AbstractWe use classical results on the zeroes of Dirichlet L-functions to prove the nonvanishing of two determinants analogous to Maillet's determinant. We deduce an extension theorem for Lee and Euclidean isometries of linear codes over a prime field

Jay A. Wood

Philippe Langevin

Serhii Dyshko

Comptes Rendus Mathématique

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 354 (2016) 649–652Contents lists available at ScienceDirectC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. Iwww.sciencedirect.comCombinatoire/Théorie des nombresDeux analogues au déterminant de MailletTwo analogues of Maillet’s determinantSerhii Dyshko a, Philippe Langevin a, Jay A. Wood ba Université de Toulon, Franceb Western Michigan University, USAi n f o a r t i c l e r é s u m éHistorique de l’article :Reçu le 12 décembre 2015Accepté après révision le 10 mai 2016Disponible sur Internet le 25 mai 2016Présenté par le comité de rédactionNous utilisons des résultats classiques sur les zéros des fonctions L de Dirichlet pour prouver la non-nullité de deux déterminants analogues au déterminant de Maillet. Nous en déduisons un théorème d’extension pour les isométries de Lee et euclidienne des codes linéaires sur un corps premier.© 2016 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Cet article est publié en Open Access sous licence CC BY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).a b s t r a c tWe use classical results on the zeroes of Dirichlet L-functions to prove the nonvanishing of two determinants analogous to Maillet’s determinant. We deduce an extension theorem for Lee and Euclidean isometries of linear codes over a prime field.© 2016 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Cet article est publié en Open Access sous licence CC BY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).1. Théorème de MacWilliamsSoient K un corps fini, n un entier naturel non nul et h : K → N la fonction indicatrice des éléments non nuls de K , c’est-à-dire h(x) = 1 si x = 0 et h(0) = 0 sinon. L’espace vectoriel K n est muni de la métrique discrète (x, y) → wh(y − x), où wh(x) = ∑ni=1 h(xi) est le poids de Hamming du vecteur x. Dans ce contexte, une isométrie de K n est, par définition, une application linéaire f : C → K n qui préserve le poids de Hamming sur un sous-espace vectoriel C de K n :∀x ∈ C, wh(f (x)) = wh(x).Considérons la base canonique (ei)1≤i≤n de K n . On rappelle qu’une application monomiale est un élément (π, λ1, . . . , λn)du produit semi-direct S(n)  (K ×)n qui envoie ei → λieπ(i) . Une telle application est dite U -monomiale quand tous les scalaires λi sont dans un certain sous-groupe U de K × . Il est facile de vérifier que les isométries de domaine K n sont précisément les applications monomiales de K n .Théorème 1.1 (MacWilliams, [3,4]). Toute isométrie de K n est la restriction d’une application monomiale.Adresses e-mail : serhii.dyshko@univ-tln.fr (S. Dyshko), langevin@univ-tln.fr (P. Langevin), jay.wood@wmich.edu (J.A. Wood).http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2016.05.0041631-073X/© 2016 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Cet article est publié en Open Access sous licence CC BY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).650 S. Dyshko et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 354 (2016) 649–652Autrement dit, toute isométrie de K n se prolonge en une isométrie de domaine K n , raison pour laquelle le théorème ci-dessus est souvent appelé théorème d’extension de MacWilliams. On sait que le théorème de MacWilliams se généralise aux espaces de Hamming An où A est un anneau fini Frobenius non nécessairement commutatif. Le lecteur intéressé par ces développements peut consulter [8]. Revenant au cas des corps finis, il est naturel d’étudier l’existence d’un prolongement d’une isométrie pour des fonctions de poids plus généraux que le poids de Hamming. Un critère d’extensibilité conduit à l’étude de certains déterminants. Dans cette note, nous traitons le cas