione.4 OTTOBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiFunzioni iniettive, invertibili. Funzione inversa. Funzioni limitate, pari e dispari, crescenti, decrescenti,  strettamente  crescenti,  strettamente  decrescenti,  monotone,  strettamente monotone. Operazioni tra funzioni: somma, sottrazione, prodotto, rapporto, composizione.Funzioni costanti, funzione identità, funzione valore assoluto.5 OTTOBRE 20112 ore: 9.30-11.30Aula MagnaFuznioni potenza e loro grafici e proprietà. Funzione esponenziale.6 OTTOBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiFunzioni esponenziali e logaritmiche. Esercizi sulle disequazioni esponenziali e irrazionali. Funzioni trigonometriche: seno, coseno, arcoseno e arcocoseno. Definizioni e proprietà.11 OTTOBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiFunzione  tangente  e  arcotangente.  Funzioni  seno  iperbolico  e  coseno  iperbolico. Trasformazioni elementari di grafici. Studio del dominio di una funzione. Esempi ed esercizi. 12 OTTOBRE 20112 ore: 9.30-11.30Aula MagnaIntorno, intorno destro, intorno sinistro. Punto di accumulazione e punto di accumulazione bilatero. Definizione di limite e suo significato. Limite da destra e da sinistra.13 OTTOBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiLegame tra limite, limite destro e limite sinistro. Esempi di non esistenza dei limiti. Teorema di  unicità  del  limite  (con  dimostrazione).  Aritmetica  di  infinito.  Forme  indeterminate. Algebra dei limiti: limite della somma,  differenza, prodotto e rapporto di  funzioni. Legame tra limite di f(x) e limite di |f(x)| (con dimostrazione nel caso di limite uguale a 0). Teorema dei due carabinieri. Teorema del confronto. |sen x|<= |x| (con dimostrazione). Limite senx per x che tende a 0 è uguale a 0 (con dimostrazione).18 OTTOBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiLimite cosx per x che tende a 0 è uguale a 1 (con dimostrazione). Limite senx/x per x che tende a 0 è uguale a 1 (con dimostrazione). Funzione infinitesima. Funzione infinitesima per funzione limitata è una funzione infinitesima (con dimostrazione), con esempi. Teorema del cambiamento di variabile nel calcolo dei limiti. Esercizi. Limiti notevoli (1-cosx)/x^2 e (1-cosx)/x per x che tende a 0 (con dimostrazione). Definizione di continuità di una funzione. Le funzioni elementari sono continue. Classificazione dei punti di discontinuità. 20 OTTOBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiEsercizi sulla continuità e sulla classificazione dei punti di discontinuità. Somma, prodotto, rapporto e composizione di funzioni continue sono funzioni continue. Infiniti. Somma di un infinito e di una funzione limitata è un infinito (con dimostrazione). Confronto tra infiniti. Principio di sostituzione degli infiniti. Limite di un rapporto di polinomi per x che tende a infinito. Gerarchia degli infiniti. Funzioni asintotiche.25 OTTOBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiConfronto  tra  infinitesimi.  Principio  di  sostituzione  degli  infinitesimi.  Limiti  notevoli. Esercizi sul calcolo della parte principale di funzioni. Esercizi sul calcolo dei limiti. Metodo di razionalizzazione.26 OTTOBRE 20112 ore: 9.30-11.30Aula MagnaEsercizi  sul  calcolo  dei  limiti  e  sullo  studio  della  continuità,  con applicazione  dei  limiti notevoli.27 OTTOBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiEsercizi  suol calcolo dei limiti.  Teoremi di permanenza del segno (Teorema 3.24 (i)  con dimostrazione,  teorema  3.24  (ii)  senza  dimostrazione,  teorema  3.55  con dimostrazione;  i riferimenti  sono  al  libro  di  testo  adottato).  Punti  e  valori  di  massimo/minimo  assoluti: definizioni  e  proprietà.  Esercizi  per  dedurli  dal  grafico  di  una  funzione.  Teorema  di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri e sue varianti. Esempi e controesempi. Teorema di esistenza dei valori intermedi. L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua è un intervallo.2 NOVEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Aula MagnaTeorema  di  continuità  della  funzione  inversa.  Massimi  e  minimi  relativi:  definizione  ed esercizi di riconoscimento dal grafico. Rapporto incrementale: definizione,  interpretazione geometrica  e  cinematica.  Derivata:  definizione,   interpretazione  geometrica  e  cinematica. Funzione differenziabile: definizione. Retta tangente al grafico. Calcolo di derivate usando la definizione (con dimostrazione): seno, esponenziale di base e, potenza.3 NOVEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiFunzione  segno.  Calcolo  di  derivate  usando  la  definizione  (con  dimostrazione):  valore assoluto,  funzione  costante,  costante  per  funzione,  radice  cubica.  