Metric and differential structure of the set of selfadjoint operators on a Hilbert space

Abstract

En este trabajo estudiamos aspectos métricos y geométricos del conjunto de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert H. Extendemos la relación de equivalencia definida por A. C. Thompson en un cono convexo de un espacio de Banach, al conjunto de operadores autoadjuntos. Definimos una métrica completa en cada clase de equivalencia o componente de Thompson, que resulta compatible con la estructura diferencial de la componente. Estudiamos además la órbita de congruencia de un operador autoadjunto a. Describimos la órbita de a en términos de su descomposición polar y de su descomposición positiva ortogonal. Si a es de rango cerrado, dotamos a la órbita de a de una estructura de variedad diferencial. Finalmente, estudiamos descomposiciones de operadores autoadjuntos como diferencia de dos operadores positivos de manera que el ángulo mínimo entre sus rangos sea positivo, que llamamos descomposiciones positivas. Mostramos que las descomposiciones positivas de un operador autoadjunto a están relacionadas con las descomposiciones canónicas del espacio (H, menor , mayor a), donde menor , mayor a es una métrica indefinida asociada al operador a. Como aplicación, caracterizamos la órbita de congruencia de a en términos de sus descomposiciones positivas.In this thesis, we study metrical and geometrical aspects of the set of selfadjoint operators on a Hilbert space H. We extend the equivalence relation, defined by A.C. Thompson on a closed convex cone of a Banach space, to the set of selfadjoint operators. We define a complete metric on each equivalence class or Thompson component, compatible with the differential structure of the component. We also study the orbit of congruence of a selfajoint operator a. We describe the orbit of a in terms of its polar decomposition and its positive ortogonal decomposition. If a is a closed range operator, we provide the orbit of a with a structure of differential manifold. Finally, we study decompositions of selfadjoint operators as a difference of two positive operators such that the minimal angle of their ranges is positive, called positive decompositions. We show that the positive decompositions of a selfadjoint operator a are related to the canonical decompositions of the space (H, menor , mayor a), where menor , mayor a is an indefinite metric associated to a. As an application, we characterize the orbit of congruence of a in terms of its positive decompositions.Fil:Fongi, Guillermina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina

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