de la métrique de Lee sur un corps premier.2. Critère d’extensibilitéSoit U un sous-groupe de K × . Notons G le groupe quotient K ×/U . L’ensemble sous-jacent de G est identifié à un système de représentants de K × modulo U . Pour tout vecteur x ∈ K n , on définit la composition de x relativement à Ucomme étant une application CU (x) : G →N qui envoie un élément r ∈ G sur le nombre cr(x) de composantes de x qui sont dans la classe latérale rU . Une application linéaire f : C → K n telle que∀x ∈ C, CU (x) = CU ( f (x)),est dite U -stable. Ici encore, il est facile de vérifier que les applications U -stables définies sur K n tout entier sont précisé-ment les applications U -monomiales.Théorème 2.1 (Goldberg, [2]). Toute application U -stable est la restriction d’une application U -monomiale.Une fonction de poids sur K est une fonction numérique p : K → C à valeurs dans le corps des nombres complexes qui s’annule en 0. On prolonge p à l’espace vectoriel K n en posant wp(x) = ∑ni=1 p(xi). En particulier, (x, y) → wp(y − x) n’est pas nécessairement une distance sur K n . Néanmoins, convenons d’appeler p-isométrie une application linéaire f : C → K nvérifiant∀x ∈ C, wp(x) = wp(f (x)).Pour préciser la notion d’extensibilité dans ce contexte, on introduit le groupe des symétries de p. Il s’agit du sous-groupe de K × défini parU (p) = {λ ∈ K × | ∀x ∈ K , p(λx) = p(x)}.On dit que p satisfait la propriété d’extension si toute p-isométrie de K n est la restriction d’une application U (p)-monomiale de K n . Comme plus haut, notons G le groupe quotient K ×/U , avec U = U (p). On rappelle que le produit de convolution f ∗ g entre deux applications complexes f et g de domaine G est défini part → f ∗ g(t) =∑xy=tf (x)g(y) =∑y∈Gf (ty−1)g(y).Pour toute application g : G → C, le produit de convolution par g définit un endomorphisme de CG , le C-espace vectoriel des applications de G dans C. À un vecteur x ∈ K n , on associe l’application hx : G → C qui envoie r sur cr−1 (x), de sorte que :hx(r) = |{i | xir = 1 mod U }| et wp(x) =∑r∈Ghx(r)p(r−1).Pour un scalaire λ ∈ K × ,hλx(r) = |{i | λxir = 1 mod U }| = hx(λr mod U ),en particulier, le poids de λx est donné par le produit de convolution de hx par p :wp(λx) =∑r∈Ghλx(r)p(r−1) =∑r∈Ghx(λr)p(r−1) = hx ∗ p(λ). (1)Corollaire 2.2. Soient p une fonction de poids sur K , U le groupe des symétries de p et G le groupe quotient K ×/U . Si le produit de convolution par p définit un automorphisme de CG , alors p satisfait la propriété d’extension.En effet, soit f une p-isométrie. Soit x dans le domaine de f , la conservation des poids se traduit par hx ∗ p = h f (x) ∗ p. L’injectivité de la convolution par p implique que hx = h f (x) et donc que CU (x) = CU ( f (x)). Il ne reste plus qu’à appliquer le théorème 2.1 pour conclure.Il est bien connu que le déterminant de l’endomorphisme de convolution par p est donné par la formule de Dedekind [7, Lemma 5.26],S. Dyshko et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 354 (2016) 649–652 651p =∣∣∣∣∣∣∣∣.... . . p(rs−1) . . ....∣∣∣∣∣∣∣∣r,s∈G=∏χ∈Ĝp̂(χ) (2)où p̂(χ) = ∑s∈G p(s)χ(s) est le coefficient de Fourier de p en χ . Pour appliquer le Corollaire 2.2 à p, il suffit de montrer que les coefficients de Fourier sont tous non nuls.Remarque 2.3. Pour le poids de Hamming, U (h) = K × et G est trivial. Autrement dit, le théorème de MacWilliams est une conséquence du théorème de Goldberg.3. Métrique de LeeDans la suite, on suppose que K est le corps premier F où  est un nombre premier impair. Le poids de Lee est la fonction numérique l définie sur les résidus modulo , par :l(t) ={t, 0 ≤ t ≤ /2; − t, /2 < t < .Le groupe des symétries U du poids de Lee se réduit à {−1, +1}, nous notons G = {1, 2, . . . , ( − 1)/2} le groupe quotient F×/{±1} ; il est cyclique d’ordre n := ( − 1)/2. Notons bien que la fonction de Lee envoie 0 = t ∈ F sur le représentant minimal de t modulo U ; ainsi, l est un analogue du déterminant de Maillet [5], [6, pp. 340–342]. Le carré de la fonction de Lee e = l2 est souvent appelé poids euclidien ; ces deux poids partagent le même groupe de symétrie.Théorème 3.1. Si  est un nombre premier impair, alors l = 0.Le coefficient de Fourier au caractère principal vaut ̂l(1) = ∑s∈G l(s) = ∑nk=1 k = 12 (n +1)n. Pour prouver le théorème 3.1, il reste à montrer que l̂(χ) = 0 pour les caractères χ non triviaux. Comme remarqué par Barra dans son mémoire de thèse [1], il s’agit d’une tâche facile quand  est un premier de la forme  = 1 + 2p (premier de Sophie Germain), ou encore  = 1 + 4p, avec p premier. On peut atteindre le résultat par des méthodes élémentaires lorsque  = 1 + 6p. Dans la suite, nous utilisons des propriétés des fonctions L de Dirichlet pour établir le théorème 3.1. En passant, nous montrerons que le déterminant euclidien e ne peut s’annuler non plus.4. Analyse de FourierOn rappelle qu’un caractère multiplicatif χ de F est dit pair lorsque χ(−1) = 1. Les caractères pairs forment un sous-groupe d’ordre ( − 1)/2 qui, par restriction, s’identifie au groupe dual de G = F×/{−1, +1}. Le coefficient de Fourier d’une fonction f : G →C en χ correspond à une somme de caractères incomplètef̂ (χ) =∑x∈Gf (x)χ(x) =∑k</2f (k)χ(k).Rappelons que, si τt désigne la multiplication par t dans G , alors f̂ ◦ τ (χ) = χ̄ (t) f̂ (χ). Considérons un résidu 0 ≤ x < /2représentant un élément de G . Si x < /4 alors 2x < /2 c’est-à-dire l(2x) = 2l(x). Si /4 < x < /2 alors /2 < 2x <  et donc l(2x) =  − 2l(x). Il en résulte que le produit de (l(2x) − 2l(x)) par (l(2x) + 2l(x) − ) est nul sur G , d’où l’on tire la relation quadratiquel(2x)2 − 4l(x)2 = (l(2x) − 2l(x)).Le carré de l n’étant rien d’autre que e, nous obtenons la relation :(χ̄ (2) − 4)̂e(χ) = (χ̄ (2) − 2)̂l(χ). (3)Scholie 4.1. Soit r le plus petit entier tel que 2r ≡ ±1 mod . Le produit des égalités (3), conduit à l’élégante formule(2r + 1) −12r e =  −12 l.Faisons l’hypothèse ̂l(χ) = 0 pour un caractère pair non trivial. Observons les conséquences sur les deux nombres de Bernoulli généralisés B1(χ) et B2(χ) qui, rappelons le, s’écriventB1(χ) = 1∑kχ(k), B2(χ) = 12∑(k2 − lk)χ(k).k=1 k=1652 S. Dyshko et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 354 (2016) 649–652Comme χ est pair et non trivial,2 1̂(χ) = 2∑k</2χ(k) =∑k=1χ(k) = 0.Et donc,B1(χ) =∑k</2kχ(k) +∑k</2( − k)χ(k) = ∑k</2χ(k) =  1̂(χ) = 0.Sous la condition ̂l(χ) = 0, nous savons que ̂e(χ) = 0, et nous obtenons :2B2(χ) =∑k=1k2χ(k) =∑k</2k2χ(k) +∑k</2( − k)2χ(k)= ê(χ) + 2∑k</2χ(k) − 2∑k</2kχ(k) +∑k</2k2χ(k)= 2 ê(χ) − 2 l̂(χ) + 1̂(χ)2 = 0.L’obstruction vient du fait que B2(χ) n’est, quant à lui, jamais nul (pour χ pair). En effet, on sait [7, Theorem 4.2] que −B2(χ)/2 = L(−1, χ), où L est la fonction L correspondant à χ . On peut alors lire dans l’équation fonctionnelle [7, page 29]que les zéros dans le domaine (s) < 0 d’une fonction L attachée à un caractère pair sont précisément les entiers pairs. Il suit de tout ce qui précède que les déterminants l et e sont simultanément non nuls.Corollaire 4.2. Une isométrie pour un poids de Lee ou euclidien est la restriction d’une application {−1, +1}-monomiale.Références[1] A. Barra, Equivalence theorems and the local–global property, ProQuest LLC, PhD thesis, University of Kentucky, Ann Arbor, MI, USA, 2012.[2] D.Y. Goldberg, A generalized weight for linear codes and a Witt–MacWilliams theorem, J. Comb. Theory, Ser. A 29 (3) (1980) 363–367.[3] F.J. MacWilliams, Error-correcting codes for multiple-level transmission, Bell Syst. Tech. J. 40 (1961) 281–308.[4] F.J. MacWilliams, Combinatorial problems of elementary Abelian groups, PhD thesis, Radcliffe College, Cambridge, MA, USA, 1962.[5] E. Maillet, Question 4269, L’Intermédiaire Math. 20 (1913) 218.[6] T. Muir, Contributions to the History of Determinants, 1900–1920, Blackie & Son Ltd., London and Glasgow, 1930.[7] L.C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Springer, 1997.[8] J.A. Wood, Duality for modules over finite rings and applications to coding theory, Amer. J. Math. 121 (1999) 555–575.

