Comment "robustifier" les estimateurs par dictionnaire face aux erreurs de grille ?

Abstract

International audienceLet us consider the very general problem of the estimation of a parameter of interest θ ∈ P, where P is a set of continuous values. Sparse based estimation is based on the matching of the parameters of interest to a regular discretization of P, often referred to as the grid. In realistic scenarios, the off-grid error problem is thus inherent to the presence of the grid and limits in a drastic way the estimation performances of the standard sparse estimation algorithms in the high SNR regime where the off-grid error is predominant with respect to the error due to the noise. In this context, numerous contributions in the literature deals with this problem, but according to our knowledge, the proposed approaches can be defined as ad hoc techniques dedicated to a particular estimator. In this work, our objective is to propose a generic post-treatment, called OGEC (Off-Grid Error Correction), in the sense that it can be used to "robustify" against the off-grid problem any existing sparse based estimator. Furthermore, we design this post-treatment to be cheap in term of calculation cost. OGEC being introduced, we derive theoretically its bias and MSE and finally its performances are illustrated in the context of the compressed sampling of non-bandlimited signals.Considérons le problème très général de l'estimation d'un paramètre d'intérêt tel que θ ∈ P où P est un ensemble à valeurs continues. La stratégie des estimateurs à contrainte de parcimonie repose sur la recherche d'un représentant issu d'une discrétisation régulière de l'ensemble P, souvent appelée grille. Dans un contexte réaliste, le problème d'erreur de grille est donc intrinsèque et limite de manière drastique les performances en estimation des algorithmes standards dans le régime des hauts RSBs où l'erreur de grille devient prépondérante au regard de l'erreur due au bruit. Dans ce contexte, il existe dans la littérature de nombreuses contributions traitant de ce problème. Selon nos connaissances du domaine, les approches proposées peuvent être qualifiées de techniques ad-hoc dédiées à un estimateur en particulier. Dans ce travail, notre objectif est de proposer un post-traitement générique, nommé OGEC (Off-Grid Error Correction), dans le sens où celui-ci pourra être exploité pour "robustifier" aux erreurs de grille tout estimateur à contrainte de parcimonie existant dans la littérature. De plus, nous souhaitons que cette sur-couche soit la moins couteuse possible en terme de temps de calcul. Après avoir présenté l'estimateur OGEC, nous analysons son biais et son EQM de manière théorique. Enfin, les performances de l'OGEC sont illustrées dans le contexte de l'échantillonnage comprimé de signaux à bande non-limité