Continuità  non implica derivabilità. Derivata di una somma, differenza, prodotto, rapporto di funzioni. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa e applicazione al calcolo della derivata della funzione arcoseno. Derivate delle funzioni elementari. Esercizi di calcolo delle derivate. Esercizio sulla determinazione dell'equazione della retta tangente al grafico.8 NOVEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiEsercizi sul calcolo delle derivate usando la definizione e usando le regole di derivazione. Derivata  da  destra  e  e  da  sinistra.  Derivabilità  implica  continuità  (con  dimostrazione). Teorema di Fermat (con dimostrazione). Esercizio di calcolo di limite.9 NOVEMBRE 20112 ore: 9.30-11.30Aula MagnaPunti  critici.  Teorema  di  Rolle  (con  dimostrazione)  e  teorema  di  Lagrange  (con dimostrazione). Esercizi sul teorema di Lagrange.10 NOVEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Aula MagnaFormula 4.18 del libro di testo (con dimostrazione). Test di monotonia (con dimostrazione). Teorema sul legame esistente tra funzione costante e funzione con derivata nulla se definite in un intervallo (con dimostrazione) e sua applicazione. Funzioni strettamente monotone e segno della  derivata.  Legame tra  limite  della  derivata  e  limite  del  rapporto incrementale. Studio di funzione: esercizio.17 NOVEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiClassificazione dei punti di continuità che non sono punti di derivabilità: punto angoloso, a tangenza verticale, di cuspide. Metodi per la loro identificazione. Esercizi. Derivate di ordine superiore.22 NOVEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiPolinomio  di  Taylor.  Sviluppo  di  Taylor  di  ordine  k  con  resto  in  forma  di  Peano  e  di Lagrange. Calcolo del polinomio di Taylor per exp(x) e sen(x).  Applicazioni al calcolo dei  limiti. Teorema di classificazione dei punti stazionari (con dimostrazione). 23 NOVEMBRE 20112 ore: 9.30-11.30Aula MagnaGeneralizzazione del teorema di classificazione dei punti stazionari al caso in cui la prima derivata che si annulla non sia la derivata seconda, ma una derivata di ordine k>2. Esercizi sul teorema di classificazione dei punti stazionari. Definizione di convessità e suo significato geometrico.24 NOVEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiDefinizione di funzione concava. Caratterizzazione della convessità per funzioni derivabili. Caratterizzazione  della  convessità  per  funzioni  derivabili  fino  al  secondo  ordine  (con dimostrazione della seguente implicazione: se f'' è non negativa allora la funzione è convessa). Definizione di punto di flesso. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Esempi. Studio del grafico di una funzione: esercizio.29 NOVEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiStudio  del  grafico  di  una  funzione:  esercizi.  Consegna  e  correzione  della  prima  prova parziale.1 DICEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Aula MagnaVettori. Somma di vettori e moltiplicazione per scalari: definizione e proprietà. Norma di un vettore e prodotto scalare tra vettori: definizione e proprietà. Esercizi. Definizione di spazio vettoriale. Definizione di matrice.6 DICEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiSomma di matrici. Prodotto righe per colonne: definizione e proprietà. Il prodotto righe per colonne non è commutativo. Matrici quadrate. Matrice identità. Matrici invertibili e matrice inversa.  Determinante  di  una  matrice  quadrata.  Proprietà  dei  determinanti.  Teorema  di Laplace (per il calcolo del determinante di una matrice secondo una riga/colonna).  Regola di Sarrus  (per  il  calcolo  di  determinanti  di  matrici  3x3).  Caratterizzazione  delle  matrici invertibili.  Sistemi lineari  di  n equazioni  ed n incognite  e loro rappresentazione in forma matriciale. Sottomatrici. Rango.7 DICEMBRE 20112 ore: 9.30-11.30Aula MagnaTeorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer e formula di Cramer. Esercizi.13 DICEMBRE 20113 ore: 9.30-12.30Centro CongressiEsercizio sulla formula di Cramer e sul Teorema di Rouché-Capelli. Sottospazio vettoriale. Spazio vettoriale generato da vettori. Vettori linearmente indipendenti. Definizione di base di uno spazio  vettoriale.  Dimensione  di  uno spazio  vettoriale.  Il  caso di  R^2 e R^3.  Come stabilire se tre vettori di R^3 costituiscono una base. 14 DICEMBRE 20112 ore: 9.30-11.30Aula MagnaProdotto vettoriale di due vettori di R^3: definizione e proprietà.  Autovalori e autovettori:  definizione e metodo di calcolo.15 DICEMBRE 20103 ore: 9.30-12.30Numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale. Potenze e radici di numeri complessi. Esercizi.80 ore

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