Deux analogues au déterminant de Maillet

Dyshko, Serhii

Langevin, Philippe

Wood, Jay A.

Elsevier - Publisher Connector 

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 354 (2016) 649–652Contents lists available at ScienceDirect
C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I
www.sciencedirect.com
Combinatoire/Théorie des nombres
Deux analogues au déterminant de Maillet
Two analogues of Maillet’s determinant
Serhii Dyshko a, Philippe Langevin a, Jay A. Wood b
a Université de Toulon, France
b Western Michigan University, USA
i n f o a r t i c l e r é s u m é
Historique de l’article :
Reçu le 12 décembre 2015
Accepté après révision le 10 mai 2016
Disponible sur Internet le 25 mai 2016
Présenté par le comité de rédaction
Nous utilisons des résultats classiques sur les zéros des fonctions L de Dirichlet pour 
prouver la non-nullité de deux déterminants analogues au déterminant de Maillet. Nous 
en déduisons un théorème d’extension pour les isométries de Lee et euclidienne des codes 
linéaires sur un corps premier.
© 2016 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Cet article est publié en 
Open Access sous licence CC BY-NC-ND 
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
a b s t r a c t
We use classical results on the zeroes of Dirichlet L-functions to prove the nonvanishing 
of two determinants analogous to Maillet’s determinant. We deduce an extension theorem 
for Lee and Euclidean isometries of linear codes over a prime ﬁeld.
© 2016 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Cet article est publié en 
Open Access sous licence CC BY-NC-ND 
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
1. Théorème de MacWilliams
Soient K un corps ﬁni, n un entier naturel non nul et h : K → N la fonction indicatrice des éléments non nuls de K , 
c’est-à-dire h(x) = 1 si x = 0 et h(0) = 0 sinon. L’espace vectoriel Kn est muni de la métrique discrète (x, y) → wh(y − x), 
où wh(x) =∑ni=1 h(xi) est le poids de Hamming du vecteur x. Dans ce contexte, une isométrie de Kn est, par déﬁnition, 
une application linéaire f : C → Kn qui préserve le poids de Hamming sur un sous-espace vectoriel C de Kn :
∀x ∈ C, wh
(
f (x)
)= wh(x).
Considérons la base canonique (ei)1≤i≤n de Kn . On rappelle qu’une application monomiale est un élément (π, λ1, . . . , λn)
du produit semi-direct S(n)  (K×)n qui envoie ei → λieπ(i) . Une telle application est dite U -monomiale quand tous les 
scalaires λi sont dans un certain sous-groupe U de K× . Il est facile de vériﬁer que les isométries de domaine Kn sont 
précisément les applications monomiales de Kn .
Théorème 1.1 (MacWilliams, [3,4]). Toute isométrie de Kn est la restriction d’une application monomiale.
Adresses e-mail : serhii.dyshko@univ-tln.fr (S. Dyshko), langevin@univ-tln.fr (P. Langevin), jay.wood@wmich.edu (J.A. Wood).http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2016.05.004
1631-073X/© 2016 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Cet article est publié en Open Access sous licence CC BY-NC-ND 
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
650 S. Dyshko et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 354 (2016) 649–652Autrement dit, toute isométrie de Kn se prolonge en une isométrie de domaine Kn , raison pour laquelle le théorème 
ci-dessus est souvent appelé théorème d’extension de MacWilliams. On sait que le théorème de MacWilliams se généralise 
aux espaces de Hamming An où A est un anneau ﬁni Frobenius non nécessairement commutatif. Le lecteur intéressé par ces 
développements peut consulter [8]. Revenant au cas des corps ﬁnis, il est naturel d’étudier l’existence d’un prolongement 
d’une isométrie pour des fonctions de poids plus généraux que le poids de Hamming. Un critère d’extensibilité conduit à 
l’étude de certains déterminants. Dans cette note, nous traitons le cas de la métrique de Lee sur un corps premier.
2. Critère d’extensibilité
Soit U un sous-groupe de K× . Notons G le groupe quotient K×/U . L’ensemble sous-jacent de G est identiﬁé à un 
système de représentants de K× modulo U . Pour tout vecteur x ∈ Kn , on déﬁnit la composition de x relativement à U
comme étant une application CU (x) : G →N qui envoie un élément r ∈ G sur le nombre cr(x) de composantes de x qui sont 
dans la classe latérale rU . Une application linéaire f : C → Kn telle que
∀x ∈ C, CU (x) = CU ( f (x)),
est dite U -stable. Ici encore, il est facile de vériﬁer que les applications U -stables déﬁnies sur Kn tout entier sont précisé-
ment les applications U -monomiales.
Théorème 2.1 (Goldberg, [2]). Toute application U-stable est la restriction d’une application U-monomiale.
Une fonction de poids sur K est une fonction numérique p : K → C à valeurs dans le corps des nombres complexes qui 
s’annule en 0. On prolonge p à l’espace vectoriel Kn en posant wp(x) =∑ni=1 p(xi). En particulier, (x, y) → wp(y − x) n’est 
pas nécessairement une distance sur Kn . Néanmoins, convenons d’appeler p-isométrie une application linéaire f : C → Kn
vériﬁant
∀x ∈ C, wp(x) = wp
(
f (x)
)
.
Pour préciser la notion d’extensibilité dans ce contexte, on introduit le groupe des symétries de p. Il s’agit du sous-groupe 
de K× déﬁni par
U (p) = {λ ∈ K× | ∀x ∈ K , p(λx) = p(x)}.
On dit que p satisfait la propriété d’extension si toute p-isométrie de Kn est la restriction d’une application U (p)-monomiale 
de Kn . Comme plus haut, notons G le groupe quotient K×/U , avec U = U (p). On rappelle que le produit de convolution 
f ∗ g entre deux applications complexes f et g de domaine G est déﬁni par
t → f ∗ g(t) =
∑
xy=t
f (x)g(y) =
∑
y∈G
f (ty−1)g(y).
Pour toute application g : G → C, le produit de convolution par g déﬁnit un endomorphisme de CG , le C-espace vectoriel 
des applications de G dans C. À un vecteur x ∈ Kn , on associe l’application hx : G → C qui envoie r sur cr−1 (x), de sorte 
que :
hx(r) = |{i | xir = 1 mod U }| et wp(x) =
∑
r∈G
hx(r)p(r
−1).
Pour un scalaire λ ∈ K× ,
hλx(r) = |{i | λxir = 1 mod U }| = hx(λr mod U ),
en particulier, le poids de λx est donné par le produit de convolution de hx par p :
wp(λx) =
∑
r∈G
hλx(r)p(r
−1) =
∑
r∈G
hx(λr)p(r
−1) = hx ∗ p(λ). (1)
Corollaire 2.2. Soient p une fonction de poids sur K , U le groupe des symétries de p et G le groupe quotient K×/U . Si le produit de 
convolution par p déﬁnit un automorphisme de CG , alors p satisfait la propriété d’extension.
En effet, soit f une p-isométrie. Soit x dans le domaine de f , la conservation des poids se traduit par hx ∗ p = h f (x) ∗ p. 
L’injectivité de la convolution par p implique que hx = h f (x) et donc que CU (x) = CU ( f (x)). Il ne reste plus qu’à appliquer le 
théorème 2.1 pour conclure.
Il est bien connu que le déterminant de l’endomorphisme de convolution par p est donné par la formule de Dedekind 
[7, Lemma 5.26],
S. Dyshko et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 354 (2016) 649–652 651p =
∣∣∣∣∣∣∣∣
...
. . . p(rs−1) . . .
...
∣∣∣∣∣∣∣∣
r,s∈G
=
∏
χ∈Ĝ
p̂(χ) (2)
où p̂(χ) =∑s∈G p(s)χ(s) est le coeﬃcient de Fourier de p en χ . Pour appliquer le Corollaire 2.2 à p, il suﬃt de montrer 
que les coeﬃcients de Fourier sont tous non nuls.
Remarque 2.3. Pour le poids de Hamming, U (h) = K× et G est trivial. Autrement dit, le théorème de MacWilliams est une 
conséquence du théorème de Goldberg.
3. Métrique de Lee
Dans la suite, on suppose que K est le corps premier F où  est un nombre premier impair. Le poids de Lee est la 
fonction numérique l déﬁnie sur les résidus modulo , par :
l(t) =
{
t, 0 ≤ t ≤ /2;
 − t, /2 < t < .
Le groupe des symétries U du poids de Lee se réduit à {−1, +1}, nous notons G = {1, 2, . . . , ( − 1)/2} le groupe quotient 
F
×/{±1} ; il est cyclique d’ordre n := ( − 1)/2. Notons bien que la fonction de Lee envoie 0 = t ∈ F sur le représentant 
minimal de t modulo U ; ainsi, l est un analogue du déterminant de Maillet [5], [6, pp. 340–342]. Le carré de la fonction 
de Lee e = l2 est souvent appelé poids euclidien ; ces deux poids partagent le même groupe de symétrie.
Théorème 3.1. Si  est un nombre premier impair, alors l = 0.
Le coeﬃcient de Fourier au caractère principal vaut ̂l(1) =∑s∈G l(s) =∑nk=1 k = 12 (n +1)n. Pour prouver le théorème 3.1, 
il reste à montrer que l̂(χ) = 0 pour les caractères χ non triviaux. Comme remarqué par Barra dans son mémoire de 
thèse [1], il s’agit d’une tâche facile quand  est un premier de la forme  = 1 + 2p (premier de Sophie Germain), ou encore 
 = 1 + 4p, avec p premier. On peut atteindre le résultat par des méthodes élémentaires lorsque  = 1 + 6p. Dans la suite, 
nous utilisons des propriétés des fonctions L de Dirichlet pour établir le théorème 3.1. En passant, nous montrerons que le 
déterminant euclidien e ne peut s’annuler non plus.
4. Analyse de Fourier
On rappelle qu’un caractère multiplicatif χ de F est dit pair lorsque χ(−1) = 1. Les caractères pairs forment un sous-
groupe d’ordre ( −1)/2 qui, par restriction, s’identiﬁe au groupe dual de G = F×/{−1, +1}. Le coeﬃcient de Fourier d’une 
fonction f : G →C en χ correspond à une somme de caractères incomplète
f̂ (χ) =
∑
x∈G
f (x)χ(x) =
∑
k</2
f (k)χ(k).
Rappelons que, si τt désigne la multiplication par t dans G , alors f̂ ◦ τ (χ) = χ¯ (t) f̂ (χ). Considérons un résidu 0 ≤ x < /2
représentant un élément de G . Si x < /4 alors 2x < /2 c’est-à-dire l(2x) = 2l(x). Si /4 < x < /2 alors /2 < 2x <  et 
donc l(2x) =  − 2l(x). Il en résulte que le produit de (l(2x) − 2l(x)) par (l(2x) + 2l(x) − ) est nul sur G , d’où l’on tire la 
relation quadratique
l(2x)2 − 4l(x)2 = (l(2x) − 2l(x)).
Le carré de l n’étant rien d’autre que e, nous obtenons la relation :
(χ¯ (2) − 4)̂e(χ) = (χ¯ (2) − 2)̂l(χ). (3)
Scholie 4.1. Soit r le plus petit entier tel que 2r ≡ ±1 mod . Le produit des égalités (3), conduit à l’élégante formule
(2r + 1) −12r e =  −12 l.
Faisons l’hypothèse ̂l(χ) = 0 pour un caractère pair non trivial. Observons les conséquences sur les deux nombres de 
Bernoulli généralisés B1(χ) et B2(χ) qui, rappelons le, s’écrivent
B1(χ) = 1

∑
kχ(k), B2(χ) = 1
2
∑
(k2 − lk)χ(k).k=1 k=1
652 S. Dyshko et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 354 (2016) 649–652Comme χ est pair et non trivial,
2 1̂(χ) = 2
∑
k</2
χ(k) =
∑
k=1
χ(k) = 0.
Et donc,
B1(χ) =
∑
k</2
kχ(k) +
∑
k</2
( − k)χ(k) = 
∑
k</2
χ(k) =  1̂(χ) = 0.
Sous la condition ̂l(χ) = 0, nous savons que ̂e(χ) = 0, et nous obtenons :
2B2(χ) =
∑
k=1
k2χ(k) =
∑
k</2
k2χ(k) +
∑
k</2
( − k)2χ(k)
= ê(χ) + 2
∑
k</2
χ(k) − 2
∑
k</2
kχ(k) +
∑
k</2
k2χ(k)
= 2 ê(χ) − 2 l̂(χ) + 1̂(χ)2 = 0.
L’obstruction vient du fait que B2(χ) n’est, quant à lui, jamais nul (pour χ pair). En effet, on sait [7, Theorem 4.2] que 
−B2(χ)/2 = L(−1, χ), où L est la fonction L correspondant à χ . On peut alors lire dans l’équation fonctionnelle [7, page 29]
que les zéros dans le domaine (s) < 0 d’une fonction L attachée à un caractère pair sont précisément les entiers pairs. Il 
suit de tout ce qui précède que les déterminants l et e sont simultanément non nuls.
Corollaire 4.2. Une isométrie pour un poids de Lee ou euclidien est la restriction d’une application {−1, +1}-monomiale.
Références
[1] A. Barra, Equivalence theorems and the local–global property, ProQuest LLC, PhD thesis, University of Kentucky, Ann Arbor, MI, USA, 2012.
[2] D.Y. Goldberg, A generalized weight for linear codes and a Witt–MacWilliams theorem, J. Comb. Theory, Ser. A 29 (3) (1980) 363–367.
[3] F.J. MacWilliams, Error-correcting codes for multiple-level transmission, Bell Syst. Tech. J. 40 (1961) 281–308.
[4] F.J. MacWilliams, Combinatorial problems of elementary Abelian groups, PhD thesis, Radcliffe College, Cambridge, MA, USA, 1962.
[5] E. Maillet, Question 4269, L’Intermédiaire Math. 20 (1913) 218.
[6] T. Muir, Contributions to the History of Determinants, 1900–1920, Blackie & Son Ltd., London and Glasgow, 1930.
[7] L.C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Springer, 1997.
[8] J.A. Wood, Duality for modules over ﬁnite rings and applications to coding theory, Amer. J. Math. 121 (1999) 555–575.


Deux analogues au déterminant de Maillet 

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